1、湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团 2018-2019 学年八年级(下)期末数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)1(3 分)方程 x22x 30 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A1,2,3 B1,2,3 C1,2,3 D1,2,32(3 分)下列函数中,y 总随 x 的增大而减小的是( )Ay4x By4x Cyx4 Dy x 23(3 分)已知平行四边形 ABCD 中,B2A,则A( )A36 B60 C45 D804(3 分)某超市销售 A,B,C ,D 四种矿泉水,它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元某天的销售情况如图所示,则这天
2、销售的矿泉水的平均单价是( )A1.95 元 B2.15 元 C2.25 元 D2.75 元5(3 分)若点 P 在一次函数 yx +4 的图象上,则点 P 一定不在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6(3 分)将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,所得到的抛物线为( )Ay3(x2) 2+4 By3(x2) 22Cy 3(x +2) 2+4 Dy3( x+2) 227(3 分)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛 36 场设有 x 个队参赛,根据题意,可列方程为( )A x(x1)36 B x(x+1)36Cx(
3、 x1)36 Dx(x+1)368(3 分)比较 A 组、B 组中两组数据的平均数及方差,以下说法正确的是( )AA 组、B 组平均数及方差分别相等BA 组、B 组平均数相等,B 组方差大CA 组比 B 组的平均数、方差都大DA 组、B 组平均数相等,A 组方差大9(3 分)关于 x 的一元二次方程(k+1)x 22x10 有两个实数根,则 k 的取值范围是( )Ak2 Bk2 Ck2 且 k1 Dk 2 且 k110(3 分)如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形 ABCD,若测得 A,C之间的距离为 6cm,点 B, D 之间的距离为 8cm,则线段 AB 的长为( )A5
4、 cm B4.8 cm C4.6 cm D4 cm11(3 分)已知二次函数 yx 23x +m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1,0),则关于 x 的一元二次方程 x23x+ m0 的两实数根是( )Ax 11,x 21 Bx 11,x 23 Cx 11,x 22 Dx 11,x 2312(3 分)如图,抛物线 yax 2 x+4 与直线 y x+b 经过点 A(2,0),且相交于另一点B;抛物线与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于另一点 E;点 N 在线段 AB 上,过点 N 的直线交抛物线于点 M,且 MNy 轴,连接 AM、BM、BC 、AC;当点 N 在线段 AB 上移动
5、时(不与 A、B 重合),下列结论中正确的是( )AMN+BNABBBACBAECACBANM ABCD四边形 ACBM 的最大面积为 13二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分)13(3 分)函数 y 的自变量 x 的取值范围为 14(3 分)如果一组数据 2,4,x,3,5 的众数是 4,那么该组数据的中位数是 15(3 分)如图,BD 是矩形 ABCD 的一条对角线,点 E,F 分别是 BD,DC 的中点若AB 4,BC3 ,则 AE+EF 的长为 16(3 分)若函数 y ,则当函数值 y 8 时,自变量 x 的值等于 17(3 分)设 a、b 是方程 x2+x201
6、90 的两个实数根,则(a1)(b1)的值为 18(3 分)飞机着陆后滑行的距离 s(米)关于滑行的时间 t(秒)的函数解析式是s60t1.5t 2则飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为 米三、解答题(本大题共 8 个小题,共 66 分)19(6 分)解方程:x 23x220(6 分)已知一次函数 ykx4,当 x2 时,y 2,求它的解析式以及该直线与坐标轴的交点坐标21(8 分)为了解学生每天的睡眠情况,某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生,调查了他们平均每天的睡眠时间(单位:h),统计结果如下:9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5
