1、综合性问题一、选择题1 （2018湖北省孝感3 分）如图，ABC 是等边三角形，ABD 是等腰直角三角形，BAD=90，AEBD 于点E，连 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作 AHCD 交 BD 于点 H则下列结论：ADC=15；AF=AG；AH=DF；AFGCBG；AF=（ 1）EF其中正确结论的个数为（ ）A5 B4 C3 D2【分析】由等边三角形与等腰直角三角形知CAD 是等腰三角形且顶角CAD=150，据此可判断；求出AFP和FAG 度数，从而得出AGF 度数，据此可判断；证ADFBAH 即可判断；由AFG=CBG=60、AGF=CGB 即可得证；设 P
2、F=x，则 AF=2x、AP= = x，设 EF=a，由ADFBAH 知 BH=AF=2x，根据ABE 是等腰直角三角形之 BE=AE=a+2x，据此得出 EH=a，证PAFEAH 得 = ，从而得出 a 与 x 的关系即可判断【解答】解：ABC 为等边三角形，ABD 为等腰直角三角形，BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，CAD 是等腰三角形，且顶角CAD=150，ADC=15，故正确；AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，FAG=45，AGF=75，由AFGAGF 知 AFAG，故错误；记 AH 与 CD 的交点为 P，2由 A
3、HCD 且AFG=60知FAP=30，则BAH=ADC=15，在ADF 和BAH 中， ，ADFBAH（ASA） ，DF=AH，故正确；AFG=CBG=60，AGF=CGB，AFGCBG，故正确；在 RtAPF 中，设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x，设 EF=a，ADFBAH，BH=AF=2x，ABE 中，AEB=90、ABE=45，BE=AE=AF+EF=a+2x，EH=BEBH=a+2x2x=a，APF=AEH=90，FAP=HAE，PAFEAH， = ，即 = ，整理，得：2x 2=（ 1）ax，由 x0 得 2x=（ 1）a，即 AF=（ 1）EF，故正确；故选：B【点评】
4、本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点2 （2018山东潍坊3 分）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，B=60，动点 P 以 1 厘米秒的速度自 A 点出发3沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止若点 P、Q 同时出发运动了 t 秒，记BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（ ）A B C D【分析】应根据 0t2 和 2t4 两种情况进行讨论把 t 当作已知数值，就可以求
5、出 S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解【解答】解：当 0t2 时，S=2t （4t）= t2+4 t；当 2t4 时，S=4 （4t）=2 t+8 ；只有选项 D 的图形符合故选：D【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键3. （2018安徽4 分） 如图，直线 都与直线 l 垂直，垂足分别为 M，N，MN=1，正方形 ABCD 的边长为 ，对角线 AC 在直线 l 上，且点 C 位于点 M 处，将正方形 ABCD 沿 l 向右平移，直到点 A 与点 N 重合为止，记点 C 平移的距离为 x，正方形 AB
6、CD 的边位于 之间分的长度和为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】由已知易得 AC=2，ACD=45，分 0x1、1<x2、2<x3 三种情况结合等腰直角三角形的性4质即可得到相应的函数解析式，由此即可判断.【详解】由正方形的性质，已知正方形 ABCD 的边长为 ，易得正方形的对角线 AC=2，ACD=45，如图，当 0x1 时，y=2 ，如图，当 1<x2 时，y=2 m+2 n=2 (m+n)= 2 ，如图，当 2
7、<x3 时，y=2 ，综上，只有选项 A 符合，故选 A.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及到正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，结合图形正确分类是解题的关键.4. （2018浙江舟山3 分）欧几里得的原本记载，形如 x2ax=b 2的方程的图解法是；画 RtABC，使ACB=90，BC= ，AC=b，再在斜边 AB 上截取 BD= 。则该方程的一个正根是（ ）A.AC 的长5B.AD 的长C.BC 的长D.CD 的长【考点】一元二次方程的根，勾股定理 【分析】由勾股定理不难得到 AC2+BC2=AB2=（AD+BD） 2 &n
8、bsp;， 代入 b 和 a 即可得到答案【解析】 【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理可得 AC2+BC2=AB2=（AD+BD） 2 ， 因为 AC=b，BD=BC= ，所以 b2+ = ，整理可得 AD2+aAD=b2 ， 与方程 x2ax=b 2相同，因为 AD 的长度是正数，所以 AD 是 x2ax=b 2的一个正根故答案为 B。【点评】本题考查了一元二次方程的根与勾股定理的综合运用，注意 D 是 x2ax=b 2的一个正根.5. （2018重庆4 分） 如图，已知 AB 是 OA的直径，点 P 在 BA 的延长线上， PD 与 OA相切于点 D，过点
