1、第六章 反比例函数,初中数学（北师大版）九年级 上册,知识点一 利用反比例函数解决实际问题,例1 你吃过拉面吗?实际上,在做拉面的过程中就渗透着数学知识:一 定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面面积) S(mm2)的反比例函数,其图象如图6-3-1.图6-3-1 (1)写出y与S之间的函数表达式; (2)当面条粗为1.6 mm2时,面条的总长度是多少米?,知识点二 反比例函数与一次函数的综合运用求两个函数图象的交点坐标时,往往把两个函数的表达式联立组成 方程组,求得的解就是交点坐标. (1)正比例函数y=k1x(k10)与反比例函数y= (k20),当k1与k2同号时
2、,正 比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点,交点坐标就是方程组 的解,且两个函数图象的交点关于原点对称;当k1与k2异号时,两 个函数的图象没有交点. (2)一次函数y=k1x+b(k10)与反比例函数y= (k20)的图象的交点个数 有三种情况:1个,2个或0个.因为两个函数的表达式联立组成一个二元方,程组,可化成一个一元二次方程,所以两个函数图象的交点个数由这个 一元二次方程实数解的个数来决定. 注意 将k1x+b= 化为一元二次方程,求出一元二次方程的解后,要注 意判断该解是不是增根.,例2 如图6-3-2,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象相交 于M(2,m),N
3、(-1,-4)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)根据图象写出当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围.图6-3-2,分析 确定两个函数的表达式,根据图象写出结果.,解析 (1)将N(-1,-4)代入y= 中,得-4= ,即k=4, 所以反比例函数的表达式为y= . 将M(2,m)代入y= 中,得m= ,即m=2. 将M(2,2),N(-1,-4)代入y=ax+b中,得解得 所以一次函数的表达式为y=2x-2. (2)由图象可知,当反比例函数的值大于一次函数的值时,x的取值范围为 x-1或0x0. 当y=40时, =40,解得x=300, 经检验,x=300是原分式方程
4、的解,即a=300. 当x=240时,y= =50,即b=50. (2)列表:,分析 (1)先把B的坐标代入反比例函数y= 中,得出m的值,再把A的坐标 代入,求出n的值,然后将点A和点B的坐标分别代入y=kx+b中,运用待定 系数法求其表达式;(2)经过观察可发现:方程的解应为所给函数图象的 两个交点的横坐标;(3)先求出直线y=kx+b与y轴的交点(设交点为C)的坐 标,然后利用SAOB=SAOC+SBOC进行计算;(4)观察函数图象得到当-42时,一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即kx+b- 0),把x=10,y=30代入得30= ,解得k=300, y= . 将其余各点代入验证,
5、均适合, y与x的函数关系式为y= . (2)把y=24代入y= ,得24= ,解得x=12.5, 当弹簧秤的示数为24 N时,弹簧秤与点O的距离是12.5 cm. 由(1)中图象可知,随着弹簧秤与点O的距离不断减小,弹簧秤上的示数 不断增大.,素养呈现 本题是以现实生活的杠杆为背景,改变弹簧秤与点O的距离 x,观察弹簧秤的示数y的变化情况,比较分析.顺次连接以各组对应值为 点的坐标,观察得到的函数图象,比较分析后猜想出y与x的函数关系是 反比例函数.将数据代入,利用待定系数法求出反比例函数的解析式,再 根据反比例函数图象的性质得出结论.从数学的发展看,它本身也是充 满着观察与猜想的探索活动.
