1、专题 07 平面解析几何（选择题、填空题）1 【2019 年高考全国卷理数 】已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两12,01,F()， (点若 ， ，则 C 的方程为22|AFB1|AA B1xy213xyC D243254【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，2FBn21,3AnBFAn由椭圆的定义有 1124,aa在 中，由余弦定理推论得 1AFB2219cos3n在 中，由余弦定理得 ，解得 12244n2n所求椭圆方程为 ，故选 B2243,31,anabac213xy法二：由已知可设 ，则 ，2FBn21,3AnBFAn由椭圆的定义有 1 2
2、4aa在 和 中，由余弦定理得 ，12AF 12B2 221cos49FnnB又 互补， ，两式消去 ，得,2121coscos0AF2121scosABF,，解得 所求椭圆方22361n3n22243,31,anabac程为 ，故选 Bxy【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养2【2019 年高考全国卷理数】若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=231xypA2 B3 C4 D8【答案】D【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以2(0)ypx(,0)2p231xyp，解得
3、 ，故选 D23()p8【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，从而解出 ，或者利用检验排除的方法，如pp时，抛物线焦点为（1，0） ，椭圆焦点为（2，0） ，排除 A，同样可排除 B，C，从而得到选 D2p3【2019 年高考全国卷理数】设 F 为双曲线 C： 的右焦点， 为坐标原点，以21(0,)xyabO为直径的圆与圆 交于 P，Q 两点若 ，则 C 的离心率为OF22xyaOFA B 2 3C2 D 5【答案】A【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，PQxAPQx又 ， 为以 为直径的圆
4、的半径，|OFc|,2cOF ， ，|2cOA,cP又 点在圆 上， ，即 22xya224ca22,ccea，故选 Ae【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来解答本题时，准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 的关系，可求双曲线的离心率4【2019 年高考全国卷理数】双曲线 C： =1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为24xy坐标原点，若 ，则PFO 的面积
5、为=POFA B324 32C D【答案】A【解析】由 ，22,6,abcab6,2POFx又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设为在 上，则 ，yx3Pbya，故选 A11326224PFOPSy【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积5【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆 （ab0）的离心率为 ，则2 1xy12Aa 2=2b2 B3a 2=4b2Ca=2b D3a=4b【答案】B【解
6、析】椭圆的离心率 ，化简得 ，221,cea234ab故选 B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和 的关系可得满足题意的等式.,abc6【2019 年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 就21|xyx是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ；2曲线 C 所围成的“ 心形”区域的面积小于 3其中，所有正确结论的序号是A BC D【答案】C【解析】由 得， ， ，21xyx221yx222|3
7、41,0,43xxy所以 可取的整数有 0，1，1，从而曲线 恰好经过(0，1) ，(0，1)，(1，0)，:C(1，1)， (1，0) ，(1 ，1) ，共 6 个整点，结论正确.由 得， ，解得 ，所以曲线 上任意一点到原点的距2xyx22xyy2xyC离都不超过 . 结论正确.如图所示，易知 ，0,1,1,0,ABCD四边形 的面积 ，很明显“心形”区域的面积大于 ，即BCD322ADS四 边 形 2ABCDS四 边 形“心形”区域的面积大于 3，说法错误.故选 C.【名师点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识基本运算能力及分析问题、解决问题的
8、能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7【2019 年高考天津卷理数】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线24yxFl的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双21(0,)xyabAB|4|OF曲线的离心率为A B2 3C D 5【答案】D【解析】抛物线 的准线 的方程为 ，24yxl1x双曲线的渐近线方程为 ，ba则有 ，(1,)(,)bABa ， ， ，242ba .25cae故选 D.【名师点睛】本题考查抛物线和双
9、曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出 AB 的长度.解答时，只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.4ABOF,abc8【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为 xy=0 的双曲线的离心率是A B12C D2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，则 ，所以双曲线的离0xyab2cab心率 .故选 C.2cea【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双ab曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9 【2018 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，