9、B 作PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若 的半径为 4， 6BC，则 PA 的长为A4 B 23C3 D2.5【考点】圆的切线、相似三角形.【解析】作 OH PC 于点 H.易证 POH PBC， BCOHP, 648A,P【点评】此题考查圆切线与相似的结合，属于基础题3. （ 2018重庆(A)4 分） 若数 a使关于 x 的不等式组1235xa有且只有四个整数解，且使关于 y 的方程21ya的解为非负数，则符合条件的所有整数 a的和为( )A 3B 2C1 D2【考点】不等式组和分式方程的应用【分析】解关于 x 的不等式组，根据题意求出 a的取值范围，然后解 关于 y
10、 的方程，排除分式方程无解的情况，结合不等式组的结果，找出符合条件的所有整数 a 并求其和.6【解答】 解不等式 4252531axx得，由于不等式有四个整数解，根据题意，则 1420a，解得2a。解分式方程 1ya得，又需排除分式方程无解的情况，故 且.结合不等式组的结果有 a 的取值范围为 且 ，又 a 为整数,所以 a 的取值为 2,01,和为 1.故选 C【点评】此题考查不等式组和分式方程的应用，需要特别注意分式方程无解情况的考虑，属于中档题二.填空题1 （2018浙江宁波4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点P
11、为圆心，PM 长为半径作P当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3 或 4 【考点】切线的性质、正方形的性质、勾股定理【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时；如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形；【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=m7在 RtPBM 中，PM 2=BM2+PB2，x 2=42+（8x） 2，x=5，PC=5，BP=BCPC=85=3如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKD
12、C 是矩形PM=PK=CD=2BM，BM=4，PM=8，在 RtPBM 中，PB= =4 综上所述，BP 的长为 3 或 4 【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题2. （2018浙江宁波4 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，B 是锐角，AEBC 于点 E，M 是 AB 的中点，连结MD，ME若EMD=90，则 cosB 的值为 【考点】菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质.【分析】延长 DM 交 CB 的延长线于点 H首先证明 DE=EH
13、，设 BE=x，利用勾股定理构建方程求出 x 即可解决问题【解答】解：延长 DM 交 CB 的延长线于点 H8四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=AD=2，ADCH，ADM=H，AM=BM，AMD=HMB，ADMBHM，AD=HB=2，EMDH，EH=ED，设 BE=x，AEBC，AEAD，AEB=EAD=90AE 2=AB2BE 2=DE2AD 2，2 2x 2=（2+x） 22 2，x= 1 或 1（舍弃） ，cosB= = ，故答案为 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于
14、中考常考题型3 （2018湖北荆门3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （k0，x0）的图象经过菱形 OACD 的顶点D 和边 AC 的中点 E，若菱形 OACD 的边长为 3，则 k 的值为 【分析】过 D 作 DQx 轴于 Q，过 C 作 CMx 轴于 M，过 E 作 EFx 轴于 F，设 D 点的坐标为（a，b） ，求出 C、E 的坐标，代入函数解析式，求出 a，再根据勾股定理求出 b，即可请求出答案9【解答】解：过 D 作 DQx 轴于 Q，过 C 作 CMx 轴于 M，过 E 作 EFx 轴于 F，设 D 点的坐标为（a，b）则 C 点的坐
15、标为（a+3，b） ，E 为 AC 的中点，EF= CM= b，AF= AM= OQ= a，E 点的坐标为（3+ a， b） ，把 D、E 的坐标代入 y= 得：k=ab=（3+ a） b，解得：a=2，在 RtDQO 中，由勾股定理得：a 2+b2=32，即 22+b2=9，解得：b= （负数舍去） ，k=ab=2 ，故答案为：2 【点评】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等知识点，能得出关于 a、b 的方程是解此题的关键4.（2018山东潍坊3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x轴的负半轴上，
16、将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30至正方形 AB'CD的位置，B'C与 CD 相交于点 M，则点 M的坐标为 （1， ） 【分析】连接 AM，由旋转性质知 AD=AB=1、BAB=30、BAD=60，证 RtADMRtABM 得DAM= BAD=30，由 DM=ADtanDAM 可得答案【解答】解：如图，连接 AM，10将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30得到正方形 AB'CD，AD=AB=1，BAB=30，BAD=60，在 RtADM 和 RtABM 中， ，RtADMRtABM（HL） ，DAM=BAM= BAD=30
