1、素养提升练( 二)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019合肥一中模拟 )设 z ， 是 z 的共轭复数，则 z ( )1 i1 i z zA1 Bi C1 D4答案 C解析 z i，则 i，故 z i( i)1，故选 C.1 i1 i 1 i21 i1 i z z2(2019德州二模 )已知全集 UZ，A1,2,3,4，B x|(x1)(x3)0，xZ ，则集合 A( UB)的子集的个数为(
2、 )A2 B4 C8 D16答案 C解析 由题意可得， UBx|(x1)(x 3)0，xZ x|1x3，x Z1,0,1,2,3，则集合 A( UB)1,2,3，故其子集的个数为 238，故选 C.3(2019浙江高考 )渐近线方程为 xy0 的双曲线的离心率是( )A. B1 C. D222 2答案 C解析 由题意可得 1，e .故选 C.ba 1 b2a2 1 12 24(2019陕西宝鸡质检 )函数 f(x)ln x x2 的图象大致是( )12答案 B解析 f (x)ln x x2(x0)， f(x ) x(x0)，则当 x(0,1)时，f (x )12 1x0，函数 f(x)为增函数
3、；当 x(1，)时，f(x)0 时，函数 f(x)的图象与函数 ylog 2x 的图象关于 yx 对称，则 g(1)g(2)( )A7 B9 C 11 D13答案 C解析 x0 时， f(x)的图象与函数 ylog 2x 的图象关于 yx 对称，x0 时，f(x )2 x，则 g(x)2 xx 2，又 g(x)是奇函数，g( 1) g( 2)g(1)g(2)(2144)11.故选 C.12(2019济南模拟 )设 F1，F 2 分别是椭圆 E： 1(ab0)的左、右x2a2 y2b2焦点，过 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，且 0， 2 ，则椭圆AF1 AF2 AF2 F2B E 的离心率
4、为( )A. B. C. D.23 34 53 74答案 C解析 2 ，设 BF2x ，则 AF22x，AF2 F2B 由椭圆的定义，可以得到 AF12a2x ，BF 12ax， 0，AF 1AF2，AF1 AF2 在 RtAF1B 中，有(2a2x) 2(3x) 2(2ax) 2，解得x ， AF2 ，AF 1 ，a3 2a3 4a3在 RtAF1F2 中，有 2 2(2c) 2，整理得 ，e .故选 C.(4a3) (2a3) c2a2 59 ca 53第卷 (非选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019江西八校联考 )若函数 f(x)
5、ln (ex1)ax 为偶函数，则dx_.e1(1x xa)答案 e 2解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x) 恒成立，即 ln (ex1)axln (e x 1)ax 恒成立，2axln ln x 恒成立，所以 a .e x 1ex 1 1ex 12e1dx(ln x x 2) Error!ln ee 2ln 11 2 e2.(1x 2x)14(2019浙江高考 )在二项式( x )9 的展开式中，常数项是_，2系数为有理数的项的个数是_答案 16 52解析 由二项展开式的通项公式可知 Tr1 C ( )9r xr，rN, 0r9，r9 2当为常数项时，r0，T 1C ( )9
6、x0( )916 .09 2 2 2当项的系数为有理数时，9r 为偶数，可得 r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5.15(2019江南十校模拟 )已知 ，且 tan() ，则 tan 的sincos1 3cos2 14 13值为_答案 1解析 ， tan2，又 tan()sincos1 3cos2 sincossin2 4cos2 tantan2 4 14 ，解得 tan1.tan tan1 tantan 2 tan1 2tan 1316(2019湘潭一模 )在三棱锥 DABC 中，CD 底面ABC，ACBC，AB BD 5，BC4，则此三棱锥的外接球的表面积为_答案 34解析
7、 由题意可得 ACCD 3，故三棱锥 DABC 的外接球的52 42半径 R ，则其表面积为 4 234.32 42 322 342 ( 342)三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 唐山一模)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且a1 n1.Sn(1)求 Sn，a n；(2)若 bn(1) n1 ， bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn.an 1Sn n解 (1)令 n 1，得 a1 2，( 2)( 1)0，得 a
8、11，a1 a1 a1所以 n，即 Snn 2.Sn当 n2 时，a nS nS n1 2n1，当 n1 时，a 11 适合上式，所以 an2n1.(2)bn(1) n1 ( 1) n1 (1) n1 .an 1Sn n 2n 1n2 n (1n 1n 1)当 n 为偶数时，T nb 1 b2b n 1 ，(11 12) (12 13) (13 14) (14 15) (1n 1n 1) 1n 1 nn 1当 n 为奇数时，T nb 1 b2b n 1 ，(11 12) (12 13) (13 14) (14 15) (1n 1n 1) 1n 1 n 2n 1综上所述，T nError!(另
