1、图形的相似与位似一、选择题1 （2018山东枣庄3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF平分CAB，交 CD于点 E，交 CB于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE的长为（ ）A B C D【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：过点 F作 FGAB 于点 G，ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF 平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF
2、，CE=CF，AF 平分CAB，ACF=AGF=90，FC=FG，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC， = ，AC=3，AB=5，ACB=90，BC=4， = ，FC=FG， = ，2解得：FC= ，即 CE的长为 故选：A【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE2 （2018 山东滨州 3分）在平面直角坐标系中，线段 AB两个端点的坐标分别为A（6，8） ，B（10，2） ，若以原点 O为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩短为原来的后得到线段 CD，则点 A的对应点 C的坐标
3、为（ ）A （5，1） B （4，3） C （3，4） D （1，5）【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出 C点坐标【解答】解：以原点 O为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩小为原来的 后得到线段CD，端点 C的横坐标和纵坐标都变为 A点的横坐标和纵坐标的一半，又A（6，8） ，端点 C的坐标为（3，4） 故选：C【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键3 （2018江苏扬州3 分）如图，点 A在线段 BD上，在 BD的同侧做等腰 RtABC 和等腰RtADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P，M对于下列结论：
4、BAECAD；MPMD=MAME；2CB 2=CPCM其中正确的是（ ）3A B C D【分析】 （1）由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明PAMEMD 即可；（3）2CB 2转化为 AC2，证明ACPMCA，问题可证【解答】解：由已知：AC= AB，AD= AEBAC=EADBAE=CADBAECAD所以正确BAECADBEA=CDAPME=AMDPMEAMDMPMD=MAME所以正确BEA=CDAPME=AMDP、E、D、A 四点共圆APD=EAD=90CAE=180BACEAD=90CAPCMAAC 2=CPCMAC= AB
5、2CB 2=CPCM所以正确故选：A【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案4 （2018山东临沂3 分）如图利用标杆 BE测量建筑物的高度已知标杆 BE高41.2m，测得 AB=1.6mBC=12.4m则建筑物 CD的高是（ ）A9.3m B10.5m C12.4m D14m【分析】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得 = ，然后利用比例性质求出 CD即可【解答】解：EBCD，ABEACD， = ，即 = ，CD=10.5（米）故选：B【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体
6、的高度利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度5（2018山东潍坊3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m，n）是线段 AB上一点，以原点O为位似中心把AOB 放大到原来的两倍，则点 P的对应点的坐标为（ ）A （2m，2n） B （2m，2n）或（2m，2n）C （ m， n） D （ m， n）或（ m， n）【分析】根据位似变换的性质计算即可【解答】解：点 P（m，n）是线段 AB上一点，以原点 O为位似中心把AOB 放大到原来的两倍，则点 P的对应点的坐标为（m2，n2
7、）或（m（2） ，n（2） ） ，即（2m，2n）或（2m，2n） ，故选：B【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或k6.（2018湖南省永州市4 分）如图，在ABC 中，点 D是边 AB上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边 AC的长为（ ）5A2 B4 C6 D8【分析】只要证明ADCACB，可得 = ，即 AC2=ADAB，由此即可解决问题；【解答】解：A=A，ADC=ACB，ADCACB， = ，AC 2=ADAB=28=16，AC0，AC=4，故选