6、通过引导同学们观察、动手操作、比较分 析、猜想归纳,在“做数学”中学数学,获得数学学习的经验,并从中提 升数学抽象能力.,知识点一 利用反比例函数解决实际问题,1.(2017浙江台州中考)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之 间的关系为I= ,当电压为定值时,I关于R的函数图象是 ( ),答案 C I= ,电压为定值,I关于R的函数是反比例函数,且图象在 第一象限,故选C.,2.某地计划用120180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程,工程 需要运送的土石方总量为360万立方米. (1)写出运输公司完成任务所需时间y(单位:天)与平均每天的工作量x (单位:万立方米
7、)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石方比原计划多5 000立 方米,工期比原计划减少了24天,原计划和实际平均每天运送土石方各 多少万立方米?,知识点二 反比例函数与一次函数的综合运用,3.在同一直角坐标系中,直线y=x+1与双曲线y= 的交点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定,答案 C 将两解析式联立得 由得xy=1, 将代入并整理,得x2+x-1=0, =12-41(-1)=50, 方程有两个不相等的实数根, 从而可知方程组 有两个解, 所以两函数图象的交点个数为2.,答案 B 观察函数图象,发现:当-62时,一次
8、函数的图象在反 比例函数图象的上方,当kx+b 时,x的取值范围是-62.,5.(2017四川资阳中考)如图6-3-2,一次函数y1=kx+b(k0)的图象与反比例函数y2= (m0,x0)的图象交于点A(-3,1)和点C,与y轴交于点B,AOB的面积是6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)当x0时,比较y1与y2的大小.图6-3-2,1.(2017青海中考)如图,已知A ,B(-1,2)是一次函数y1=kx+b(k0)与 反比例函数y2= (m0,xy2,则x的取值范围是 ( )A.x-1 D.xy2在图象上表示一次函数的图象在反比例函数图象上方 的部分,即A与B之间的部分,此
9、时x的取值范围是-4x-1.故选B.,2.如图所示,已知一次函数y=kx+b(k0)的图象与x轴、y轴分别交于A、 B两点,且与反比例函数y= (m0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直 于x轴,垂足为D,OA=OB=OD=1.(1)求点A、B、D的坐标; (2)求一次函数和反比例函数的表达式.,解析 (1)OA=OB=OD=1,A、B、D的坐标分别为(-1,0)、(0,1)、(1,0). (2)点A、B在一次函数y=kx+b(k0)的图象上, 解得 一次函数的表达式为y=x+1. C点在一次函数y=x+1的图象上,CD垂直于x轴, C点的坐标为(1,2). 又点C在反比例函数y= (m0)的
10、图象上,m=2, 反比例函数的表达式为y= .,3.如图所示,反比例函数的图象经过点A,B,点A的坐标为(1,3),点B的纵坐 标为1,点C的坐标为(2,0). (1)求该反比例函数的表达式; (2)求直线BC所对应的函数表达式.,解析 (1)设该反比例函数的表达式为y= (k0). 因为点A(1,3)在反比例函数的图象上,所以3= ,所以k=3.故该反比例函 数的表达式为y= . (2)设直线BC所对应的函数表达式为y=k1x+b(k10). 因为点B在反比例函数y= 的图象上,点B的纵坐标为1,所以点B的坐标 为(3,1). 由题意得 解得 所以直线BC所对应的函数表达式为y=x-2.,4
11、.如图,一次函数y=kx+b和反比例函数y= 的图象交于A、B两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)当kx+b 时,x的取值范围为 ; (3)求OAB的面积.,解析 (1)由题图可知A(-2,-2), 反比例函数y= 的图象过点A(-2,-2), m=4,反比例函数的解析式是y= , 把x=3代入y= 得,y= , B点的坐标是 . 一次函数y=kx+b的图象过A、B两点, 解得 一次函数的解析式是y= x- .,(2)x-2或0x0)的图象上, m=22=4.,反比例函数的解析式为y= . B(4,2),BCx轴,点N在BC上, 点N的横坐标为4, 把x=4代入y=- x+3
12、,得y=- 4+3=1, N(4,1),41=4, 点N在反比例函数y= 的图象上.,解析 (1)温度在由室温10 上升到30 的过程中,电阻与温度成反 比例关系, 可设R和t之间的关系式为R= (k0), 将(10,6)代入上式,得6= , 解得k=60. 故当10t30时,R= . (2)将t=30代入R= 中,得R= =2. 温度在30 时,电阻R为2 k. 在温度达到30 时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度的升高而增 加,温度每上升1 ,电阻增加 k,当t30时,R=2+ (t-30)= t-6. (3)把R=5代入R= t-6,得t=41.25, 把R=5代入R= ,得t=12.
