1、专题 10 解三角形1【2018 年高考全国理数】在 中， ， ， ，则ABC5cos21BC5ABA B42 30C D9 5【答案】A【解析】因为2253cos11,C所以 ，故选 A.22cos53242ABBAAB， 则【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2【2018 年高考全国理数】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为ABC ， ， abcABC，则24abcA B2 3C D4 6【答案】C【解析】由题可知 ，所以 ，221sin4ABCabcS 22sinCabca由
2、余弦定理 ，得 ，因为 ，所以 ，故选 C.22cosabicosC0,4【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3【2017 年高考山东卷理数】在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c若 为锐角三 ABC角形，且满足 ，则下列等式成立的是sin(12cos)incossinBCACA 2ab B 2ba C D A【答案】A【解析】由题意知 ，sin()2sinco2sincosinACC所以 ，2sicocBBAba故选 A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形
3、. 首先用两角和的正弦公式转化为含有 A，B，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到 2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.4【2019 年高考全国卷理数】 的内角 的对边分别为 .若 ，则 ,ABC,abc6,3cB的面积为_ABC【答案】 63【解析】由余弦定理得 ，所以 ，即 ，22cosbaB2 21()6cc1c解得 （舍去） ，23,c所以 ，4a13sin426.2ABCSac【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算本题首先应用余弦定理，建立关于 的方
4、程，应用 的c,ac关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查5 【2019 年高考浙江卷】在 中， ， ， ，点 在线段 上，若ABC 904AB3CDAC，则 _， _45BDCcosD【答案】 ，12570【解析】如图，在 中，由正弦定理有： ，而 ，ABD sinsiABDC34,ABD， ，所以 .25AC=+34sin,co55C 125.7cosc()ssin4410BBABABAC【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在 中应用正弦定理，建立方程，进
5、而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.ABD6 【2018 年高考浙江卷】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 ，b=2，A=60，7则 sin B=_，c =_【答案】 ，3217【解析】由正弦定理得 ，所以sinaAbB221sisin,37由余弦定理得 （负值舍去）.22 2co,74,c【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得 sinB，根据余弦定理解出 c.7【2017 年高考浙江卷】已知ABC，AB=AC =4，BC=2 点 D
6、 为 AB 延长线上一点，BD =2，连结 CD，则BDC 的面积是_，cosBDC=_ 【答案】150,24【解析】取 BC 中点 E，由题意： ，ABCABE 中， ， ，1cos4BC115cos,sin464DBC 15sin22BCDS ， ，A21cocscos4ABCDBC解得 或 （舍去） 10cos4BC10s4综上可得，BCD 面积为 ， 52coBDC【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需
7、作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组） ，解方程（组）得出所要的解8 【2019 年高考全国卷理数 】 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设2(sin)sinisnBCA（1）求 A；（2）若 ，求 sinCabc【答案】 （1） ；（2） .6062sin4【解析】 （1）由已知得 ，22iiisinBABC故由正弦定理得 2bcab由余弦定理得 221cosbcaA因为 ，所以 01860（2）由（1）知 ，2BC由题设及正弦定理得 ，sin12sinAC即 ，可得 631coii222co60由于 ，所以 ，故
8、01C2sin60Csini6cos060sin624【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9【2019 年高考全国卷理数】 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，已知sinsi2ACab（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求 ABC 面积的取值范围【答案】 （1）B=60；（2） .3(,)82【解析】 （1）由题设及正弦定理得 sinsinACBA因为sinA 0，所以 sini2ACB由 ，可得 ，故
9、 180ABCsincos2ACBs2incosB因为 ，故 ，cos2iB因此B=60（2）由题设及（1）知ABC的面积 34ABCSa由正弦定理得 sin120i 1tan2ca由于ABC为锐角三角形，故090时，在 中， .1PB 1由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点 Q只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，.此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径.2215631CA综上，当PBAB ，点Q位于点C右侧，且CQ= 时，d最小，此时P，Q两点间的距离321PQ=PD+CD+CQ=17+ .321因此，d最小时，P，Q两点间
