1、素养提升练( 三)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019驻马店期中 )若集合 A x|x(x2) 1，此时 a 的取值范围为 (0,1)综上所述，a的取值范围为( 1,1) ，故选 A.7(2019河南九狮联盟联考)下面框图的功能是求满足135n111111 的最小正整数 n，则空白处应填入的是( )A输出 i2 B输出 iC输出 i1 D输出 i2答案 D解析 根据程序框图得到的循环是 M
2、1，i3；M1 3，i 5；M1 35，i7；M1 357，i9；M1 35(n2) ，in 之后进入判断，不符合题意时输出，输出的是 i2.故选 D.8(2019宜宾诊断 )已知直线 l1：3x y60 与圆心为 M(0,1)，半径为的圆相交于 A，B 两点，另一直线 l2：2kx2y 3k30 与圆 M 交于 C，D5两点，则四边形 ACBD 面积的最大值为( )A5 B102 2C5( 1) D5( 1)2 2答案 A解析 以 M(0,1)为圆心，半径为 的圆的方程为 x2(y1) 25，联立5Error!解得 A(2,0)，B (1,3)，AB 的中点为 ，而直线(32，32)l2：2
3、kx2y3k30 恒过定点 ，要使四边形的面积最大，只需直线 l2过(32，32)圆心即可，即 CD 为直径，此时 AB 垂直 CD，|AB| ，2 12 0 32 10四边形 ACBD 面积的最大值为 S |AB|CD| 2 5 .故12 12 10 5 2选 A.9(2019漳州一模 )我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有( )A. (87 8)人 B. (898)人17 17C8 (878)人 D8 (898
4、4)人17 17答案 D解析 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为 8，公比也是 8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 88 48 58 68 78 88 8 (898 4)，故选 D.841 851 8 1710(2019深圳调研 )已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，ABC 60， AC2，P 为球 O 的球面上的动点，记三棱锥 PABC 的体积为V1，三棱锥 OABC 的体积为 V2，若 的最大值为 3，则球 O 的表面积为( )V1V2A. B. C. D6169 649 32答案 B解析 由题意，设 ABC 的外接圆圆心为
5、 O，其半径为 r，球 O 的半径为R，且| OO| d，依题意可知 max 3，即 R2d，显然 R2d 2r 2，(V1V2) R dd故 R r，又由 2r ，故 r ，得球 O 的表面积为23 ACsinABC 43 234R2 r2 ，故选 B.163 64911(2019西工大附中模拟)设 F1，F 2 是双曲线 C： 1(a0 ，b0)的x2a2 y2b2两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF 1|PF 2|6a，且PF 1F2 的最小内角为 30，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.232 3 62答案 C解析 F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且
6、满足|PF1|PF 2|6a，不妨设 P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|PF 2|2a，| F1F2|2c，| PF1|4a，|PF 2| 2a，a1f(x)若 xR，不等式 exf(ex)e x axaxf( ax)0 恒成立，则正整数 a 的最大值为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 xf(x )1f(x) ，xf(x )1f(x)0 ，令 F(x)xf(x )1，则F(x)xf(x )f(x)10，又f(x)是在 R上的偶函数，F(x)是在 R上的奇函数，F(x)是在 R上的单调递增函数，又e xf(ex)axf(ax )exax，可化为 exf(ex)1ax
7、f(ax)1，即 F(ex)F(ax)，又F(x )是在 R上的单调递增函数，ex ax0 恒成立，令 g(x)e xax ，则 g( x)e xa，a0，g( x)在( ，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，g(x)mina aln a0，则 1ln a0，00，则x0)，则 f( x)2x3，所以 f(1)235，且 f(1)4，由直线的点斜式方程可知 y45( x1)5x5，所以 5xy 10.16(2019烟台适应性测试)已知抛物线 C：x 24y 的焦点为 F，M 是抛物线 C 上一点，若 FM 的延长线交 x 轴的正半轴于点 N，交抛物线 C 的准线 l 于点 T，且
8、 ，则|NT| _.FM MN 答案 3解析 画出图形如下图所示由题意得抛物线的焦点 F(0,1)，准线为y1.设抛物线的准线与 y 轴的交点为 E，过 M 作准线的垂线，垂足为 Q，交 x轴于点 P.由题意得NPMNOF，又 ，即 M 为 FN 的中点，FM MN |MP| |OF| ，12 12|MQ | 1 ，| FM| MN| .12 32 32又 ，|TM|TF| |TN| |MN|TN| 2|FM| |MQ|FE|即 ，解得|TN| 3.|TN| 32|TN| 3322 34三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答