9、解 ：Tn b1 b2 bn (11 12) (12 13) (13 14) (14 15) 1n 1(1n 1n 1) 1 1n 1 1n 1 n 1 1n 1n 1 . )18(本小题满分 12 分)(2019 长沙一模)如图，在四棱锥 PABCD 中，PAAD ，底面四边形 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADBC ，BCD90，M 为线段 PB 上一点(1)若 ，则在线段 PB 上是否存在点 M，使得 AM平面 PCD？若存在，13请确定 M 点的位置；若不存在，请说明理由；(2)已知 PA2，AD1，若异面直线 PA 与 CD 成 90角，二面角BPC D 的余弦值为 ，求 CD 的
10、长1010解 (1)延长 BA，CD 交于点 E，连接 PE，则 PE平面 PCD.若 AM平面PCD.由平面 PBE 平面 PCD PE，AM平面 PBE，则 AMPE.由AD BC，AD BC，13则 .故点 M 是线段 PB 上靠近点 P 的一个三等分点PMPB EAEB 13(2)PAAD，PA CD，ADCDD，AD平面 ABCD，CD 平面 ABCD，则 PA平面 ABCD，以点 A 为坐标原点，以 AD， AP 所在的直线分别为 y 轴、z 轴，过点 A 与平面 PAD 垂直的直线为 x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 P(0,0,2)，D(0,1,0) ，C(t,1,0)，
11、B ，则(t，1 1，0) ， (t,1， 2)， (t,0,0)BC (0，1，0) PC CD 设平面 PBC 和平面 PCD 的法向量分别为 n1(x 1，y 1，z 1)，n2( x2，y 2，z 2)由 n1 ，n 1 得Error!BC PC 即Error!令 x11，则 z1 ，故 n1 .t2 (1，0，t2)同理可求得 n2(0,2,1)设二面角 BPCD 的大小为 ，于是|cos | ，则 ，|n1n2|n1|n2|t2|1 (t2)2 5 1010解得 t2(负值舍去)，故 t2.CD2.19(本小题满分 12 分)(2019 郑州二模)目前，浙江和上海已经成为新高考综合
12、试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到 2020 年，我国将全面建立起新的高考制度新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案某校为了解高一年级 840 名学生选考科目的意向，随机选取 60 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(1)估计该学校高一年级
13、选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(2)将列联表填写完整，并通过计算判定能否有 99.9%的把握认为选历史与性别有关？选历史 不选历史 总计选考方案确定的男生选考方案确定的女生总计(3)从选考方案确定的 16 名男生中随机选出 2 名，设随机变量 Error! 求 的分布列及数学期望 E()附：K 2 ，nabcd.nad bc2a bc da cb dP(K2k 0) 0.05 0.01 0.005 0.001k0 3.841 6.635 7.879 10.828解 (1)由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 8 人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有 20 人
14、，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 840392 人2836 3660(2)列联表如下，选历史 不选历史 总计选考方案确定的男生 4 12 16选考方案确定的女生 16 4 20总计 20 16 36由列联表中数据得 K2 nad bc2a bc da cb d 10.8910.828，3644 1216220162016 3616211220162016 1089100所以有 99.9%的把握认为选历史与性别有关(3)由数据可知，选考方案确定的男生中有 8 人选择物理、化学和生物；有4 人选择物理、化学和历史；有 2 人选择物理、化学和地理；有 2 人选择物理、化学和政治
15、，由已知 的取值为 0,1.P(1) ，P( 0)1P(1) C28 C24 C2 C2C216 310 710，(或 P 0 C18C18 C14C14 C12C12C216 710)所以分布列为 0 1P 710 310E()0 1 .710 310 31020(本小题满分 12 分)(2019 全国卷)已知点 A( 2,0)，B (2,0)，动点M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 .记 M 的轨迹为曲线 C.12(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限， PEx 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交
16、C 于点 G.证明：PQG 是直角三角形；求PQG 面积的最大值解 (1)由题设得 ，yx 2 yx 2 12化简得 1(|x |2)，x24 y22所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点(2)证明：设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ykx (k0)由Error!得 x .21 2k2设 u ，则 P(u，uk )，Q(u，uk)，E (u,0)21 2k2于是直线 QG 的斜率为 ，方程为 y (xu)k2 k2由Error!得(2 k2)x22uk 2xk 2u2 80.设 G(xG，y G)，则u 和 xG是方程的解，故 xG ，由此得 yG .u3k2