10、的距离为 17+ （百米）.解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12 ，AC=6 ，所以OH =9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径， AB=10，所以圆O 的方程为x 2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为 .4因为PBAB，所以直线PB的斜率为 ，3直线PB的方程为 .4253yx所以P（13 ，9）， .22(1)(93)15PB因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=490时，在 中， . 5P由上可知，
11、d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q 只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q （a，9），由 ，得a= ，所以Q（ ，9），此时，线段QA22(4)(93)15(4)Aa3214321上所有点到点O的距离均不小于圆 O的半径.综上，当P（13，9），Q（ ，9）时，d最小，此时P，Q 两点间的距离.4321()7321因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 （百米）.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14【2018 年高考全国理数】在平面四边形 中， ， ，
12、 ，ABCD9045A2B.5BD（1）求 ；cosAB（ 2） 若 ， 求 .2C【答案】 （1） ；（2）5.35【解析】 （1）在 中，由正弦定理得 .ABD siniBDAB由题设知， ，所以 .52sin4iADB2sin5AB由题设知， ，90所以 .23cos15（2）由题设及（1）知， .2cossin5BDCA在 中，由余弦定理得BCD 22cos585.2所以 .5BC【名师点睛】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.15【2017 年高考全国理数】
13、的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 的面积为 ABC. 23sinaA（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求 的周长.ABC【答案】 （1） ；（2） .33【解析】 （1）由题设得 ，即 .21siniacBA1sin3iacBA由正弦定理得 .1sinsin23ACB故 .siB（2）由题设及（1）得 ，即 .1cossin2BC1cos()2BC所以 ，故 .3BCA由题设得 ，即 .21sin2iabc8bc由余弦定理得 ，即 ，得 .292()393bc故 的周长为 . ABC3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目
14、所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如 ，从而求出范围，或利用余弦定理sin()yAxb以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.16【2018 年高考天津卷理数】在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知.sincos()6bAaB（1）求角 B 的大
15、小；（2）设 a=2，c=3，求 b 和 的值.sin(2)AB【答案】（1） ；（2）b= ， = .37i()314【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分 13 分（1）在ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，siniabABsiniAaB又由 ，得 ，sincos()6bAaBcos()6即 ，可得 i tan3又因为 ，可得 B= (0)B，（2）在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c =3，B = ，有 ，故 b= 322cos7baB由 ，可得 sincos()6bAaBsin
16、7A因为 ac，故 27因此 ， 43sin2icosA21coss7A所以， i()in2inBB43324【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围17【2017 年高考全国理数】 的内角 的对边分别为 ，已ABC , ,abc知 2sin8sinAC（1）求 ；coB（2）若 ， 的面积为 ，求 6aAC 2b【答案】 （1） ；（2） 15cos7【解析】 （1）由题设及 ，可得 ，故 ABC2sin8iB
17、sin41cosB上式两边平方，整理得 ，217cos3150解得 (舍去)， cosB5（2）由 得 ，故 15cos7B8sin14=sin27 ABCSacc又 ，则 =ABCS 2a由余弦定理及 得：6c222 175os1cos362()4,baacB所以 【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边” ，另外要注意 三者之间的关系，这样的题目小而活，备受2,ac命题者的青睐18【2018 年高考北京卷理数】在ABC 中，a=7 ，
18、b=8 ，cosB= 17（1）求A ；（2）求 AC 边上的高【答案】（1） ；（2） 3【解析】（1）在ABC 中，cos B= ，B（ ，），172sinB= 243cos7由正弦定理得 = ，siniabABsinA8437sinA= 32B（ ， ），A（0， ），2A= 3（2）在ABC 中，sinC=sin（A+ B）=sinAcos B+sinBcosA= = 3143()271如图所示，在ABC 中，sinC= ，h= = ，sinC14AC 边上的高为 32【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到
19、解决问题的目的，基本步聚是：第一步，定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步，定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边、角之间的互化；第三步，求结果.19【2017 年高考天津卷理数】在 中，内角 所对的边分别为 已知 ，ABC , ,abcb， 5,6ac3sin5（1）求 和 的值；b（2）求 的值si()4A【答案】 （1） 的值为 ， 的值为 ；（2） .b13sinA3176【解析】 （1）在 中，因为 ，故由 ，可得 BC absin5B4cos5B由已知及余弦定理，有 ，22co13b所以 3b由正弦定理 ，得 siniabABsi