8、：B【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型7 （2018四川宜宾3 分）如图，将ABC 沿 BC边上的中线 AD平移到A'B'C'的位置，已知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4若 AA'=1，则 A'D等于（ ）A2 B3 C D【考点】Q2：平移的性质【分析】由 SABC =9、S AEF =4且 AD为 BC边的中线知 SADE = SAEF =2，S ABD = SABC =，根据DAEDAB 知（ ） 2= ，据此求解可得【解答】解：如图，6S ABC =9、S
9、AEF =4，且 AD为 BC边的中线，S ADE = SAEF =2，S ABD = SABC = ，将ABC 沿 BC边上的中线 AD平移得到A'B'C'，AEAB，DAEDAB，则（ ） 2= ，即（ ） 2= ，解得 AD=2 或 AD= （舍） ，故选：A【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点8（2018四川自贡4 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE的面积为 4，则ABC 的面积为（ ）A8 B12 C14 D16【分析】直接利用三角形中
10、位线定理得出 DEBC，DE= BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE= BC，ADEABC，7 = ， = ，ADE 的面积为 4，ABC 的面积为：16，故选：D【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出ADEABC 是解题关键9（2018台湾分）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为 6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（ ）A只
11、使用苹果B只使用芭乐C使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多D使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多【分析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系，求出榨果汁后，苹果和芭乐的颗数，进而求出苹果，芭乐的用量，即可得出结论【解答】解：苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为 9：7：6，设苹果为 9x颗，芭乐 7x颗，铆钉 6x颗（x 是正整数） ，小柔榨果汁时没有使用柳丁，设小柔榨完果汁后，苹果 a颗，芭乐 b颗，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为 6：3：4， ， ，a=9x，b= x，苹果的用量为 9xa=9x9x=0，芭乐的
12、用量为 7xb=7x x= x0，她榨果汁时，只用了芭乐，故选：B【点评】此题是推理与论证题目，主要考查了根据比例的关系，比例的性质，求出榨汁后苹果和芭乐的数量是解本题的关键810 （2018台湾分）如图，ABC、FGH 中，D、E 两点分别在 AB、AC 上，F 点在 DE上，G、H 两点在 BC上，且 DEBC，FGAB，FHAC，若 BG：GH：HC=4：6：5，则ADE与FGH 的面积比为何？（ ）A2：1 B3：2 C5：2 D9：4【分析】只要证明ADEFGH，可得 =（ ） 2，由此即可解决问题；【解答】解：BG：GH：HC=4：6：5，可以假设 BG=4k，GH=6
13、k，HC=5k，DEBC，FGAB，FHAC，四边形 BGFD是平行四边形，四边形 EFHC是平行四边形，DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，FGH=B=ADE，FHG=C=AED，ADEFGH， =（ ） 2=（ ） 2= 故选：D【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型11 （2018湖北荆门3 分）如图，四边形 ABCD为平行四边形，E、F 为 CD边的两个三等分点，连接 AF、BE 交于点 G，则 SEFG ：S ABG =（ ）A1：3 B3：1 C1：9 D9：1【分
14、析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：四边形 ABCD是平行四边形，CD=AB，CDAB，DE=EF=FC，EF：AB=1：3，9EFGBAG， =（ ） 2= ，故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型12 （2018湖北恩施3 分）如图所示，在正方形 ABCD中，G 为 CD边中点，连接 AG并延长交 BC边的延长线于 E点，对角线 BD交 AG于 F点已知 FG=2，则线段 AE的长度为（ ）A6 B8 C10 D12【分析】根据正方形的性质可得出 ABCD，进而
15、可得出ABFGDF，根据相似三角形的性质可得出 = =2，结合 FG=2可求出 AF、AG 的长度，由 CGAB、AB=2CG 可得出 CG为EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE的长度，此题得解【解答】解：四边形 ABCD为正方形，AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABFGDF， = =2，AF=2GF=4，AG=6CGAB，AB=2CG，CG 为EAB 的中位线，AE=2AG=12故选：D10【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出 AF的长度是解题的关键13. （2018浙江临安3