7、,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9在对这些数据整理后,绘制了如下的统计图表:睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况组别 睡眠时间分组 人数(频数)1 7t8 m2 8t9 113 9t10 n4 10t11 4请根据以上信息,解答下列问题:(1)m ,n ,a ,b ;(2)抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组(填组别);(3)如果按照学校要求,学生平均每天的睡眠时间应不少于 9h,请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数22(8 分)如图,在平行四边形 A
8、BCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E,F 分别为OB,OD 的中点,延长 AE 至 G,使 EGAE,连接 CG(1)求证:ABECDF;(2)当线段 AB 与线段 AC 满足什么数量关系时,四边形 EGCF 是矩形?请说明理由23(9 分)某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500 吨,每生产 1 吨甲产品可获得利润 0.3 万元,每生产 1 吨乙产品可获得利润 0.4 万元设该工厂生产了甲产品 x(吨),生产甲、乙两种产品获得的总利润为 y(万元)(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;(2)若每生产 1 吨甲产品需要 A 原料 0.25 吨,每生产 1 吨乙产品需要 A
9、 原料 0.5 吨受市场影响,该厂能获得的 A 原料至多为 1000 吨,其它原料充足求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润24(9 分)在正方形 ABCD 中,连接 BD,P 为射线 CB 上的一个动点(与点 C 不重合),连接AP, AP 的垂直平分线交线段 BD 于点 E,连接 AE,PE 提出问题:当点 P 运动时,APE 的度数,DE 与 CP 的数量关系是否发生改变?探究问题:(1)首先考察点 P 的两个特殊位置:当点 P 与点 B 重合时,如图 11 所示,APE ,用等式表示线段 DE 与 CP 之间的数量关系: ;当 BPBC 时,如图 12 所示,中的结论
10、是否发生变化?直接写出你的结论: ;(填“变化”或“不变化”)(2)然后考察点 P 的一般位置:依题意补全图 21,22,通过观察、测量,发现:(1)中的结论在一般情况下 (填“成立”或“不成立”)(3)证明猜想:若(1)中的结论在一般情况下成立,请从图 21 和图 22 中任选一个进行证明;若不成立,请说明理由25(10 分)已知抛物线 yx 2(m 4)x+3(m1)与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C点(1)求 m 的取值范围;(2)若 m0,直线 ykx 1 经过点 A,与 y 轴交于点 D,且 ADBD5 ,求抛物线的解析式;(3)若 A 点在 B 点左边,在第一象限内,
11、(2)中所得到抛物线上是否存在一点 P,使直线 PA分ACD 的面积为 1:4 两部分?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由26(10 分)对于某一函数给出如下定义:若存在实数 p,当其自变量的值为 p 时,其函数值等于P,则称 P 为这个函数的不变值时在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差 q 称为这个函数的不变长度特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度 q 为零例如,图 1 中的函数 0,1 两个不变值,其不变长度 q 等于 1(1)分别判断函数 yx 3,y x 22 有没有不变值?如果有,请写出其不变长度:(2)函数 yx 2bx +1 且 1 b3,求
12、其不变长度 q 的取值范围;(3)记函数 yx 23x (xm )的图象为 G1,将 G1 沿 xm 翻折后得到的函数图象记为 G2,函数 G 的图象山 G1 和 G2 两部分组成,若其不变长度 q 满足 0q4,求 m 的取值范围参考答案一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)1【解答】解:一元二次方程 x22x30 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,2,3故选:C2【解答】解:y4x 中 y 随 x 的增大而增大,故选项 A 不符题意,y4x 中 y 随 x 的增大而减小,故选项 B 符合题意,yx4 中 y 随 x 的增大而增大,故选项 C 不符题意,yx