17、，DM=ADtanDAM=1 = ，点 M 的坐标为（1， ） ，故答案为：（1， ） 【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用5 （2018湖北省孝感3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（l，1） ，点 B 在 x轴正半轴上，点 D 在第三象限的双曲线 y= 上，过点 C 作 CEx 轴交双曲线于点 E，连接 BE，则BCE 的面积为 7 【分析】作辅助线，构建全等三角形：过 D 作 GHx 轴，过 A 作 AGGH，过 B 作 BMHC 于 M，证明AGDDHCC
18、MB，根据点 D 的坐标表示：AG=DH=x1，由 DG=BM，列方程可得 x 的值，表示 D 和 E 的坐标，根据三角11形面积公式可得结论【解答】解：过 D 作 GHx 轴，过 A 作 AGGH，过 B 作 BMHC 于 M，设 D（x， ） ，四边形 ABCD 是正方形，AD=CD=BC，ADC=DCB=90，易得AGDDHCCMB，AG=DH=x1，DG=BM，1 =1x ，x=2，D（2，3） ，CH=DG=BM=1 =4，AG=DH=1x=1，点 E 的纵坐标为4，当 y=4 时，x= ，E（ ，4） ，EH=2 = ，CE=CHHE=4 = ，S CEB = CEBM= 4=7；
19、故答案为：7【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题6.（2018山东泰安3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在 A'处，若12EA'的延长线恰好过点 C，则 sinABE 的值为 【分析】先利用勾股定理求出 A'C，进而利用勾股定理建立方程求出 AE，即可求出 BE，最后用三角函数即可得出结论【解答】解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6
20、，BA'E=90，BA'C=90，在 RtA'CB 中，A'C= =8，设 AE=x，则 A'E=x，DE=10x，CE=A'C+A'E=8+x，在 RtCDE 中，根据勾股定理得， （10x） 2+36=（8+x） 2，x=2，AE=2，在 RtABE 中，根据勾股定理得，BE= =2 ，sinABE= = ，故答案为： 【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段 AE 是解本题的关键7.（2018山东泰安3 分）如图，在ABC 中，AC=6，BC=10，tanC= ，点 D 是 AC 边上的动点
21、（不与点 C 重合） ，过 D 作 DEBC，垂足为 E，点 F 是 BD 的中点，连接 EF，设 CD=x，DEF 的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数关系式为 S= x2 【分析】可在直角三角形 CED 中，根据 DE、CE 的长，求出BED 的面积即可解决问题【解答】解：（1）在 RtCDE 中，tanC= ，CD=xDE= x，CE= x，BE=10 x，13S BED = （10 x） x= x2+3xDF=BF，S= SBED = x2 ，故答案为 S= x2 【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8.（2
22、018山东威海3 分）用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4 个矩形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 12；8 个矩形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 8；12 个矩形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 4416 【分析】图中阴影部分的边长为 =2 ，图中，阴影部分的边长为 =2 ；设小矩形的长为 a，宽为 b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出 a，b 的值，即可得到图中，阴影部分的面积【解答】解：由图可得，图中阴影部分的边长为 =2 ，图中，阴影部分的边长为 =2 ；设小矩形的长为 a，宽为 b，依题意得，解得 ，图中，阴影部分的
23、面积为（a3b） 2=（4 2 6 ） 2=4416 ，故答案为：4416 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程三.解答题1. （2018山西13 分) 综合与探究1412如 图 ， 抛 物 线 2143yx与 x 轴 交 于 A , B 两 点 （ 点 A 在 点 B 的左侧） ，与 y 轴 交 于 点 C ， 连接AC , BC .点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 点 P 的 横 坐 标 为 m ， 过 点 P 作
24、 PM x 轴 ， 垂 足 为 点 M ， PM 交 BC 于 点 Q ， 过 点 P 作 PE AC 交 x 轴 于 点 E ， 交 BC 于 点 F .（1 ）求 A ， B ， C 三 点 的 坐 标 ；（2 ）试 探 究 在 点 P 的运动的过程中， 是否存在这样的点 Q ， 使得以 A ， C ， Q 为顶点的三角形是等 腰 三 角 形. 若存在，请 写 出 此 时 点 Q 的坐标；若不存在，请说 明 理 由 ；（3 ）请 用 含 m 的代数式表示线段 QF 的 长 ， 并 求 出 m 为何值时 QF 有 最 大 值.【 考 点 】几何与二次函数综合【 解 析