10、记 d 为点 P（cos ，sin ）到直线 的20xmy距离，当 ，m 变化时，d 的最大值为A1 B2C3 D4【答案】C【解析】 P 为单位圆上一点，而直线 过点 A（2，0） ，所以 d 的最2cosin1， xmy大值为 OA+1=2+1=3,故选 C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化10 【2018 年高考全国卷理数】直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆20xyxyABP上，则 面积的取值范围是2()xyABPA B6， 48，C D23，
11、 23，【答案】A【解析】 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， ,则20xyxyAB2,0B.2B点 P 在圆 上， 圆心为（2，0） ，则圆心到直线的距离 .2()xy12d故点 P 到直线 的距离 的范围为 ，则 .2d,32 22,6ABPS故答案为 A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出 A，B 两点坐标得到 再计算圆心到直线的距离，得到点 P 到直线距离的范围，由面积公式AB，计算即可.11 【2017 年高考浙江卷】椭圆 的离心率是2194xyA B13 53C D2 9【答案】B【解析】椭圆 的离心率 ，故选 B2
12、194xy9453e【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于 的方程或,abc不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭,abcb,ac,abc圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等12 【2018 年高考全国理数】已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左1F221(0)xyCab： AC顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为PA3612PF 12FPA B 23C D1 4【答案】D【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ，12PF 120FP21|PFc由 的斜率为 可得 ，A362
13、3tan6A所以 ， ，21sin3PF21cos3PF由正弦定理得 ，22insA所以 ，211233=5sin()caPAF所以 ， ，故选 D4ac1e【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根,据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、, , ,点的坐标的范围等.13 【2017 年高考全国理数】已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线20)1(xyab段 A1A2 为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为0bxyA B63 3C D2 13【答案】A【解析】以线段 为直径的圆的
14、圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为 ，12A(0,)ra22xya直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，整理可得0bxay 2bd，即 即 ，2322()c23ac从而 ，则椭圆的离心率 ，故选 A2cea 6e【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围) ，常见的有两种方法：求出 a，c，代入公式 e ；ca只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a 2c 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程( 不等式)即可得 e(e 的取值范围).
15、14 【2018 年高考浙江卷】双曲线 的焦点坐标是213xyA( ，0)，( ，0)2B(2，0)，(2，0)C(0， )，(0， )2D(0，2)，(0，2)【答案】B【解析】设 的焦点坐标为 ，因为 ， ，213xy(,0)c22314ab2c所以焦点坐标为 ，故选 B(,0)15 【2017 年高考天津卷理数】已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 若经21(0,)xyabF2过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为F(0,4)PA B21xy218xyC D24824【答案】B【解析】由题意得 ，240,1, 1() 8xyabcab故选 B【名师点睛】利用待定系数法
16、求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于 的方程（组） ，解方程（组）求出 的值另外要注意巧设双曲线方程,abc,ab的技巧：双曲线过两点可设为 ，与 共渐近线的双曲线可设为21(0)mxny21xy，等轴双曲线可设为 2xyab(0)2()16 【2018 年高考全国理数】双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为210,xyab3A B2yx yxC D 2【答案】A【解析】因为 ，所以 ，所以 ，3cea22132bcae2ba因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，故选 Ayxyx17【2017 年高考全国理数】若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被