16、分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（ ）A B C D【考点】相似三角形的判定，【分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=18045=135，A、C、D 图形中的钝角都不等于 135，由勾股定理得，BC= ，AC=2，对应的图形 B中的边长分别为 1和 ， = ，图 B中的三角形（阴影部分）与ABC 相似，故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌 握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键14（2018浙江临安3 分）如图，在ABC 中，DE
17、BC，DE 分别与 AB，AC 相交于点D，E，若 AD=4，DB=2，则 DE：BC 的值为（ ）11A B C D【考点】相似三角形的判定和相似三角形的性质【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解：DEBC，ADEABC， = = = 故选：A【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错15（2018重庆(A)4 分）要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 5cm， 6和 9c，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为A. 3B. 4m
18、C. 4D. 5c【考点】相似三角形的性质【解析】利用相似三角形三边对应成比例解出即可。【解答】解：设所求最长边为 xcm两三角形相似， 2.59x,. 4.5故选 C【点评】此题主要考查相似三角形的性质相似三角形的三边对应成比例，该题属于中考当中的基础题。16（2018广东3 分）在ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC的面积之比为（ ）A B C D【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，可得出 DE为ABC 的中位线，进而可得出DEBC 及ADEABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE 与ABC 的面积之比【解答】解：点 D、
19、E 分别为边 AB、AC 的中点，DE 为ABC 的中位线，12DEBC，ADEABC， =（ ） 2= 故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出 DEBC 是解题的关键17（2018 年四川省内江市）已知ABC 与A 1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A 1B1C1的面积比为（ ）A1：1 B1：3 C1：6 D1：9【考点】S7：相似三角形的性质【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可【解答】解：已知ABC 与A 1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A 1B1C1的面积比为 1：9
20、，故选：D【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键二.填空题1（2018 年四川省南充市）如图，在ABC 中，DEBC，BF 平分ABC，交 DE的延长线于点 F若 AD=1，BD=2，BC=4，则 EF= 13【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可【解答】解：DEBC，F=FBC，BF 平分ABC，DBF=FBC，F=DBF，DB=DF，DEBC，ADEABC， ，即 ，解得：DE= ，DF=DB=2，EF=DFDE=2 ，故答案为：
21、【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由 DEBC 可得出ADEABC2 (2018四川省绵阳市)如图，在ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE,AD垂直相交于点 O，则 AB=_.【答案】【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解：连接 DE，14AD、BE 为三角形中线，DEAB，DE= AB，DOEAOB， = = = ，设 OD=x，OE=y，OA=2x，OB=2y,在 RtBOD 中，x2+4y 2=4 ，在 RtAOE 中，4x2+y2= ，+ 得：5x2+5y2= ，x
22、2+y2= ，在 Rt AOB中，AB 2=4x2+4y2=4（x 2+y 2）=4 ，即 AB= .故答案为： .【分析】连接 DE，根据三角形中位线性质得 DEAB，DE= AB，从而得DOEAOB，根据相似三角形的性质可得 = = = ；设 OD=x，OE=y，从而可知OA=2x，OB=2y,根据勾股定理可得 x2+4y2=4，4x 2+y2= ，两式相加可得 x2+y2= ，在RtAOB 中，由股股定理可得 AB= .3（2018广东广州3 分）如图 9，CE 是平行四边形 ABCD的边 AB的垂直平分线，垂足为15点 O，CE 与 DA的延长线交于点 E，连接 AC，BE，DO，DO