25、 】 （1 ）解 ：由 y 0 ， 得 214=03x解 得 x1 3 ， x2 4 . 点 A ， B 的 坐 标 分 别 为 A(-3,0)，B （4 ，0 ）由 x 0 ， 得 y 4 . 点 C 的坐标为 C（0 ，- 4）.（2 ）答 ： Q ( 5 2 , 522 4) ， Q (1,3) .215（3 ）过 点 F 作 FG PQ 于 点 G .则 FG x 轴. 由 B（4 ，0 ），C （0 ，- 4）， 得 O B C为等腰直角三角形. OBC QFG 45 . GQ FG 2 FQ .PE AC , 1
26、2 .FG x 轴 ， 2 3 . 1 3 .FGP AOC 90 , FGP AOC .2. （2018山东枣庄10 分）如图 1，已知二次函数 y=ax2+ x+c（a0）的图象与 y 轴交于点 A（0，4） ，与 x 轴交于点 B、C，点 C 坐标为（8，0） ，连接 AB、AC（1）请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c 的表达式；16（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 N 的坐标；（4）如图 2，若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合） ，过点 N 作 NMAC，交 A
27、B 于点M，当AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标【分析】 （1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得 B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得ABC 是直角三角形（3）分别以 A、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与 x 轴交于三个点，由 AC 的垂直平分线与 x 轴交于一个点，即可求得点 N 的坐标；（4）设点 N 的坐标为（n，0） ，则 BN=n+2，过 M 点作 MDx 轴于点 D，根据三角形相似对应边成比例求得 MD= （n+2） ，然后根据 SAMN =SABN S BMN得出关于 n 的二
28、次函数，根据函数解析式求得即可【解答】解：（1）二次函数 y=ax2+ x+c 的图象与 y 轴交于点 A（0，4） ，与 x 轴交于点B、C，点 C 坐标为（8，0） ， ，解得 抛物线表达式：y= x2+ x+4；（2）ABC 是直角三角形令 y=0，则 x2+ x+4=0，解得 x1=8，x 2=2，点 B 的坐标为（2，0） ，由已知可得，在 RtABO 中 AB2=BO2+AO2=22+42=20，17在 RtAOC 中 AC2=AO2+CO2=42+82=80，又BC=OB+OC=2+8=10，在ABC 中 AB2+AC2=20+80=102=BC2ABC 是直角三角形（3）A（0
29、，4） ，C（8，0） ，AC= =4 ，以 A 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（8，0） ，以 C 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（84 ，0）或（8+4 ，0）作 AC 的垂直平分线，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（3，0） ，综上，若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N 的坐标分别为（8，0） 、 （84 ，0） 、 （3，0） 、 （8+4 ，0） （4）如图 ，设点 N 的坐标为（n，0） ，则 BN=n+2，过 M 点作 MDx 轴于点 D，MDOA，BM
30、DBAO， = ，MNAC = ， = ，OA=4，BC=10，BN=n+2MD= （n+2） ，S AMN =SABN S BMN= BNOA BNMD18= （n+2）4 （n+2） 2= （n3） 2+5，当 n=3 时，AMN 面积最大是 5，N 点坐标为（3，0） 当AMN 面积最大时，N 点坐标为（3，0） 【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等3. （2018山东淄博 8 分）如图，以 AB 为直径的O 外接于ABC，
31、过 A 点的切线 AP 与BC 的延长线交于点 P，APB 的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AEBD）的长是一元二次方程 x25x+6=0 的两个实数根（1）求证：PABD=PBAE；（2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由【考点】MR：圆的综合题【分析】 （1）易证APE=BPD，EAP=B，从而可知PAEPBD，利用相似三角形的性质即可求出答案（2）过点 D 作 DFPB 于点 F，作 DGAC 于点 G，易求得 AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知 cosBDF=cosBA
32、C=cosAPC= ，从而可求出 AD 和 DG 的长度，进而证明四边形 ADFE 是菱形，此时 F 点即为 M 点，利用平行四边形的面积即可求出菱形 ADFE的面积【解答】解：（1）DP 平分APB，APE=BPD，AP 与O 相切，19BAP=BAC+EAP=90，AB 是O 的直径，ACB=BAC+B=90，EAP=B，PAEPBD， ，PABD=PBAE；（2）过点 D 作 DFPB 于点 F，作 DGAC 于点 G，DP 平分APB，ADAP，DFPB，AD=DF，EAP=B，APC=BAC，易证：DFAC，BDF=BAC，由于 AE，BD（AEBD）的长是 x25x+6=0，解得：