17、圆:C21xab0ab所截得的弦长为 2，则 的离心率为24xyA2 B 3C D 2【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线 的渐近线方程为 ，210,xyab0bxay圆心 到渐近线的距离为 ，2,023d则点 到直线 的距离为 ，即 ，,0bxay203bac24()3ca整理可得 ，则双曲线的离心率 24c24cea故选 A【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；cea只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c 2a 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式) 两边
18、分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程( 不等式)即可得 e(e 的取值范围) 18【2017 年高考全国 III 理数 】已知双曲线 C： (a0，b0)的一条渐近线方程为 ，21xy52yx且与椭圆 有公共焦点，则 C 的方程为213xyA B2180xy2145xyC D254 23【答案】B【解析】双曲线 C： (a0，b0)的渐近线方程为 ，21xybyxa在椭圆中： ， ，故双曲线 C 的焦点坐标为 ，221,3ab229,3cc(3,0)据此可得双曲线中的方程组： ，解得 ，225,aba24,5ab则双曲线 的方程为 故选 BC2145xy【名师点睛】
19、求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再20xy由条件求出 的值即可 .19 【2018 年高考全国 III 理数 】设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐1F22:1(0,)xyCabO标原点过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 若 ，则 的离心率为2FCP1|6|FOPCA B5 2C D3【答案】C【解析】由题可知 ， ， ，2PFb2OcPa在 中， ，2RtO 2cosb在 中
20、， ，12tPF2112FFbPc，即 ，224(6)bcabc23a，故选 C3e20 【2018 年高考全国 I 理数 】设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交23于 M，N 两点，则 =FNA5 B6C7 D8【答案】D【解析】根据题意，过点（2，0）且斜率为 的直线方程为 ，2323yx与抛物线方程联立得 ，消元整理得： ，解得 ，又234yx2680y1,24,MN，所以 ，1,0F0,MFN从而可以求得 ，故选 D.3248【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的
21、方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出 ，1,24,MN之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数1,0F量积坐标公式求得结果，也可以不求点 M、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.21【2017 年高考全国 I 理数 】已知 F 为抛物线 C： 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线24yxl1，l 2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、 E 两点，则| AB|+|DE|的最小值为A16 B14C12 D10【答案】A【解析】设 ，直线 的方程为 ，1234(,)(,)(,)(,)xyBxyE1l1()
22、ykx联立方程 ，得 ， ，214()k2221110kk21214x21同理直线 与抛物线的交点满足 ，2l234kx由抛物线定义可知2112344| kABDExp24218k，当且仅当 （或 ）时，取等号2168k12k故选 A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为 ，则，则 ，所以2|sinpAB22|cossin(+)pDE 2221| 4(cosincospABDE22
23、2222 211sin)4( i)4()()6icosi coi22 【2018 年高考全国 I 理数 】已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直2:13xCyOFCF线与 的两条渐近线的交点分别为 ， 若 为直角三角形，则CMN |MNA B332C D4【答案】B【解析】由题可知双曲线 的渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，从而可得 ，C3(2,0)F30FON所以直线 的倾斜角为 或 ，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，可以得出直线MN6012 6的方程为 ，分别与两条渐近线 和 联立，求得 ，3()yx3yx3yx(,)M，所以 ，故选 B3(,)2223|()23 【201
24、8 年高考天津卷理数】已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x21(0,)xyabb轴的直线与双曲线交于 A，B 两点. 设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且1d2，则双曲线的方程为126dA B4xy214xyC D2139293【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为 （c0） ，则 ，,0FABxc由 可得： ，21cyab2bya不妨设： ，22,ABc双曲线的一条渐近线方程为： ，0bxay据此可得： ， ，221cdca22bcbdc则 ，则 ，126bc23,9b双曲线的离心率： ，221eaa据此可得： ，则双曲线的方程为 .23139xy本题选择
25、C 选项.【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，20xy再由条件求出 的值即可.解答本题时，由题意首先求得 A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解 a 的值即可确定双曲线方程.24 【2019 年高考浙江卷】已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆 C 相切C(0,)mr230xy于点 ，则 =_， =_(2,1)Amr【答案】 ， 5【解析】由
