1、素养提升练( 五)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019天津高考 )设集合 A 1,1,2,3,5，B2,3,4，CxR|1 x0) 的焦点是椭圆 1 的一个焦x23p y2p点，则 p( )A2 B3 C4 D8答案 D解析 抛物线 y22px (p0)的焦点坐标为 ，椭圆 1 的焦点坐(p2，0) x23p y2p标为 .由题意得 ， p0(舍去) 或 p8.故选 D.( 2p，0)p2
2、 2p10(2019成都模拟 )若函数 f (x)log ax(a0，且 a1)的定义域与值域都是m， n(mn) ，则 a 的取值范围是 ( )A(1， ) B(e，)C(1，e) D. (1，e ) 答案 D解析 函数 f (x)log ax 的定义域与值域相同等价于方程 logaxx 有两个不同的实数解因为 logaxx x ln a ，所以问题等价于直线 yln a 与函数ln xln a ln xxy 的图象有两个交点 y ，则 y 在(0，e) 上单调递ln xx (ln xx) 1 ln xx2 ln xx增，在(e，) 上单调递减，在 xe 处取得极大值 .作出函数 y 的图象
3、，1e ln xx如图所示根据图象可知，当 0ln a ，即 1ae ，直线 yln a 与函数1ey 的图象有两个交点故选 D.ln xx11(2019怀化一模 )已知圆 O 与直线 l 相切于点 A，点 P，Q 同时从 A 点出发，P 沿着直线 l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 Q 运动到点 A 时，点 P 也停止运动，连接 OQ，OP( 如图 )，则阴影部分面积 S1，S 2 的大小关系是( )AS 1S 2BS 1 S2CS 1 S2D先 S1S2答案 A解析 直线 l 与圆 O 相切， OAAP， S 扇形 AOQ r OA，S 12AQ 12AQ AOP OAAP
4、， AP，S 扇形 AOQS AOP，即 S 扇形 AOQS 扇形 AOBS 12 AQ AOP S 扇形 AOB，S 1S 2.故选 A.12(2019武汉二中三模 )若函数 f (x)x sin2xacosx 在( ，)内13单调递增，则实数 a 的取值范围是( )A 2,2 B. 2，43C. D. 43，43 2， 43答案 C解析 f( x) sin2xasin x ，因为 f (x)为 R上的增函数，故 f(x)043 13恒成立，即 sin2xasinx 0，若 sinx0，则 aR；若 sinx0，则43 13a ，令 tsinx，则 a ，其中 t(0,1，因 ，当且仅13s
5、inx 4sinx3 13t 4t3 13t 4t3 43当 t 时等号成立，故 a .若 sinx0，则 a ，令 tsinx ，则12 43 13sinx 4sinx3a ，其中 t1,0)，因 ，当且仅当 t 时等号成立，故13t 4t3 13t 4t3 43 12a .综上， a .故选 C.43 43 43第卷 (选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019台州中学二模 )已知向量 a( m,1)，b(3,3)若(ab)b，则实数 m_.答案 5解析 因为(ab) b，故(ab) b0，即 3m3180，故 m5.14(2019吉林
6、三模 )某煤气站对外输送煤气时，用 15 号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：(1)若开启 3 号，则必须同时开启 4 号并且关闭 2 号；(2)若开启 2 号或 4 号，则关闭 1 号；(3)禁止同时关闭 5 号和 1 号现要开启 3 号，则同时开启的另两个阀门是_答案 4 号和 5 号解析 由(1)知开启 3 号时，4 号开启，2 号关闭；由(2)知因为 4 号开启，所以 1 号关闭；由(3)知因为 1 号关闭，所以 5 号开启15(2019贵阳一中二模 )关于圆周率 的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计 的近似值为此，李老师组织 100 名同学进
7、行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对(x，y )，其中 0x1 ，0y 1，经统计数字 x，y 与 1 可以构成钝角三角形三边的实数对(x， y)为 28 个，由此估计 的近似值是_(用分数表示)答案 7825解析 实数对(x ，y )落在区域Error!的频率为 0.28，又设 A 表示“实数对(x， y)满足 Error!且能与 1 构成钝角三角形”，则 A 中对应的基本事件如图中阴影部分所示其面积为 ，故 P(A) 0.28，所以 .4 12 4 12 782516(2019全国卷 )已知 ACB90 ，P 为平面 ABC 外一点，PC 2，点P 到 ACB 两边 AC，BC