13、所以温度在12 41.25 时,发热材料的电阻不超过5 k.,1.某物体对地面的压力为定值,物体对地面的压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数关系式为p= ,如图所示,那么当S逐渐增大时,p ( )A.逐渐增大 B.为定值 C.逐渐变小 D.无法判断,答案 C 根据函数p= 中的k=1600得,在第一象限内,p随着S的增 大而减小,当S逐渐增大时,p逐渐变小,故选C.,2.探究杠杆平衡时阻力和动力的关系.实验过程中,保持阻力和阻力臂不 变,然后改变动力F1,并保持杠杆水平平衡,分别测量出动力臂L1和动力F1 的数据如下表所示.请你根据实验条件和实验数据帮助小东归纳出动力 F1与动力臂L1
14、的关系式: .,3.用洗衣粉洗衣服时,漂洗的次数与衣服中洗衣粉的残留量近似地满足 反比例关系.寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各洗一件同样的 衣服,漂洗时,小红每次用一盆水(约10升),小敏每次用半盆水(约5升),如 果她们都用了5克洗衣粉,第一次漂洗后,小红的衣服中残留的洗衣粉还 有1.5克,小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克. (1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的 函数关系式; (2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时,便视为衣服漂洗干净,从节约用水的 角度来看,你认为谁的漂洗方法值得提倡?为什么?,解析 (1)设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函
15、数关 系式分别为y1= (k10)、y2= (k20), 将 和 分别代入两个关系式得 1.5= ,2= , 解得k1=1.5,k2=2. y1= ,y2= . (2)把y=0.5分别代入两个函数关系式,得=0.5, =0.5, 解得x1=3,x2=4,103=30(升),54=20(升). 30升20升, 小敏的漂洗方法用水少,值得提倡.,一、选择题 1.(2019湖北黄石期末,9,)如图6-3-7,正比例函数y=x与反比例函数 y= 的图象交于A、B两点,其中A(2,2),当y=x的函数值大于y= 的函数 值时,x的取值范围为( )图6-3-7 A.x2 B.x2,答案 D 正比例函数y=
16、x与反比例函数y= 的图象交于A、B两点, 其中A(2,2),点B的坐标为(-2,-2), 当x2或-2x1或-4x0时,kx+b4. (3)如图,作B关于x轴的对称点B,连接BB,AB,AB交x轴于P,连接BP, 则PA+PB=AB,此时PA+PB的值最小,B(4,1),B(4,-1).设直线AB的解析式为y=px+q, 把A(1,4),B(4,-1)代入,得解得,直线AB的解析式为y=- x+ . 令y=0,得- x+ =0, 解得x= , 点P的坐标为 .,1.(2017天津和平一模,11,)科学证实:近视眼镜的度数y(度)与镜 片焦距x(m)成反比例关系,如果500度近视眼镜片的焦距为
17、0.2 m,则表示 y与x函数关系的图象大致是( ),答案 B 设y= (k0), 点(0.2,500)在此函数图象上,k=0.2500=100, y= .故选B.,2.(2017广西柳州城中一模,17,)某闭合电路中,电源的电压为定 值,电流I(A)与电阻R()成反比例关系.如图是该电路中电流I与电阻R之 间函数关系的图象,当电阻R为6 时,电流I为 A.,3.(2017河北石家庄裕华模拟,23,)小明家的饮水机中原有水的温 度为20 ,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温y()与开机 时间x(分)满足一次函数关系),当加热到100 时自动停止加热,随后水 温开始下降(此过程中水温y
18、()与开机时间x(分)成反比例关系).当水温 降至20 时,饮水机又自动开始加热,重复上述程序(如图所示),根据图 中提供的信息,解答下列问题:,(1)当0x8时,求水温y()与开机时间x(分)的函数关系式; (2)求图中t的值; (3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步45分钟回到家 时,饮水机内的温度约为多少.,解析 (1)当0x8时,设水温y()与开机时间x(分)的函数关系式为 y=kx+b(k0), 由题意得 解得 当0x8时,所示函数关系式为y=10x+20. (2)在水温下降过程中,设水温y()与开机时间x(分)的函数关系式为 y= (m0), 由题意得100= , 即