26、题意可知 ，把 代入直线 AC 的方程得 ，11:(2)2ACkyx(0,)m2m此时 .|45r【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 的斜率，进一步得AC到其方程，将 代入后求得 ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的(0,)m结合，特别是要注意应用圆的几何性质.25 【2019 年高考浙江卷】已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段2195xyFPx的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_PFOF【答案】 15【解析】方法 1：如图，设 F1 为椭圆右焦点.由题意可知 ，|=|2OFMc由中位线定理
27、可得 ，设 ，可得 ，2|4POM(,)Pxy2()16xy与方程 联立，可解得 （舍） ，2195xy321,又点 在椭圆上且在 轴的上方，求得 ，所以 .Px315,2P152PFk方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知 ，| 2OF=M|c由中位线定理可得 ，即 ，12|4PF34ppaex从而可求得 ，所以 .35,2152PFk【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则
28、更为简洁.26【2019 年高考全国卷理数】设 为椭圆 C: 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象12F，2+1360xy限.若 为等腰三角形，则 M 的坐标为_.12MF【答案】 3,5【解析】由已知可得 ，222236,0,16,4abcabc， 128Fc24F设点 的坐标为 ，则 ，M00,xyy121204MFSy又 ，解得 ，122048415,45FS 05，解得 （ 舍去） ，2201536x03x0的坐标为 M3,【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养解答本题时，根据椭圆的定义分别求出 ，
29、设出12MF、的坐标，结合三角形面积可求出 的坐标.M27 【2019 年高考全国卷理数 】已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F 2，过21(0,)xyabF1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若 ， ，则 C 的离心率为1FAB120F_【答案】2【解析】如图，由 得 又 得 OA 是三角形 的中位线，即1,FAB1.A12,OF12FB22,.FOAB由 ，得 ， ，20 21,BAO1A又 OA 与 OB 都是渐近线， 又 ，21BOFAF2160,FB又渐近线 OB 的斜率为 ，该双曲线的离心率tan603b为 221()()cea【名师点睛】本题结合平面向量
30、考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题解答本题时，通过向量关系得到 和 ，1FAB1OFA从而可以得到 ，再结合双曲线的渐近线可得 进而得到1AOBF 2,BO从而由 可求离心率.2160,BFtan603b28 【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该xOy21(0)yxb双曲线的渐近线方程是 .【答案】 2yx【解析】由已知得 ，解得 或 ，2431b2b因为 ，所以 .0b因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 .1ayx【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般
31、较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 密切相关，事实上，标准方程中化 1 为 0，即得渐近线,ab方程.29 【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，P 是曲线 上的一个动点，则点 PxOy4()yx到直线 x+y=0 的距离的最小值是 .【答案】4【解析】当直线 x+y=0 平移到与曲线 相切位置时，切点 Q 即为点 P，此时到直线 x+y=0 的4yx距离最小.由 ，得 ， ，即切点 ，241yx2()x舍 32y(2,3)则切点 Q 到直线 x+y=0 的距离为 ，241故答案为 4【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算
32、素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.30 【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，A 为直线 上在第一象限内的点， ，xOy:2lyx(5,0)B以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为_0BC【答案】3【解析】设 ，则由圆心 为 中点得,2(0)AaA5,2a易得 ，与 联立解得点 的横坐标 所以 .:52CxyayxD1,Dx,2所以 ，5,21,BaD由 得 或 ，0AC2520,30,aaa 1因为 ，所以a3.【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合
33、问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.31 【2018 年高考浙江卷】已知点 P(0，1) ，椭圆 +y2=m(m1)上两点 A，B 满足 =2 ，则当4xPBm=_时，点 B 横坐标的绝对值最大【答案】 5【解析】设 ， ，1(,)Axy2(,)由 得 ， ，2P12()y所以 ，13因为 ， 在椭圆上，所以 ， ，AB214xym24xy所以 ，224(3)xy所以 ，224与 对应相减得 ， ，24xym23my221(09)44xm当且仅当 时取最大值5m【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求