8、的距离均为 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为3_答案 2解析 如图，过点 P 作 PO平面 ABC 于 O，则 PO 为 P 到平面 ABC 的距离再过 O 作 OEAC 于 E，OFBC 于 F，连接 PC，PE，PF，则PEAC，PF BC.又 PEPF ，所以 OEOF，3所以 CO 为ACB 的平分线，即ACO45.在 RtPEC 中，PC2，PE ，所以 CE1，3所以 OE1，所以 PO PE2 OE2 32 12 .2三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必
9、考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 全国卷)某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客 40 10女顾客 30 20(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K 2 .nad bc2a bc da cb dP(K2k 0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 0.8，因此男4050顾客对该商场服务满意的
10、概率的估计值为 0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为 0.6，因此女顾客对该商场服务满3050意的概率的估计值为 0.6.(2)K2 4.762.1004020 3010250507030由于 4.7623.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18(本小题满分 12 分)(2019 四川遂宁三模)已知函数 f (x) cosxsinx 在 x(0,1)上的零点为等差数列 an(nN *)的首项 a1，且数列3an的公差 d1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn n ，求数列b n的前 n 项和 Tn.(12)(an 23)解 (1)因为 f (x) c
11、osxsin x2cos ，3 (x 6)所以，由题意有 x k (kZ)xk (kZ)6 2 13由于 x(0,1)，所以a n是以 为首项，1 为公差的等差数列13所以 ann (nN*)23(2)bn n n n，(12)(an 23) (12)Tn1 12 23 3(n1) n1 n n，(12) (12) (12) (12) (12)Tn1 22 33 4(n1) nn n1 ，12 (12) (12) (12) (12) (12)得 Tn 2 3 nn n1 n n112 12 (12) (12) (12) (12)12 (12)n121 12 (12)1(n2) n1 ，(12)
12、所以 Tn2 (n2) n 2 .(12) n 22n19(本小题满分 12 分)(2019 湖南怀化模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA 平面 ABCD，连接 AC， BD 交于点O，AC6，BD8，E 是棱 PC 上的动点，连接 DE.(1)求证：平面 BDE平面 PAC；(2)当BED 面积的最小值是 4 时，求此时动点 E 到底面 ABCD 的距离解 (1)证明： 底面 ABCD 是菱形，ACBD，PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD又 PAACA ，BD平面 PAC，又 BD平面 BDE，平面 BDE平面 PAC.(2)连接 OE，由(1)
13、知 BD平面 PAC，OE平面 PAC，BDOE.BD8，由(S BDE)min BDOE4 ，得(OE) min1.12当 OEPC 时， OE 取得最小值 1.此时 CE 2OC2 OE2 32 12 2作 EHPA 交 AC 于 H，PA平面 ABCD，EH平面 ABCD，由 EH ，得点 E 到底面 ABCD 的距离 EH .OECEOC 223 22320(本小题满分 12 分)(2019 长春二模)已知椭圆 C： 1(ab0)x2a2 y2b2过点 ，焦距长为 2 .(1，32) 3(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，