13、 2 中,当 x0 时,y 随 x 的增大而增大,当 x0 时, y 随 x 的增大而减小,故选项 D 不符合题意,故选:B3【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形,BCAD,A+B180,B2A ,A60,故选:B4【解答】解:这天销售的矿泉水的平均单价是 510%+315%+255%+120%2.25(元),故选:C5【解答】解:10,40,一次函数 yx +4 的图象经过第一、二、四象限,即不经过第三象限点 P 在一次函数 yx +4 的图象上,点 P 一定不在第三象限故选:C6【解答】解:将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度所得直线解析式为:y3(x+2)2+1;再向
14、下平移 3 个单位为:y3(x+2) 2+13,即 y3(x+2) 22故选:D7【解答】解:设有 x 个队参赛,根据题意,可列方程为:x(x1) 36,故选:A8【解答】解:由图象可看出 A 组的数据为:3,3,3,3,3,1,1,1,1,B 组的数据为:2,2,2,2,3,0,0,0,0则 A 组的平均数为 A 3+3+3+3+3+(1)+(1)+(1)+(1)B 组的平均数为 B (2+2+2+2+3+0+0+0+0) A BA 组的方差 S2A (3 ) 2+(3 ) 2+(3 ) 2+(3 ) 2+(3 )2+(1 ) 2+(1 ) 2+(1 ) 2+(1 ) 2B 组的方差 S2B
15、 (2 ) 2+(2 ) 2+(2 ) 2+(2 ) 2+(3 )2+(0 ) 2+(0 ) 2+(0 ) 2+(0 ) 2S 2AS 2B综上,A 组、B 组的平均数相等,A 组的方差大于 B 组的方差故选:D9【解答】解:根据题意得 k+10 且(2) 24(k+1)(1)0,解得 k2 且 k1故选:C10【解答】解:如图,作 ARBC 于 R,ASCD 于 S,连接 AC,BD 交于点 O,由题意知,ADBC,AB CD,四边形 ABCD 是平行四边形两张纸条等宽,ARAS ARBCASCD ,BCCD,平行四边形 ABCD 是菱形,ACBD在 Rt AOB 中,OA3,OB4,AB
16、5故选:A11【解答】解:将点(1,0)代入 yx 23x +m,解得 m2,yx 23x+2,x 23x+20 的两个根为 x1,x2;故选:C12【解答】解:将点 A(2,0)代入抛物线 yax 2 x+4 与直线 y x+b解得:a ,b ,设:M 点横坐标为 m,则 M(m, m2 m+4)、N(m, m ),其它点坐标为 A(2,0)、B(5,4)、C (0,4),则 ABBC5 ,则CAB ACB,ABC 是等腰三角形A、当 MN 过对称轴的直线时,此时点 M、N 的坐标分别为( , )、( , ),由勾股定理得:BN ,而 MN ,BN+MN5AB,故本选项错误;B、BCx 轴(
17、B、C 两点 y 坐标相同),BAE CBA,而ABC 是等腰三角形不是等边三角形,CBABCA,BACBAE 不成立,故本选项错误;C、如上图,过点 A 作 ADBC、BEAC ,ABC 是等腰三角形,EB 是ABC 的平分线,易证:CADABE ABC,而ACBANMCAD ABC,故本选项正确;D、S 四边形 ACBMS ABC +SABM ,SABC 10,SABM MN(x Bx A)m 2+7m10,其最大值为 ,故 S 四边形 ACBM 的最大值为 10+ 12.25,故本选项错误故选:C二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分)13【解答】解:由题意得,x+10
18、,解得 x1故答案为:x114【解答】解:因为这组数据的众数是 4,x4,则数据为 2、3、4、4、5,所至这组数据的中位数为 4,故答案为:415【解答】解:点 E,F 分别是 BD,DC 的中点,FE 是BCD 的中位线,EF BC1.5,BAD90,AD BC3,AB 4,BD5,又E 是 BD 的中点,RtABD 中,AE BD2.5,AE+EF2.5+1.54,故答案为:416【解答】解:当 x2 时,x 2+18,解得:x ;当 x2 时,2x8,解得:x4故答案为:4 或 17【解答】解:a、b 是方程 x2+x20190 的两个实数根,a+b1,ab2019,(a1)(b1)a
19、b(a+b)+12019+1+12017故答案为:201718【解答】解:s60t1.5 t21.5(t20) 2+600,则当 t20 时,s 取得最大值,此时 s600,故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为:600m 故答案为:600三、解答题(本大题共 8 个小题,共 66 分)19【解答】解:x 23x +20,(x1)(x2)0,x1 或 x2;20【解答】解:一次函数 ykx4,当 x2 时,y 2,22k4,解得 k1,一次函数的解析式为 yx 4当 y0 时,x 4;当 x0 时,y4,该直线与 x 轴交点的坐标是(4,0),与 y 轴的交点坐标是(0,4)21【解答】解:(1