34、解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个) 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32【2017 年高考北京卷理数】若双曲线 的离心率为 ，则实数 m=_21yxm3【答案】2【解析】 ，所以 ，解得 21,abm13ca2【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题解题时要注意 、 、 c的关系，即 22cb，以及当焦点在 轴时，哪些量表示 ，否则很容易出现x2,ab错误最后根据离心率的公式计算即可.33 【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点xOy21(0,)
35、yab到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是 _(,0)Fc32c【答案】 2【解析】因为双曲线的焦点 到渐近线 ，即 的距离为 ，(,0)Fcbyxa0y20bcba所以 ，因此 ， ， 32bc222314abc2e34 【2018 年高考北京卷理数】已知椭圆 ，双曲线 若双曲线2:(0)xyMab2:1xyNmn的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的N M离心率为_；双曲线 的离心率为_ N【答案】 312【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得3c，所以椭圆 的离心率为 双曲线 的渐近线方程为 ，32caM2
36、113caNnyxm由题意得双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，所以 ，所以N32tan3m，所以 2234mne2e35【2017 年高考山东卷理数】在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 的右支与焦21(0,)xyab点为 F的抛物线 20xp交于 ,AB两点，若 4FB，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】 2yx【解析】由抛物线定义可得： ,|=422ABABppFByyp因为 ,所以 渐近线方程222210xyapbaabp 22ABbyab为 .2yx【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法
37、；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为 12ByAx的形式，当 0A， B， A时为椭圆，当0AB时为双曲线 .2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理36【2017 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分xOy213xy别交于点 ， ，其焦点是 ，则四边形 的面积是_PQ12,F12FPQ【答案】 23【解析】右准线方程为 ，渐近线方程为 ，301x3yx设 ，则 ， ， ，310(,)P310(,)Q1(
38、0,)F2(1,0)所以四边形 的面积 12F32S【名师点睛】（1）已知双曲线方程 求渐近线：21(0,)xyab；（2）已知渐近线 可设双曲线方程为 ；20xybabaymx2(0)mxy（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，垂足为对应准线与渐近线的交点b37【2017 年高考全国 I 理数 】已知双曲线 C： 的右顶点为 A，以 A 为圆心，b21(0,)xyab为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若MAN=60，则 C 的离心率为_【答案】 23【解析】如图所示，作 ，APN因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点，则 为双曲线的渐近线
39、上的点，且 ， ，MNbyxa(,0)Aa|ANb而 ，所以 ，P30P点 到直线 的距离 ，(,0)Aayx2|1ba在 中， ，代入计算得 ，即 ，RtPN |cosPAN233ab由 得 ，所以 22cabc23cbea【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；双曲线的焦点到渐近线的距离是 ；双曲线的顶点到渐近线的距离是 .babc38【2017 年高考全国 II 理数】已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交F:C28yxMCF轴于点 若 为 的中点，则 _yN
40、MN【答案】 6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作 于点 ，xFBl于点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ，Al2x|2,|4AN在直角梯形 中，中位线 ，ANF| 32ANFBM由抛物线的定义有： ，结合题意，有 ，|3|M故 6【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简
41、单化39 【2018 年高考全国理数】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与1M，24Cyx： k交于 ， 两点若 ，则 _CAB90ABk【答案】2【解析】设 ，则 ，所以 ，所以12,AxyB214yx21124yx.12124yk取 AB 中点 ,分别过点 A,B 作抛物线准线 的垂线，垂足分别为 ，设 F 为 的焦0Mxy 1x,ABC点.因为 ,所以 .90AB122FB 因为 为 AB 中点，所以 平行于 x 轴. 因为 M(1,1)，所以 ，则 ，即 .01y2yk故答案为 2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设 ，12,AxyB利用点差法得到 ，取 AB 中点 ,分别过点 A,B 作抛物线准线 的垂12124ykxy0Mxy 线，垂足分别为 ，由抛物线的性质得到 ，进而得到斜率.,AB12
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