1、素养提升练( 四)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019福州一中二模 )已知 i 为虚数单位，则 的实部与虚部之积等于( )i1 iA B. C. i D i14 14 14 14答案 B解析 因为 i，所以 的实部与虚部之积为i1 i i1 i1 i1 i 12 12 i1 i .故选 B.12 12 142(2019天津高考 )设 xR，则“00，n2，返回；第二次执行，x ， 230，
2、n .3 44 74 (74) 74输出 x1.75 ，故第三次执行后应满足判断框，此时 mn ，故32 74 14选 B.9(2019全国卷 )已知曲线 yae xxln x 在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则( )Aae，b 1 Bae，b1Ca e1 ，b1 Dae 1 ，b1答案 D解析 y aexln x 1，k y| x1 ae1，切线方程为 yae (ae1)(x 1)，即 y (ae1) x 1.又切线方程为 y2xb，Error!即 ae 1 ，b 1.故选 D.10(2019汉中质检 )如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABACAA 1，BC 2，点 D
3、为 BC 的中点，则异面直线 AD 与 A1C 所成的角为( )2A. B.2 3C. D.4 6答案 B解析 取 B1C1 的中点 D1，连接 A1D1，CD 1，DD 1，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，点 D 为 BC 的中点，AA1DD 1 且 AA1DD1， ADA1D1 且 ADA 1D1， CA1D1 就是异面直线AD 与 A1C 所成的角，ABAC ，BC2 可以求出 ADA 1D11，在 Rt2CC1D1 中，由勾股定理可求出 CD1 ，在 RtAA1C 中，由勾股定理可求出3A1C2，显然A 1D1C 是直角三角形，sinCA 1D1 ，CD1A1C 32CA1D1 ，
4、故选 B.311(2019四川绵阳二诊 )已知椭圆 C： 1(m4)的右焦点为 F，x2m y2m 4点 A(2,2)为椭圆 C 内一点若椭圆 C 上存在一点 P，使得|PA |PF|8，则m 的取值范围是( )A(6 2 ，25 B9,255C(62 ，20 D3,55答案 A解析 由椭圆方程，得：c 2，所以，椭圆的左焦点为m m 4E(2,0) ，点 A 在点 E 的正上方，所以，AE2，由椭圆的定义，得：2a| PE|PF|PA |AE| |PF| 10，即 a5，所以，m a 225 当 P，A，E在一条直线上，且 PE 垂直 x 轴时，取等号，2a| PE|PF|PA |AE| |
5、PF| 6，即 a3，所以，m a 29，但因为点A(2,2) 在椭圆内部，所以，当 x2 时，| y|2，即由 1，得|y |4m y2m 42，化简，得 m212m160，解得 m62 .所以 m 的m 4 4m 4m 5取值范围是(62 ，25故选 A.512(2019镇海中学一模 )已知正项等比数列a n满足 a7a 62a 5，若存在两项 am，a n，使得 aman16a ，则 的最小值为( )211m 9nA. B. C. D.32 114 83 103答案 B解析 设正项等比数列a n的公比为 q，且 q0，由 a7a 62a 5，得a6qa 6 ，化简得 q2q20，解得 q
6、2 或 q1(舍去)，因为2a6qaman16a ，所以(a 1qm1 )(a1qn1 )16a ，则 qmn2 16，解得 mn6，所21 21以 (mn) ，当且仅当 1m 9n 16 (1m 9n) 16(10 nm 9mn) 16(10 2 nm9mn) 83 nm时取等号，此时Error!解得Error! 因为 m，n 取整数，所以均值不等式等号条9mn件取不到，则 ，验证可得，当 m2，n4 时， 取最小值为 ，1m 9n 83 1m 9n 114故选 B.第卷 (选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019江苏高考 )已知一组数
7、据 6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是_答案 53解析 这组数据的平均数为 8，故方差为 s2 (68) 2(78) 2(88)162(8 8)2(98) 2(10 8)2 .5314(2019郑州一模 )不等式 x(sincos 21) 3 对任意 R 恒成立，则实数 x 的取值范围是 _答案 32，12解析 当 x 0 时，x (sincos 21)3 恒成立；当 x0 时， sinsin 2 ，3x由 sinsin 2 2 ，可得 sin 时，取得最小值 ，(sin 12) 14 12 14sin1 时，取得最大值 2，即有 ，解得 0x12；14 3x当 x0 时，可得 si