23、 与 AC交于点 F，则下列结论：四边形 ACBE是菱形；ACD=BAEAF：BE=2：3 其中正确的结论有_。 （填写所有正确结论的序号） 【答案】 【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解：CE 是平行四边形 ABCD的边 AB的垂直平分线，AO=BO,AOE=BOC=90,BCAE，AE=BE，CA=CB，OAE=OBC，AOEBOC（ASA） ，AE=BC，AE=BE=CA=CB，四边形 A
24、CBE是菱形，故正确.由四边形 ACBE是菱形，AB 平分CAE，CAO=BAE，又四边形 ABCD是平行四边形，BACD，CAO=ACD，ACD=BAE.故正确.CE 垂直平分线 AB，O 为 AB中点，又四边形 ABCD是平行四边形，BACD，AO= AB= CD，AFOCFD， = ，16AF:AC=1:3,AC=BE，AF:BE=1:3,故错误. CDOC,由知 AF:AC=1:3, , = CDOC= , = + = = , 故正确.故答案为：.【分析】根据平行四边形和垂直平分线的性质得 AO=BO,AOE=BOC=90,BCAE，AE=BE，CA=CB，根据 ASA得AOEBOC，
25、由全等三角形性质得 AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出正确.由菱形性质得CAO=BAE，根据平行四边形的性质得 BACD，再由平行线的性质得CAO=ACD，等量代换得ACD=BAE；故正确.根据平行四边形和垂直平分线的性质得 BACD，AO= AB= CD，从而得AFOCFD，由相似三角形性质得 = ，从而得出 AF:AC=1:3,即 AF:BE=1:3,故错误.由三角形面积公式得 CDOC,从知 AF:AC=1:3,所以= + = = ,从而得出 故正确.4（2018广东深圳3 分）在 RtABC 中C=90，AD 平分CAB,BE 平分CBA,AD、BE相交于点 F，且 AF=4,
26、EF= ,则 AC=_17【答案】【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解：作 EGAF，连接 CF，C=90，CAB+CBA=90，又AD 平分CAB,BE 平分CBA,FAB+FBA=45，AFE=45，在 RtEGF 中，EF= ,AFE=45，EG=FG=1，又AF=4,AG=3,AE= ，AD 平分CAB,BE 平分CBA,CF 平分ACB,ACF=45，AFE=ACF=45，FAE=CAF，AEFAFC， ,即 ,AC= .故答案为： .【分析】作 EGAF，连接 CF，根据三角形内角和和角平分线定义得FAB+FBA=45，再由三角形外角性质得A
27、FE=45，在 RtEGF 中，根据勾股定理得 EG=FG=1，结合已知条18件得 AG=3,在 RtAEG 中，根据勾股定理得 AE= ；由已知得 F是三角形角平分线的交点，所以 CF平分ACB,ACF=45，根据相似三角形的判定和性质得 ,从而求出 AC的长.5（2018四川宜宾3 分）如图，在矩形 ABCD中，AB=3，CB=2，点 E为线段 AB上的动点，将CBE 沿 CE折叠，使点 B落在矩形内点 F处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）当 E为线段 AB中点时，AFCE；当 E为线段 AB中点时，AF= ；当 A、F、C 三点共线时，AE= ；当 A、F、C 三点共线时，
28、CEFAEF【考点】PB：翻折变换（折叠问题） ；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图 1中，当 AE=EB时，AE=EB=EF，EAF=EFA，CEF=CEB，BEF=EAF+EFA，BEC=EAF，AFEC，故正确，作 EMAF，则 AM=FM，19在 RtECB 中，EC= = ，AME=B=90，EAM=CEB，CEBEAM， = ， = ，AM= ，AF=2AM= ，故正确，如图 2中，当 A、F、C 共线时，设 AE=x则 EB=EF=3x，AF= 2，在 RtAEF 中，AE 2=AF2+EF2，x 2=（ 2） 2+（
29、3x） 2，x= ，AE= ，故正确，如果，CEFAEF，则EAF=ECF=ECB=30，显然不符合题意，故错误，故答案为【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题6（2018山东泰安3 分） 九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面20见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 H位于 GD的中点，南门 K位于 ED的中点
30、，出东门 15步的 A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A处的树木（即点 D在直线 AC上）？请你计算 KC的长为 步【分析】证明CDKDAH，利用相似三角形的性质得 = ，然后利用比例性质可求出 CK的长【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，AHDK，CDK=A，而CKD=AHD，CDKDAH， = ，即 = ，CK= 答：KC 的长为 步故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度217. （2018山东滨州5 分）如图，在矩形 ABCD中，AB=2，BC=4，点 E、F 分别在 BC、C