33、AE=2，BD=3，由（1）可知： ，cosAPC= = ，cosBDF=cosAPC= ， ，DF=2，DF=AE，四边形 ADFE 是平行四边形，AD=AE，四边形 ADFE 是菱形，此时点 F 即为 M 点，cosBAC=cosAPC= ，sinBAC= ，20 ，DG= ，在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形其面积为：DGAE=2 =【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力4 （2018山东淄博9 分） （1）操作发现：如图，小明画了一个等
34、腰三角形 ABC，其中AB=AC，在ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取BD，CE，BC 的中点 M，N，G，连接 GM，GN小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是 MG=NG ；位置关系是 MGNG （2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE，其它条件不变，试判断GMN 的形状，并给与证明【考点
35、】KY：三角形综合题【分析】 （1）利用 SAS 判断出ACDAEB，得出 CD=BE，ADC=ABE，进而判断出BDC+DBH=90，即：BHD=90，最后用三角形中位线定理即可得出结论；21（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出 MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论【解答】解：（1）连接 BE，CD 相较于 H，ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE=90CAD=BAE，ACDAEB（SAS） ，CD=BE，ADC=ABE，BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90，B
36、HD=90，CDBE，点 M，G 分别是 BD，BC 的中点，MG CD，同理：NG BE，MG=NG，MGNG，故答案为：MG=NG，MGNG；（2）连接 CD，BE，相较于 H，同（1）的方法得，MG=NG，MGNG；（3）连接 EB，DC，延长线相交于 H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，ABEADC，AEB=ACD，CEH+ECH=AEHAEC+180ACDACE=ACD45+180ACD45=90，DHE=90，22同（1）的方法得，MGNG【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作
37、出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键5. （2018山东淄博9 分）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过OAB 的三个顶点，其中点A（1， ） ，点 B（3， ） ，O 为坐标原点（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若 P（4，m） ，Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 nm，求 t 的取值范围；（3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求BOC的大小及点 C 的坐标【考点】HF：二次函数综合题【分析】 （1）将已知点坐标代入即可；（2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和小于等于 A
38、B；同时用点 A（1， ） ，点B（3， ）求出相关角度【解答】解：（1）把点 A（1， ） ，点 B（3， ）分别代入 y=ax2+bx 得解得y=（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线 x=当 x 时，y 随 x 的增大而减小23当 t4 时，nm（3）如图，设抛物线交 x 轴于点 F分别过点 A、B 作 ADOC 于点 D，BEOC 于点 EACAD，BCBEAD+BEAC+BE=AB当 OCAB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大A（1， ） ，点 B（3， ）AOF=60，BOF=30AOB=90ABO=30当 OCAB 时，BOC=60点 C 坐标为（ ， ） 【
39、点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性解答问题时注意线段最值问题的转化方法6. （2018 四川成都9 分）在 中， ， ， ，过点 作直线 ，将 绕点 顺时针得到 （点 ， 的对应点分别为 ， ）射线 ， 分别交直线 于点 ， .（1）如图 1，当 与 重合时，求 的度数； （2）如图 2，设 与 的交点为 ，当 为 的中点时，求线段 的长； 24（3）在旋转过程时，当点 分别在 ， 的延长线上时，试探究四边形 的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形 的最小面积；若不存在，请说明理由.