19、m=800,故y= .,当y=20时,20= ,解得t=40. (3)45-40=58, 当x=5时,y=105+20=70. 答:小明散步45分钟回到家时,饮水机内的温度约为70 .,4.(2019广东广州荔湾期末,22,)制作一种产品,需先将材料加热达 到60 后,再进行操作,设该材料的温度为y( ),从加热开始计算的时 间为x(min).据了解,当将材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停 止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图).已知在操作加热 前的温度为15 ,加热5分钟后温度达到60 . (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数关系式; (2)根据
20、工艺要求,当材料的温度低于15 时,须停止操作,那么从开始加 热到停止操作,共经历了多长时间?,解析 (1)当0x5时,设一次函数的解析式为y=kx+b, 把(0,15),(5,60)代入,得 解得 所以一次函数的解析式为y=9x+15. 当x5时,设反比例函数的解析式为y= (m0), 把(5,60)代入,得m=560=300, 所以反比例函数的解析式为y= . (2)当y=15时, =15,解得x=20, 所以从开始加热到停止操作,共经历了20分钟.,5.(2019湖南张家界慈利期中,23,)如图,在平面直角坐标系xOy中, 直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点C(0,2),且与反比例函数
21、y= 在第一 象限内的图象交于点B,作BDx轴于点D,OD=2. (1)求直线AB的函数解析式; (2)设点P是y轴上的点,若PBC的面积等于6,直接写出点P的坐标; (3)设M点是y轴上的点,且MBC为等腰三角形,求M点的坐标.,解析 (1)BDx轴,OD=2,点D的横坐标为2, 将x=2代入y= ,得y=4,B(2,4), 设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k0), 将点C(0,2)、B(2,4)代入y=kx+b,得 直线AB的函数解析式为y=x+2. (2)P(0,8)或P(0,-4).(求解过程:点P是y轴上的点,PBC的面积等于6, B(2,4),SPBC= CP2=6,CP=6
22、,C(0,2),P(0,8)或P(0,-4) (3)B(2,4),C(0,2),BC=2 .,当BM=BC时,点B是线段MC垂直平分线上的点,此时M(0,6); 当MC=BC=2 时,M(0,2+2 )或M(0,2-2 ); 当BM=MC时,M(0,4). 综上所述,满足条件的点M的坐标是(0,6)或(0,2+2 )或(0,2-2 )或(0,4).,答案 D 观察函数图象可知,当-21时,直线y=ax+b在双曲线 y= 的下方,即不等式ax+b1.,2.(2018湖北宜昌中考,15,)如图6-3-12,一块砖的A、B、C三个面 的面积比为421.如果A、B、C面分别向下放在地上,地面所受压强
23、为p1,p2,p3,压强的计算公式为p= ,其中p是压强,F是压力,S是受力面积, 则p1,p2,p3的大小关系正确的是 ( )图6-3-12 A.p1p2p3 B.p1p3p2 C.p2p1p3 D.p3p2p1,答案 D 压力F一定时,压强p与受力面积S成反比例关系,故选D.,3.(2018浙江湖州中考,6,)如图6-3-13,已知直线y=k1x(k10)与反 比例函数y= (k20)的图象交于M,N两点,若点M的坐标是(1,2),则点N 的坐标是 ( )图6-3-13 A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(-2,-1),答案 A 由题意可知点M、N关于原点对称,点
24、N的坐标为(-1,-2).,二、解答题 4.(2017浙江杭州中考,20,)在面积都相等的所有矩形中,当其中一 个矩形的一边长为1时,与该边相邻的边长为3. (1)设矩形的相邻两边长分别为x,y. 求y关于x的函数表达式; 当y3时,求x的取值范围; (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10.你 认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?,解析 (1)设线段AB的解析式为y=k1x+b(k10), 将点(0,10),(2,14)代入,得 解得 线段AB的解析式为y=2x+10(0x5),B在线段AB上,当x=5时,y=20, B的坐标为(5,20),线段BC的解析式为y=20
25、(5x10). 设双曲线CD段的解析式为y= (k20),点C在线段BC上,点C的坐 标为(10,20),又点C在双曲线y= (k20)上,k2=200,双曲线CD段 的解析式为y= (10x24). y关于x的函数解析式为y=,(2)由(1)可知恒温系统设定的恒定温度为20 . (3)把y=10代入y= 中,解得x=20. 20-10=10. 答:恒温系统最多可以关闭10小时,才能使蔬菜避免受到伤害.,1.(2018山东临沂中考,12,)如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2 = 的图象相交于A、B两点,其中点A的横坐标为1,当y11 B.-11 C.-1x0或0x1 D.x-1或0x