31、D上，若 AE= ，EAF=45，则 AF的长为 【分析】取 AB的中点 M，连接 ME，在 AD上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，则 NF= x，再利用矩形的性质和已知条件证明AMEFNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出 x的值，在直角三角形 ADF中利用勾股定理即可求出 AF的长【解答】解：取 AB的中点 M，连接 ME，在 AD上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，四边形 ABCD是矩形，D=BAD=B=90，AD=BC=4，NF= x，AN=4x，AB=2，AM=BM=1，AE= ，AB=2，BE=1，ME= = ，EAF=45，MAE+
32、NAF=45，MAE+AEM=45，MEA=NAF，AMEFNA， ， ，解得：x= ，AF= = 故答案为： 22【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，8 （2018山东菏泽3 分）如图，OAB 与OCD 是以点 O为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，OCD=90，AOB=60，若点 B的坐标是（6，0） ，则点 C的坐标是 （2，2） 【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质【分析】根据题意得出 D点坐标，再解直角三角形进而得出答案【解答】解：分别过 A作 AEOB，CFOB，OCD=90，AOB=60，A
33、BO=CDO=30，OCF=30，OAB 与OCD 是以点 O为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，点 B的坐标是（6，0） ，D（8，0） ，则 DO=8，故 OC=4，则 FO=2，CF=COcos30=4 =2 ，故点 C的坐标是：（2，2 ） 故答案为：（2，2 ） 【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键9 （2018四川成都3 分）已知 ，且 ，则 的值为_ 23【答案】12 【考点】解一元一次方程，比例的性质 【解析】 【解答】解：设 则 a=6k，b=5k，c=4k 6k+5k-8k=6，
34、解之：k=2a=62=12故答案为：12【分析】设 ，分别用含 k的式子表示出 a、b、c 的值，再根据 ，建立关于 k的方程，求出 k的值，就可得出 a的值。10（2018四川凉州3 分）已知ABCABC且 SABC ：S ABC =1：2，则AB：AB= 1： 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可【解答】解：ABCABC，S ABC ：S ABC =AB2：AB 2=1：2，AB：AB=1： 【点评】本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方三.解答题(要求同上一)1. （2018四川凉州7 分）如图，ABC 在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角
35、坐标系，使 A（2，3） ，C（6，2） ，并求出 B点坐标；（2）以原点 O为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将ABC 放大，画出放大后的图形ABC；（3）计算ABC'的面积 S24【分析】 （1）直接利用 A，C 点坐标得出原点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质即可得出A'B'C'；（3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可【解答】解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1） ；（2）如图：A'B'C'即为所求；（3）S A'B'C '= 48=16【点评】此题主要考查了位似变换以及三角
36、形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和关键点；根据位似比，确定位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形2. （2018山东枣庄8 分）如图，在 RtACB 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以 BC为直径作O 交 AB于点 D（1）求线段 AD的长度；（2）点 E是线段 AC上的一点，试问：当点 E在什么位置时，直线 ED与O 相切？请说明理由【分析】 （1）由勾股定理易求得 AB的长；可连接 CD，由圆周角定理知 CDAB，易知ACDABC，可得关于 AC、AD、AB 的比例关系式，即可求出 AD的长（
37、2）当 ED与O 相切时，由切线长定理知 EC=ED，则ECD=EDC，那么A 和DEC 就是等角的余角，由此可证得 AE=DE，即 E是 AC的中点在证明时，可连接 OD，证 ODDE 即可25【解答】解：（1）在 RtACB 中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；连接 CD，BC 为直径，ADC=BDC=90；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB； ， ；（2）当点 E是 AC的中点时，ED 与O 相切；证明：连接 OD，DE 是 RtADC 的中线；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；