40、;【答案】 （1）由旋转的性质得： . ， ， ， ， ， .（2） 为 的中点， .由旋转的性质得： ， .， .， ，.（3） ， 最小， 即最小， .法一：（几何法）取 中点 ，则 .当 最小时， 最小， ，即 与 重合时， 最小.， ， ， .法二：（代数法）设 ， .由射影定理得： ， 当 最小，即 最小，.当 时， “ ”成立， . 【考点】三角形的面积，解直角三角形，旋转的性质 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的性质可得出 ，根据已知易证 mAC，得出A'BC 是直角，利用特殊角的三角函数值，可求出A'CB 的度数，就可求出结果。（2）
41、根据中点的定义及性质的性质，可证得A=A'CM，利用解直角三角形求出 PB 和 BQ的长，再根据 PQ=PB+BQ，计算即可解答。（3）根据已知得出四边形 FA'B'Q 的面积最小，则PCQ 的面积最小，可表示出PCQ 的面积，利用几何法取 中点 ，则 ，得出 PQ=2CG，当 CG 最小时，则 PQ最小根据垂线段最短，求出 CG 的值，从而可求出 PQ 的最小值，就可求出四边形 FA'B'Q 面25积的最小值。也可以利用代数式解答此题。7. （2018四川成都12 分）如图，在平面直角坐标系 中，以直线 为对称轴的抛物线 与直线 交于 ，
42、两点，与 轴交于 ，直线 与 轴交于 点.（1）求抛物线的函数表达式； （2）设直线 与抛物线的对称轴的交点为 、 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 ，且 与 面积相等，求点 的坐标； （3）若在 轴上有且仅有一点 ，使 ，求 的值. 【答案】 （1）由题可得： 解得 ， ， . 二次函数解析式为： .（2）作 轴， 轴，垂足分别为 ，则 .， ， ，26，解得 ， ， .同理， .， （ 在 下方） ， ，即 ， .， ， . 在 上方时，直线 与 关于 对称.， ， .， ， .综上所述，点 坐标为 ； .（3
43、）由题意可得： . ， ， ，即 .， ， .设 的中点为 ，点有且只有一个， 以 为直径的圆与 轴只有一个交点，且 为切点.轴， 为 的中点， .， ， ，即 ， .， . 【考点】待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-几何问题，利用二次函数图像判断一元二次方程根的情况 【解析】 【分析】 （1）根据对称轴为直线 ，及点 A、C 的坐标，利用待定系数法建立方程组，就可求出函数解析式。（2）作 轴， 轴，垂足分别为 ，则 ，得出27MQ、NQ 的长，可得出点 B 的坐标，再利用待定系数法求出直线 BC 的函数解析式，分情况讨论： （
44、在 下方） ； 在 上方时，直线 与 关于 对称，建立方程求出方程的解，分别求出点 G 的坐标即可。 （3）由题意可得： .（3）根据题意得出 k+m=1，即 m=1-k，可得出 y1=kx+1-k，将两函数联立方程，得出 ，求出方程的解，就可得出点 B 的坐标，再设 的中点为 ，求出点 P 的坐标，再证明AMP 和PNB 相似，得出对应边成比例，建立方程 ，根据 k0，求出方程的解即可解答。8（2018湖北省宜昌11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE
45、 交 PC 于点 F（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：AEBDEC；（2）如图 2，求证：BP=BF；当 AD=25，且 AEDE 时，求 cosPCB 的值；当 BP=9 时，求 BEEF 的值【分析】 （1）先判断出A=D=90，AB=DC 再判断出 AE=DE，即可得出结论；（2）利用折叠的性质，得出PGC=PBC=90，BPC=GPC，进而判断出GPF=PFB即可得出结论；判断出ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出 AE=9，DE=16，再判断出ECFGCP，进而求出 PC，即可得出结论；判断出GEFEAB，即可得出结论【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中，A
46、=D=90，AB=DC，E 是 AD 中点，AE=DE，在ABE 和DCE 中， ，ABEDCE（SAS） ；（2）在矩形 ABCD，ABC=90，BPC 沿 PC 折叠得到GPC，PGC=PBC=90，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；28当 AD=25 时，BEC=90，AEB+CED=90，AEB+ABE=90，CED=ABE，A=D=90，ABEDEC， ，设 AE=x，DE=25x， ，x=9 或 x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP， ，设 BP
47、=BF=PG=y， ，y= ，BP= ，在 RtPBC 中，PC= ，cosPCB= = ；如图，连接 FG，GEF=BAE=90，BFPG，BF=PG，BPGF 是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB， ，BEEF=ABGF=129=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键9（2018 年湖北省宜昌市 12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OADB 的顶点 A，B 的坐标分别为 A（6，0） ，B（0，4） 过点 C（6，1）的双曲线 y= （k0）与矩形 OADB的边 BD 交于点 E（1）填空：OA= 6 ，k= 6 ，点 E 的坐标为（ ，4） ；（2）当 1t6 时，经过点 M（t1， t2+5t ）与点 N（t3， t2+3t ）的直线交 y 轴于点 F，点 P 是过 M
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