8、nsin 2 ，3x即有 2 ，解得 x0，3x 32综上可得，实数 x 的取值范围是 . 32，1215(2019佛山二模 )设函数 f (x)Error!若函数 yf (x)a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_答案 0,2)解析 若函数 yf (x)a 有两个不同的零点，得 yf (x) a0，即 f (x)a 有两个不同的根，即函数 f (x)与 ya 有两个不同的交点，作出函数 f (x)的图象如图：当 x0 时， f (x)0，当 x0 时， f (x)2，则要使函数 f (x)与 ya 有两个不同的交点，则 0a2，即实数 a 的取值范围是0,2)16(2019佛山二模
9、 )某工厂现将一棱长为 的正四面体毛坯件切割成一个3圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_答案 227解析 圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心 O，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点 N 在侧面的中线 AM 上正四面体棱长为 ，3BM ，OM ，BO1，32 12AO ，2设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 0r .12由三角形相似得： ，即 h 2 r，r12 2 h2 2 2圆柱的体积 Vr 2h r2(12r)，2r2(1 2r) 3 ，(r r 1 2r3 ) 127当且仅当 r12r 即 r 时取等号13圆柱的最大体积为 .227三、解答题：共 70 分解答应写出文字说
10、明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 泸州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，已知 a6，cosA .18(1)若 b5，求 sinC 的值；(2)ABC 的面积为 ，求 bc 的值1574解 (1)由 cosA ，18则 0A ，且 sinA ，2 378由正弦定理可得，sinB sinA ，ba 5716因为 ba，所以 0BA ，2所以 cosB ，916可得 sinCsin( AB)sinAcosBcosA sinB .
11、74(2)SABC bcsinA bc ，12 12 378 1574bc20，可得 a2b 2c 22bc cosAb 2c 2220 36 ，18b2c 241，可得(bc )2b 2c 22bc414081，bc9.18(本小题满分 12 分)(2019 海淀区一模)据人民网 报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比 20 年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿”据统计，中国新增绿化面积的 42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在 2017 年植树造林的相关数据(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)单位：公顷(
12、1)请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(2)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足 50%的概率是多少？(3)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率解 (1)人工造林面积与造林总面积的比值最大的地区为甘肃省，人工造林面积与造林总面积的比值最小的地区为青海省(2)设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值不足 50%为事件 A，在十个地区中，有 3 个地区(重庆、新疆、青海)人工造林面积占总面积比不足 50%，则 P(A)
13、.310(3)设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件 B，新封山育林面积超过十万公顷有 4 个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为 a1，a 2，a 3，a 4，其中退化林修复面积超过五万公顷有 2 个地区：内蒙，河北，即 a1，a 2.从 4 个地区中任取 2 个地区共有 6 种情况，(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a2，a 3)，( a2，a 4)，(a 3， a4)其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有 5 种情况，(a 1，a 2)，(a1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2， a3)，(a 2，a 4)，则 P(B) .5619
14、(本小题满分 12 分)(2019 昆明一模)如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，M 是 AB 的中点(1)证明：BC 1平面 MCA1；(2)若 ABA 1M2MC2，BC ，求点 C1 到平面 MCA1 的距离2解 (1)证明：如图，连接 AC1，设 AC1 与 A1C 的交点为 N，则 N 为 AC1 的中点，连接 MN，因为 M 是 AB 的中点，所以 MNBC1，又 MN平面 MCA1，BC 1平面 MCA1，所以 BC1平面 MCA1.(2)因为 AB2MC2，M 是 AB 的中点，所以ACB 90 ，在直三棱柱中，A1M2，AM1，所以 AA1 ，又 BC ，所以 AC ，