9、第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 淄博模拟)已知在等比数列 an中，a 12，且a1，a 2，a 32 成等差数列(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：b n 2log 2an1，求数列b n的前 n 项和 Sn.1an解 (1)设等比数列 an的公比为 q，a1，a 2，a 3 2 成等差数列，2a2 a1( a32)2(a 32)a 3，q 2a na 1qn1 2 n(nN*)a3a2(2)bn 2log 2an1 n2log 22n1 n2n1，1an (12) (12)Sn (12 1) (12
10、)2 3 (12)3 5 (12)n 2n 1 135(2n1)12 (12)2 (12)3 (12)n 121 (12)n1 12 n1 2n 12n 2 n1(nN *)(12)18(本小题满分 12 分)(2019 广州二模)科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：x(年龄 /岁 )26 27 39 41 49 53 56 58 60 61y(脂肪含量/%)14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6根据上表的数据得到如下的散点图(1)根据上表中的样本数据及其散点图：求 ；x
11、计算样本相关系数(精确到 0.01)，并刻画它们的相关程度；(2)若 y 关于 x 的线性回归方程为 1.56 x，求 的值( 精确到 0.01)，并根y b b 据回归方程估计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量参考数据： 27， xiyi13527.8， x 23638 ， y 7759.6，y 10 i 1 10 i 12i 10 i 12i6.56 ， 54.18.43 2935参考公式：相关系数 r n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 n i 1 yi y 2，回归方程 x 中斜率和截距的最小二乘估 n i 1xiyi nxy n i 1x2i nx 2 n i 1
12、y2i ny 2 y a b 计公式分别为 ， .b n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 a y b x 解 (1)根据上表中的样本数据及其散点图知， 47.x 26 27 39 41 49 53 56 58 60 6110回归系数 r n i 1xiyi nxy n i 1x2i nx 2 n i 1y2i ny 213527.8 10472723638 104727759.6 1027213527.8 1269023638 220907759.6 7290837.81548469.6 .837864342935因为 6.56， 54.18，43 2935所以 r0.9
13、8.由样本相关系数 r0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强(2)因为回归方程为 1.56 x，即 1.56，y b a 所以 0.54.b y a x 27 1.5647(或 利 用 b n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 n i 1xiyi nxy n i 1x2i nx 2837.81548 0.54)所以 y 关于 x 的线性回归方程为 0.54x 1.56，y 将 x50 代入线性回归方程得 0.54501.5628.56，y 所以根据回归方程预测年龄为 50 岁时人的脂肪含量为 28.56%.19(本小题满分 12 分)(2019 咸阳模拟)如图，
14、在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，ABC120，PAPC，PB PD，AC BDO .(1)求证：PO平面 ABCD；(2)若 PA 与平面 ABCD 所成的角为 30，求二面角 BPCD 的余弦值解 (1)证明： 四边形 ABCD 是菱形，O 为 AC，BD 的中点，又 PAPC，PB PD，POAC，POBD，ACBD O，且 AC，BD平面 ABCD，PO平面 ABCD.(2)设菱形 ABCD 的边长为 2t(t0)，ABC120，BAD60， OA t.3由(1)知 PO平面 ABCD， PA 与平面 ABCD 所成的角为PAO30，得到POt ，建立如图所示的空间直角
15、坐标系，则 B(0，t,0)，C ( t,0,0)，P (0,0，t)，D(0，t,0)，得到 (0，t ，t)，3 BP ( t,0，t) CP 3设平面 PBC 的法向量 n1(x 1，y 1，z 1)，平面 PCD 的法向量n2( x2，y 2，z 2)则Error!即Error!令 x11，则 y1z 1 ，得到 n1(1， ， )3 3 3同理可得 n2 (1， ， )，3 3|cos n1，n 2| .|n1n2|n1|n2| 17二面角 BPC D 为钝二面角，则余弦值为 .1720(本小题满分 12 分)(2019 广州六校联考)已知 ABC 中，AB 2，且sinA(1 2c