14、点N(4,0)设 O 为坐标原点，且ONPONQ.证明：动直线 PQ 经过定点解 (1)由题意知 c .3又因为 1，即 1，1a2 34b2 13 b2 34b2解得 b21，a 24.故椭圆 C 的标准方程是 y 21.x24(2)证明：设直线 l 的方程为 ykx b(k0) ，联立Error!消去 y，得(14k 2)x28kbx4b 24 0，16(4k 2b 21)设 P(x1，kx 1b)，Q( x2，kx 2b)，则x1x 2 ，x 1x2 .8kb1 4k2 4b2 41 4k2于是 kPNk QN kx1 bx1 4 kx2 bx2 4 .2kx1x2 4k bx1 x2
15、8bx1 4x2 4由ONPONQ 知，k PNk QN0.即 2kx1x2(4kb)(x 1x 2)8b2k (4k b) 8b4b2 41 4k2 8kb1 4k2 8b0，8kb2 8k1 4k2 32k2b 8kb21 4k2得 bk，16(3 k21)0.故动直线 l 的方程为 ykx k，过定点(1,0)21(本小题满分 12 分)(2019 石家庄二模)设函数 g(x)t e2x(t 2)e x1，其中 tR.(1)当 t1 时，求 g(x)的单调区间与极值；(2)若 t 是非负实数，且函数 f (x)g( x)4e xx1 在 R 上有唯一零点，求t 的值解 (1)当 t 1
16、时，g(x)e 2xe x1.由 g(x) 2e 2xe xe x(12e x)0，得 xln 2.因此 g(x)的单调递增区间是(，ln 2)，单调递减区间是(ln 2，) 极大值是 g(ln 2) ，无极小值34(2)函数 f (x)g(x) 4e x x1te 2x( t2)e xx，xR .当 t0 时，由 f(x )2te 2x( t2)e x1(te x1)(2e x1)0 得，x ln t.f (ln t)是极小值，所以只要 f (ln t)0，即 ln t 10.1t令 F (t)ln t 1，则 F( t) 0，F (t)在(0，)内单调递增1t 1t 1t2因为 F (1)
17、 0，所以当 0t1 时，F (t)F (1)0；当 t1 时，F (t)F (1) 0.实数 t 的值是 1.当 t0 时，f (x)2e xx .f (x)为 R上的减函数，而 f (1)2e10，f (2)22e 2 0，所以 f (x)有且只有一个零点故实数 t 的值是 1 或 0.(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019呼和浩特二模 )在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(其中 t 为参数)以坐标原点 O 为原点，x 轴的非负半轴为极
18、轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4 sin .2 ( 4)(1)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P，Q 分别在曲线 C1，C 2 上运动，若 P，Q 两点间距离的最小值为2 ，求实数 m 的值2解 (1)曲线 C1：x y m10；曲线 C2的极坐标方程为4 sin 4(sin cos )，即 24sin4 cos，将2 ( 4)xcos，ysin 代入，得 C2：(x 2) 2(y2) 28.(2)因为曲线 C2的半径 r2 ，若点 P，Q 分别在曲线 C1，C 2上运动，2P，Q 两点间距离的最小值为 2 ，则圆 C2的圆心到直线 C1的距离
19、为 4 ，即2 24 ，解得 m 3 或 m13.|5 m|2 223(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019长春模拟 )已知函数 f (x)| x2| 2.(1)解不等式 f (x)f (x 1)f (7) ；(2)设 g(x)|2 xa|2x3|，若对任意 x1R，都有 x2R ，使得 g(x1)f (x2)成立，求实数 a 的取值范围解 (1)不等式 f (x)f (x 1)f (7) 等价于| x2| |x 1| 3，当 x2 时，原不等式即为 2x33，解得 x3，所以 x3；当 1x2 时，原不等式即为 13，解得 x，所以 x；当 x1 时，原不等式即为2x 33，解得 x0，所以 x0；所以不等式 f (x)f (x1)f (7)的解集为x|x0 或 x3(2)对任意 x1R，都有 x2R，使得 g(x1)f (x2)成立，则 y|yg(x) y|yf (x)因为 g(x)|2x a|2x 3|(2xa)(2x 3)| |a3| ，当且仅当(2 xa)(2 x3)0 时取等号，又 f (x)| x2|22，所以|a3|2.从而 a1 或 a5，所以实数 a 的取值范围为(， 51，)
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