15、A 1C ，所以3 2 2 5A1MC90.设点 C1 到平面 MCA1 的距离为 h，因为 AC1 的中点 N 在平面MCA1 上，所以点 A 到平面 MCA1 的距离也为 h，三棱锥 A1AMC 的体积V SAMCAA1 ，MCA 1 的面积 S A1MMC1，则 V Sh h ，得13 36 12 13 13 36h ，故点 C1 到平面 MCA1 的距离为 .32 3220(本小题满分 12 分)(2019 深圳一模)设抛物线 C：y 24x，直线l：xmy20 与 C 交于 A，B 两点(1)若| AB|4 ，求直线 l 的方程；6(2)点 M 为 AB 的中点，过点 M 作直线 M
16、N 与 y 轴垂直，垂足为 N，求证：以 MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标解 (1)由Error!消去 x 并整理可得 y24my80，显然 16m 2320，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，y1y 24m，y 1y28，|AB| 4 4 ，1 m2 y1 y22 4y1y2 1 m2 m2 2 6m21 ，即 m1，直线 l 的方程为 xy20 或 xy 20.(2)证明：设 AB 的中点 M 的坐标为(x M，y M)，则 yM (y1 y2)2m，12xMmy M22m 22，M(2m22,2m)，由题意可得 N(0,2m)，设 MN 为直径的圆经过点 P(x
17、0，y 0)， (2m 22x 0,2my 0)， (x 0,2my 0)，PM PN 由题意可得 0，PM PN 即(4 2x0)m24y 0mx y 2x 00，20 20由题意可得Error! 解得 x02，y 00，定点(2,0)即为所求21(本小题满分 12 分)(2019 全国卷)已知函数 f (x)(x1)ln xx1.证明：(1)f (x) 存在唯一的极值点；(2)f (x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数证明 (1)f (x) 的定义域为(0，)f(x) ln x1ln x .x 1x 1x因为 yln x 在(0，) 上单调递增，y 在(0，)上单调递减，1x所以
18、f( x)在(0，) 上单调递增又 f(1) 10，12 ln 4 12故存在唯一 x0(1,2)，使得 f( x0)0.又当 xx0 时，f(x )0，f (x)单调递增，因此，f (x) 存在唯一的极值点(2)由(1)知 f (x0)0，所以 f (x)0 在(x 0，)内存在唯一根 x.由 x01 得 1x0.1又 f ln 1 0，(1) (1 1) 1 1 f故 是 f (x) 0 在(0，x 0)的唯一根1综上，f (x) 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10
19、分)选修 44：坐标系与参数方程(2019长春二模 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error! (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 .31 2cos2(1)求直线 l 的普通方程以及曲线 C 的参数方程；(2)当 a1 时， P 为曲线 C 上动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值解 (1)直线 l 的普通方程为 y (xa)，3曲线 C 的极坐标方程可化为 22 2cos23，化简可得 x2 1.y23曲线 C 的参数方程为Error!( 是参数)(2)当 a1 时，直线 l 的普通方程为 xy 0.3
20、3由曲线 C 的直角坐标方程 x2 1，可设点 P 的坐标为 P(cos， sin)，y23 3因此点 P 到直线 l 的距离可表示为d |cossin1| 3cos 3sin 3|2 32 ，32| 2cos( 4) 1|当 cos 1，d 取最大值为 .( 4) 6 3223(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019长春二模 )设函数 f (x)| x2|.(1)求不等式 f (x)f (x)6 的解集；(2)若不等式 f (x4)f (x1)kxm 的解集为( ，)，求 km 的取值范围解 (1)f (x) f (x) |x2| x2|Error!由 f (x)6，得Error!或Error!或Error!解得 x(，33，)则不等式 f (x)f (x)6 的解集为(，3 3，)(2)f (x 4)f (x1) |x2| x3|Error!由 f (x4)f (x1)kx m 的解集为(，)，可知 k0，即km5.
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