26、1,答案 D 由反比例函数与正比例函数图象的中心对称性和正比例函 数y1=k1x与反比例函数y2= 的图象的交点A的横坐标为1,得另一个交点 B的横坐标为-1,结合图象知,当y1y2时,x的取值范围是x-1或0x1.,2.(2017四川泸州中考,23,)一次函数y=kx+b(k0)的图象经过点A (2,-6),且与反比例函数y=- 的图象交于点B(a,4). (1)求一次函数的解析式; (2)将直线AB向上平移10个单位后得到直线l:y1=k1x+b1 (k10),l与反比 例函数y2= 的图象相交,求使y1y2成立的x的取值范围.,解析 (1)由题意得4a=-12,a=-3,B(-3,4),
27、 解得 所以一次函数的解析式为y=-2x-2. (2)直线AB向上平移10个单位后得直线l的解析式为y=-2x+8. 联立 解得x1=1,x2=3. 易知y13.,3.(2017山东烟台中考,22,)数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的 变化情况,发现该冷柜的工作过程是:当温度达到设定温度-20 时,制 冷停止,此后冷柜中的温度开始逐渐上升,当上升到-4 时,制冷开始,温 度开始逐渐下降,当冷柜自动制冷至-20 时,制冷再次停止,按照 以上方式循环进行. 同学们记录了44 min内15个时间点冷柜中的温度y()随时间x(min)的 变化情况. 制成下表:,(1)通过分析发现,冷柜中的温度y是时间x
28、的函数. 当4x20时,写出一个符合表中数据的函数解析式: ; 当20x24时,写出一个符合表中数据的函数解析式: . (2)a的值为 ; (3)如图,在直角坐标系中,已描出了上表中部分数据对应的点,请描出剩 余数据对应的点,并画出当4x44时温度y随时间x变化的函数图象.,解析 (1)由表格可知当4x20时,xy=-80, y=- . 当20x24时,根据表格可知每经过1分钟,温度降低4 , 当20x24时,y=-4(x-20)-4,整理得y=-4x+76. (2)由表格可知第42分钟时的温度与第22分钟时的温度相同,a=-12. (3)如图所示:,答案 A 开机加热时每分钟上升10 ,从3
29、0 加热到100 需要 7分钟,当0x7时,设y=k1x+b(k10),将(0,30),(7,100)代入y=k1x+b(k10)中,可得k1=10,b=30,当0x7时,y=10x+30. 当7xa时,设y= (k0), 将(7,100)代入y= (k0),得k=700, 当7xa时,y= . 将y=30代入y= ,得30= , 解得x= ,a= . min为一个循环周期.,在上午7:20接通电源时,7:208:45这一时间段共85 min,85- 3=15,= 0,如图.由点A(- ,1),得tanAOC= , AOC=30,OAOB,ABx轴, ABO=30,OB=2OC=2 , SAO
30、P= OPAC= , SAOB= AOBO= 2 =2 , SAOP=SAOB, =2 ,即m=4 . 点P的坐标为(4 ,0). (3)将AOB绕点B按顺时针方向旋转60得到BDE, OBE=60-30=30. 如图,连接OE.,1.试验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精 含量y(毫克/百毫升)与时间x(小时)成正比例;1.5小时后(包括1.5小时),y 与x成反比例.根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)写出一般成人喝半斤低度白酒后y与x之间的函数关系式及相应的自 变量的取值范围; (2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百 毫升时属
31、于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾 驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上8:00能否驾车去上 班?请说明理由.,解析 (1)由题意可得:当0x1.5时,设函数关系式为y=kx(k0), 则150=1.5k,解得k=100,故y=100x. 当x1.5时,设函数关系式为y= (a0), 则a=1501.5=225,故y= (x1.5). 综上所述,y与x之间的函数关系式为y= (2)第二天早上8:00能驾车去上班. 理由:晚上20:00到第二天早上8:00有12个小时, 且当x=12时,y= =18.7520, 第二天早上8:00能驾车去上班.,2.(2016江苏连云港中考)环保局对某企业的排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系. (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式; (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的 1.0 mg/L?为什么?,
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