20、)7t8 时,频数为 m7;9t10 时,频数为 n18;a 100%17.5%;b 100%45%;故答案为:7,18,17.5%,45%;(2)由统计表可知,抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数为第 20 个和第 21 个数据的平均数,落在第 3 组;故答案为:3;(3)该校学生中睡眠时间符合要求的人数为 800 440(人);答:估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为 440 人22【解答】证明:(1)四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,AB CD ,OB OD,OA OC,ABE CDF,点 E,F 分别为 OB,OD 的中点,BE OB,DF OD,BEDF ,在AB
21、E 和CDF 中,ABE CDF(SAS);(2)解:当 AC2AB 时,四边形 EGCF 是矩形;理由如下:AC2OA,AC2AB ,ABOA ,E 是 OB 的中点,AGOB ,OEG 90 ,同理:CFOD,AGCF,EGCF,EGAE,OAOC,OE 是ACG 的中位线,OECG,EFCG,四边形 EGCF 是平行四边形,OEG 90 ,四边形 EGCF 是矩形23【解答】解:(1)y0.3x+0.4(2500x )0.1x +1000因此 y 与 x 之间的函数表达式为:y 0.1x+1000(2)由题意得:1000x2500又k0.10y 随 x 的增大而减少当 x1000 时,y
22、 最大,此时 2500x 1500,因此,生产甲产品 1000 吨,乙产品 1500 吨时,利润最大24【解答】解:(1)当点 P 与点 B 重合时,如图 11 所示,四边形 ABCD 是正方形,APE 45,EAEBED,PC DE当 BPBC 时,如图 12 所示,中的结论不发生变化;故答案为 45,PC DE,不变化,成立;(2)如图 21,如图 22 中,结论仍然成立;(3)如图 21 中或 22 中,作 EFAD 于 F,延长 FE 交 BC 于 G,连接 AC、EC点 E 在线段 AP 的垂直平分线上,EAEP,四边形 ABCD 是正方形,BD 是 AC 的垂直平分线,EAEC,E
23、ACECA,BABC,BACBCA,EAB ECB,EAEP,EAEC,EPEC,EPCECP,EPC+ EPB 180,BAE +EPB180,ABP +AEP180,ABP 90,AEP 90,APE PAE45,EFAD ,DFG 90 ,BCDADC90,四边形 FGCD 是矩形,CGFD,FGC90,BDA45,FD DE,EPEC,CP2CG2DF DE25【解答】解:(1)抛物线与 x 轴有两个不同的交点,(m4) 2+12(m1)m 2+4m+4(m+2) 20,m2(2)yx 2(m4)x+3(m1)(x3)(x+m1),抛物线与 x 轴的两个交点为:(3,0),(1m ,0
24、);则:D(0,1),则有:ADBD 5 ,解得:m2(舍去)或1,m1,抛物线的表达式为:yx 2+5x6 ;(3)存在,理由:如图所示,点 C(0,6),点 D(0,1),点 A(2,0),直线 PA 分ACD 的面积为 1:4 两部分,即 DH:HC1:4 或 4:1,则点 H(0,2)或(0, 5),将点 H、A 的坐标代入一次函数表达式并解得:直线 HA 的表达式为:yx2 或 y x5,联立并解得: x 或 2,故点 P( , )或(2,0)26【解答】解:(1)由题意得:yx3x ,无解,故不存在不变值;yx 22x,解得: x2 或1,故存在不变值,q2(1)3;(2)由题意得
25、:yx 2bx +1x,解得:x ,q ,1b3,解得:0q2 ;(3)由题意得:yx 23x 沿 xm 对翻折后,新抛物线的顶点为(2m , ),则新函数 G2 的表达式为:yx 2(4m3)x+(4m 26m),当 yx 时,整理得:x 2( 4m2)x+(4m 26m)0,x2m1 ,即 G2 的不变点是 2m1+ 和 2m1 ;G1 的不变点是:0 和 4;故函数 G 的不变点为:2m1+ 、2m1 、0、4,这 4 个不变点最大值的可能是 2m1+ 、4,最小值可能 2m1 、0,当 xm 为 G1 对称轴 x 的左侧时,当最大值为 2m1+ 时,当最小值为 2m1 时,即:02m1+ (2m1 )4,解得:0m ;当最小值为 0 时,同理可得:0m ;当最大值为 4 时,最小值为 2m1 即可(最小值为 0,符合条件),即 04(2m1 ) 4,解得:m ;综上:0m ;当 xm 为 G1 对称轴 x 的右侧时,同理可得: m ;故:0m