38、EDOD，ED 与O 相切【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识3 （2018山东枣庄10 分）如图，将矩形 ABCD沿 AF折叠，使点 D落在 BC边的点 E处，过点 E作 EGCD 交 AF于点 G，连接 DG（1）求证：四边形 EFDG是菱形；（2）探究线段 EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6，EG=2 ，求 BE的长【分析】 （1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF=DFG，从而得到 GD=DF，接下26来依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=EF；（2）连接 DE，交 AF于点 O由菱形的性质
39、可知 GFDE，OG=OF= GF，接下来，证明DOFADF，由相似三角形的性质可证明 DF2=FOAF，于是可得到 GE、AF、FG 的数量关系；（3）过点 G作 GHDC，垂足为 H利用（2）的结论可求得 FG=4，然后再ADF 中依据勾股定理可求得 AD的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得 GH的长，最后依据 BE=ADGH 求解即可【解答】解：（1）证明：GEDF，EGF=DFG由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFGGD=DFDG=GE=DF=EF四边形 EFDG为菱形（2）EG 2= GFAF理由：如图 1所示：连接 DE，交 A
40、F于点 O四边形 EFDG为菱形，GFDE，OG=OF= GFDOF=ADF=90，OFD=DFA，DOFADF ，即 DF2=FOAFFO= GF，DF=EG，EG 2= GFAF（3）如图 2所示：过点 G作 GHDC，垂足为 H27EG 2= GFAF，AG=6，EG=2 ，20= FG（FG+6） ，整理得：FG 2+6FG40=0解得：FG=4，FG=10（舍去） DF=GE=2 ， AF=10，AD= =4 GHDC，ADDC，GHADFGHFAD ，即 = GH= BE=ADGH=4 = 【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和
41、性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到 DF2=FOAF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH的长是解答问题（3）的关键4. （2018 四川成都8 分）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点 ， 的 分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 .（1）求证： 是 的切线； 28（2）设 ， ，试用含 的代数式表示线段 的长； （3）若 ， ，求 的长. 【答案】 （1）如图，链接 CDAD 为BAC 的角平分线，BAD=CAD.OA=OD
42、，ODA=OAD，ODA=CAD.ODAC.又C=90，ODC=90，ODBC，BC 是O 的切线.（2）连接 DF，由（1）可知，BC 为切线，FDC=DAF.CDA=CFD.AFD=ADB.又BAD=DAF，ABDADF,29 ,AD 2=ABAF.AD 2=xy,AD= （3）连接 EF在 RtBOD 中， sinB= ,设圆的半径为 r， ，r=5.AE=10,AB=18.AE 是直径，AFE=90,而C=90，EFBC,AEF=B,sinAEF= .AF=AEsinAEF=10 = .AFOD, ,DG= AD.AD= ,DG= 【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直
43、角三角形 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明ODC=90即可。(2)连接 DF，DE，根据圆的切线，可证得FDC=DAF，再证CDA=CFD=AED，根据平角的定义可证得AFD=ADB，从而可证得ABDABF，得30出对应边成比例，可得出答案。 （3）连接 EF，在 RtBOD 中，利用三角函数的定义求出圆的半径、AE、AB 的长，再证明 EFBC，得出B=AEF，利用锐角三角函数的定义求出 AF的长，再根据 AFOD，得出线段成比例，求出 DG的长，然后可求出 AD的长，从而可求得DG的长。5（2018江西6 分）如图，在 中，
44、=8， =4, =6, , 是 的平分 ABC AB BC AC CD ABBD ABC线， 交 于点 ,求 的长.BDAD E AE EDACB【解析】 BD 是ABC 的平分线， ABD=CBDCDAB ABD=DCBD=D CD=BC=4又CDAB ABECDE = CE+AE=AC=6 AE=4=48=126 （2018湖北省宜昌11 分）在矩形 ABCD中，AB=12，P 是边 AB上一点，把PBC 沿直线 PC折叠，顶点 B的对应点是点 G，过点 B作 BECG，垂足为 E且在 AD上，BE 交 PC于点 F（1）如图 1，若点 E是 AD的中点，求证：AEBDEC；（2）如图 2，求证：BP=BF；当 AD=25，且 AEDE 时，求 cosPCB 的值；当 BP=9时，求 BEEF的值【分析】 （1）先判断出A=D=90，AB=DC 再判断出 AE=DE，即可得出结论；（2）利用折叠的性质，得出PGC=PBC=90，BPC=GPC，进而判断出GPF=PFB即可得出结论
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