20、n31iaBAb所以， 的值为 ， 的值为 b13si13（2）由（1）及 ，得 ，ac2oA所以 ， 1sin2is3A25cs1sin13A故 7i()io2i4446【名师点睛】 （1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值 （2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题20【2017 年高考全国理数】 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知，a=2 ，b=2.sin3cos0A7（1）求 c
21、；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，求ABD 的面积.【答案】 （1） ；（2） .43【解析】 （1）由已知可得 ，所以 .tanA23在 中，由余弦定理得 ，即 .ABC284cos240c解得 (舍去)， .6cc（2）由题设可得 ，2D所以 .6BACA故 面积与 面积的比值为 .ABD C1sin261ABDC又 的面积为 ，14sin32所以 的面积为 . 3【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角
22、，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.（1）由题意首先求得 ，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得 ；23A 4c（2）利用题意首先求得 的面积与 的面积的比值，然后结合 的面积可求得BD AC ABC的面积为 .ABD21【2017 年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器 的底面对角线 AC 的长为 10 cm，容器的两底面对角线 ， 的长分别为7EG114cm 和 62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm现有一根玻璃棒 l，其长度为40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1
23、）将 放在容器中， 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中部分的长度；ll 1Cl（2）将 放在容器中， 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中部分的长度ll Gl【答案】（1）16 cm(如果将 “没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)；（2）20 cm(如果将 “没入水中部分 ”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)【解析】（1）由正棱柱的定义， 平面 ，所以平面 平面 ，1C ABD1AC BDCA记玻璃棒的另一端落在 上点 处1M因为 ，所以 ，从而 ，107,4A2240(17)30C3sin4MAC记 与水面的交点为 ，过
24、作 P1Q1AC，Q 1 为垂足，M1则 P1Q1平面 ABCD，故 P1Q1=12，从而 AP1= 6sinMAC答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm(如果将“没入水中部分”理解为 “水面以上部分”，则结果为 24cm)（2）如图，O，O 1 是正棱台的两底面中心由正棱台的定义，OO 1平面 EFGH，所以平面 E1EGG1 平面 EFGH，O 1OEG同理，平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1，O 1OE 1G1记玻璃棒的另一端落在 GG1 上点 N 处过 G 作 GKE 1G1，K 为垂足，则 GK =OO1=32因为 EG = 14，E 1G1= 62，所以 KG1= ，
25、从而 6242211 430KG设 则 1,EGN 114sini()cos25KG 因为 ，所以 23co5在 中，由正弦定理可得 ，解得 ENG401sini7sin25因为 ，所以 022co5于是 4273sinsi()sin()sicosin()55NEG记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2 作 P2Q2EG，Q 2 为垂足，则 P2Q2平面 EFGH，故 P2Q2=12，从而 EP2= 0sinNEG答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm(如果将“没入水中部分”理解为 “水面以上部分”，则结果为 20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形 ACM 中，利用
26、相似性质求解 AP1；（2）转化到三角形 EGN 中，先利用直角梯形性质求角 ，再利用正弦定理求角 ，最后根据直角三角1EG ENG形求高，即为 没入水中部分的长度l解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果22【2017 年高考北京卷理数】在ABC 中， =60，c= a.A37（1）求 sin C 的值；（2）若 a=7，求ABC 的面
27、积.【答案】 （1） ；（2） .3463【解析】 （1）在ABC 中，因为 ， ，0A37ca所以由正弦定理得 .sini214cCa（2）因为 ，所以 .7a37由余弦定理 得 ，22cosbA2213b解得 或 （舍）.85所以ABC 的面积 .13sin8622Sbc【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理实现边角互化；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“ 变角 ”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.（1）根据正弦定理 求 的值；siniacACsin（2）根据条件可知 根据余弦定理求出 b 的值，最后利用三角形的面积公式7,3进行求解即可.sinSbc
浙公网安备33030202001339号