16、osB)sinB(1 2cosA)0.以边 AB 的中垂线为 x 轴，以 AB 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程；(2)已知定点 P(0,4)，不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E 相交于 M，N 两点，若直线 MP， NP 关于 y 轴对称，求PMN 面积的取值范围解 (1)由 sinA(12cosB)sinB(12cosA)0 得， sinAsinB2sinC，由正弦定理|CA|CB|2| AB|4|AB|，所以点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(除 y 轴上的点)，其中a2，c1，则 b ，3故轨迹 E 的方程为 1(x0)x23 y
17、24(2)由题可知，P(0,4) ，直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 ykx m (mk0) ，M(x1，y 1)，N( x2，y 2)，将直线 l 的方程代入轨迹 E 的方程得，(3k 24)x26kmx3 m2120.由 0 得 3k24m 2，且x1x 2 ，x 1x2 ，6km3k2 4 3m2 123k2 4因为直线 MP，NP 关于 y 轴对称，所以 kMPk NP0，即 0.y1 4x1 y2 4x2化简得 2kx1x2(m4)( x1x 2)0，所以 2k (m4) 0，3m2 123k2 4 ( 6km3k2 4)得 m1，那么直线 l 过点 B(0,1)，x 1x 2
18、 ，x 1x2 ，所以PMN 的面6k3k2 4 93k2 4积S |BP|x1x 2| 18 ，12 32x1 x22 4x1x2 k2 19k4 24k2 16设 k21t，则 t1，S18 ，19t 1t 6显然 S 在 t(1，)上单调递减，所以 S .(0，92)即PMN 面积的取值范围为 .(0，92)21(本小题满分 12 分)(2019 济南模拟)已知函数 f(x)x ln x x2( a1)a2x，其导函数 f( x)的最大值为 0.(1)求实数 a 的值；(2)若 f(x1)f (x2)1(x 1x 2)，证明：x 1x 22.解 (1)由题意，函数 f(x)的定义域为(0
19、，)，其导函数 f(x)ln xa( x1) ，记 h(x)f(x)，则 h(x) .1 axx当 a0 时，h(x ) 0 恒成立，1 axx所以 h(x)在(0，) 上单调递增，且 h(1)0.所以x(1 ， )，有 h(x)f(x)0 ，故 a0 时不成立；当 a0 时，若 x ，则 h( x) 0；(0，1a) 1 axx若 x ，则 h(x ) 1 时，g(a)0.所以 g(a)在(0,1)上单调递减，在 (1，)上单调递增所以 g(a)g (1)0，故 a1.(2)证明：当 a1 时，f(x)xln x x2，则12f(x)1ln xx.由(1)知 f(x )1ln xx0 恒成立
20、，所以 f(x)xln x x2在(0 ，) 上单调递减，12且 f(1) ， f(x1)f(x 2)12f(1) ，12不妨设 02，只需证 x22x 1，因为 f(x)在(0，) 上单调递减，则只需证 f(x2)1.令 F(x)f( x)f(2 x )(其中 x(0,1)，且 F(1)1.所以欲证 f(2x 1)f(x 1)1，只需证 F(x)F(1)，x (0,1)，由 F(x)f (x)f(2 x )1ln xx1ln (2x)2x，整理得 F(x)ln xln (2x)2(1 x)，x(0,1)，F(x) 0，x (0,1)，21 x2x2 x所以 F(x) ln xln (2x)2
21、(1 x)在区间(0,1)上单调递增，所以x(0,1)，F(x)ln xln (2 x)2(1x)F(1)，x (0,1)，故 x1x 22.(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019全国卷 )在极坐标系中，O 为极点，点 M(0， 0)(00)在曲线C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 0 时，求 0 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程解 (1)因为 M(
22、0， 0)在曲线 C 上，当 0 时， 04sin 2 .3 3 3由已知得|OP|OA |cos 2.3设 Q(，)为 l 上除 P 外的任意一点在 RtOPQ 中， cos | OP|2.( 3)经检验，点 P 在曲线 cos 2 上，(2，3) ( 3)所以，l 的极坐标方程为 cos 2.( 3)(2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA |cos4cos ，即 4cos.因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，所以 的取值范围是 .4，2所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos， .4，223(本小题满分 10 分) 选修 45：不等式选讲(2019漳州质检 )已知函数 f(x)|2 x |4x|.(1)关于 x 的不等式 f(x)a 23a 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若 f(m)f(n) 4，且 mm4，故 mn8.
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