17、22 k2 uk32 k2从而直线 PG 的斜率为 .uk32 k2 uku3k2 22 k2 u 1k所以 PQPG，即 PQG 是直角三角形由得|PQ|2u ，|PG| ，1 k22ukk2 12 k2所以PQG 的面积S |PQ|PG|12 8k1 k21 2k22 k2 .8(1k k)1 2(1k k)2设 tk ，1k则由 k0 得 t2，当且仅当 k1 时取等号因为 S 在2，)单调递减，8t1 2t2所以当 t2，即 k1 时，S 取得最大值，最大值为 .169因此，PQG 面积的最大值为 .16921(本小题满分 12 分)(2019 南京市三模)已知函数 f(x)ln x
18、1，aR.ax(1)若函数 f(x)在 x1 处的切线为 y2x b，求 a，b 的值；(2)记 g(x)f(x) ax ，若函数 g(x)在区间 上有最小值，求实数 a 的取值(0，12)范围；(3)当 a0 时，关于 x 的方程 f(x)bx 2 有两个不相等的实数根，求实数 b的取值范围解 (1)f(x) ，则 f(1)1a2，1x ax2解得 a1，则 f(x)ln x 1，1x此时 f(1)ln 1110，则切点坐标为(1,0) ，代入切线方程，得 b2，所以 a1，b2.(2)g(x)f(x) axln x ax1，axg(x) a .1x ax2 ax2 x ax2当 a0 时，
19、g(x ) 0，则 g(x)在区间 上为增函数，1x (0，12)则 g(x)在区间 上无最小值(0，12)当 a0 时，方程 ax2 xa0 的判别式 14a 20，则方程有两个不相等的实数根，设为 x1，x 2，由根与系数的关系得 x1x21，则两根一正一负，不妨设 x10x 2.设函数 m(x)ax 2xa(x 0)()若 a0，若 x2 ，则 m(0)a0，m a0，解得 0a .(0，12) (12) a4 12 23此时 x(0，x 2)时，m( x) 0，则 g(x)单调递减；x 时， m(x)0，则 g(x)单调递增，(x2，12)当 xx 2 时，g(x)取极小值，即为最小值
20、若 x2 ，则 x 时，m( x)0，g(x)在 上单调递减，无最小值12 (0，12) (0，12)()若 a0，x(0，x 2)时， m(x)0，则 g(x)单调递增；x(x2，)时，m( x)0 ，则 g(x)单调递减，在区间 上，g(x )不会有最小值(0，12)所以 a0 不满足条件综上，当 0a 时，g(x) 在区间 上有最小值23 (0，12)(3)当 a0 时，由方程 f(x)bx 2，得 ln x1bx 20，记 h(x)ln x1bx 2，x 0，则 h(x) 2bx .1x 2bx2 1x当 b0 时，h(x )0 恒成立，即 h(x)在(0， )上为增函数，则函数h(x
21、)至多只有一个零点，即方程 f(x)bx 2 至多只有一个实数根，所以 b0 不符合题意当 b0 时，当 x 时，h(x ) 0，则函数 h(x)单调递增；(0，12b)当 x 时，h(x) 0，则函数 h(x)单调递减，(12b， )则 h(x)maxh ln .(12b) 12b 12要使方程 f(x)bx 2 有两个不相等的实数根，则 h ln 0，解得 0b .(12b) 12b 12 e2()当 0b 时，h 0.e2 (1e) be2又 2 2 0，则 ，(1e) ( 12b) 2b e22be2 1e 12b所以存在唯一的 x1 ，使得 h(x1) 0.(1e， 12b)()h
22、ln 1 ln b1 ，(1b) 1b 1b 1b记 k(b)ln b1 ，00，即 ，(1b) ( 12b) 2 b2b2 1b 12b所以存在唯一的 x2 ，使得 h(x2) 0.(12b，1b综上，当 0b 时，方程 f(x)bx 2 有两个不相等的实数根e2(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019玉溪一中模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系
23、 xOy 有相同的长度单位，直线 l 的直角坐标方程为 y x.3(1)求曲线 C1 的极坐标方程；(2)若曲线 C2 的极坐标方程为 8cos0(R)，与直线 l 在第三象限交于 A 点，直线 l 与 C1 在第一象限的交点为 B，求|AB|.解 (1)由题意知 C1 的直角坐标方程为 x2 1，由Error!y24可得 C1 的极坐标方程为 2cos2 1，化简整理得 cos 2 .2sin24 12 sin24(2)由题意得直线 l 的极坐标方程为 或 ，不妨取 ，3 43 3Error!可得 A .( 4，3)同理Error!可得 B ，(477，3)|AB| A B|4 .47723(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019合肥冲刺 )已知函数 f(x)| x2| |x2|m( mR )(1)若 m1，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若函数 g(x)f(x) x 有三个零点，求实数 m 的取值范围解 (1)当 m 1 时，f(x )Error!f(x) 0， 当 x2 时，f(x)0 恒成立，不等式的解集为Error!.(2)若函数 g(x)f(x) x 有三个零点，只需 f(x)Error!与 yx 有三个交点即可即 f(x)每一段与 yx 各有一个交点当 x2 时，m4x，即 mx4，m2.综上所述，m 的取值范围是 2m2.
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