1、基础巩固练( 四)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019南昌市摸底 )已知集合 A x|x0)的焦点，点 A(2，y 1)，B 分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若| AF|10，则|y 1y 2|( )(12，y2)A4 B8 C12 D16答案 C解析 |AF|2 10，p16，则抛物线的方程为 y232x，把 x 代p2 12入抛物线方程，得 y 4(y4 舍去)，即 B ，把 x2
2、 代入抛物线方程，(12， 4)得 y8( y 8 舍去) ，即 A(2,8)，则|y 1y 2|8(4)| 12，故选 C.7(2019潍坊市一模 )执行如图所示的程序框图，如果输出的 y 值为 1，则输入的 x 的值为 ( )A0 Be C0 或 e D0 或 1答案 C解析 程序对应的函数为 yError! 若 x0，由 y1，得 ex1，即 x0，满足条件若 x0，由 y2ln x1，得 ln x1 ，即 xe，满足条件综上，x0 或 xe，故选 C.8(2019长春一模 )正方形 ABCD 边长为 2，点 E 为 BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若 5，则| |( )AF AE
3、 AF A3 B5 C. D.32 52答案 D解析 正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 BC 边的中点，F 为 CD 边上一点， AE ， 5| |2，| | |cosEAF| |2，5 AF AE AE AF AE AE | |cosEAF| |，由数量积的几何意义可知 EFAE，由 E 是 BC 中点，AF AE 可得 EC1，EF ，AF ，AE 2EF 2AF 2，即1 CF2 4 2 CF251CF 24(2CF) 2， CF ，| |AF .故选 D.12 AF 529(2019河南濮阳二模 )记 m表示不超过 m 的最大整数若在 x 上(18，12)随机取 1 个实数，
4、则使得log 2x为偶数的概率为( )A. B. C. D.23 12 13 14答案 A解析 若 x ，则 log2x(3，1) ，要使得log 2x为偶数，则(18，12)log2x2， 1)所以 x ，故所求概率 P .故选 A.14，12)12 1412 18 2310(2019福州一模 )已知函数 f (x)x sinx，f(x)为 f (x)的导函数，则函数f(x)的部分图象大致为( )答案 A解析 函数 f (x)的导函数 f(x)sinxxcos x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D ；设 g(x)f (x)，则 g(x) 2cosxx sinx，g(0)20，排除B，
5、故选 A.11(2019长沙一中三模 )在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为a，b，c，若 acosBbcos A4sinC，则ABC 的外接圆面积为( )A16 B 8 C4 D2答案 C解析 设ABC 的外接圆半径为 R，acosBbcosA 4sinC，由余弦定理可得 a b c4sin C， 2R 4，解得a2 c2 b22ac b2 c2 a22bc 2c22c csinCR2， ABC 的外接圆面积为 SR 24，故选 C.12(2019青岛一模 )已知函数 f (x)Error! 若方程 f (x)a(a 为常数)有两个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是( )A(
6、，0) B.(916，e)C(，0 D(，0)916，e (916，e)答案 D解析 当 x 0 时，函数 f(x )2(ln x1)1 ln x，由 f(x)0，得1ln x0，得 ln x1，得 0xe ，由 f(x)0，得 1ln x0，得 ln x1，得 xe，当 x 的值趋向于正无穷大时，y 的值趋向于负无穷大，即当 xe 时，函数 f (x)取得极大值，极大值为 f (e)2eeln e2e ee ；当 x0 时，f (x)x 2 x 2 是二次函数，在对称轴 x 处取得最大值 .在同32 (x 34) 916 34 916一坐标系内作出函数 f (x)和 ya 的图象如图所示，要
7、使方程 f (x)a( a 为常数)有两个不相等的实根，则 a0 或 ae，即实数 a 的取值范围是(，0)916，故选 D.(916，e)第卷 (非选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019天津高考 )曲线 ycosx 在点(0,1)处的切线方程为_x2答案 y x112解析 y sinx ，将 x0 代入，12可得切线斜率为 .12所以切线方程为 y1 x，12即 y x1.1214(2019河北衡水中学一模)已知实数 x，y 满足约束条件Error! 则z3x y 的最大值为_ 答案 5解析 画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示
8、，作出直线y3xz，可知 z 要取得最大值，即直线经过点 C.解方程组Error!得C(2，1) ，所以 zmax3 2(1)5.15(2019四川绵阳二诊 )已知点 P 是椭圆 C： y 21 上的一个动点，x29点 Q 是圆 E： x2(y4) 23 上的一个动点，则| PQ|的最大值为_答案 4 3解析 由题知，圆 E 的圆心坐标为 E(0,4)，半径 R ，3设 P(m，n)是椭圆上的任意一点，则 n 21，m29则|EP| 2m 2 (n4) 29 9n2(n4) 28n 28n25，当 n 时，|EP| 2 有最大值 27，12所以|PQ |的最大值为 3 R4 .3 316(20
9、19青岛二模 )在四棱锥中 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD 底面 ABCD，且 PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为_答案 (14 6 )5解析 在这个四棱锥内有一个球，则此球有最大表面积时，对应的球是内切球，此时球的半径最大，设内切球的球心为 O、半径为 R，连接OP，OA，OB，OC，OD ，构成五个小棱锥，则五个小棱锥的体积之和即为大棱锥的体积，即 S 四边形 ABCDPD SPABCD R，根据 ABAD，PDAB，13 13可得 AB平面 PDA，故得 ABPA，PA PC，同理得 BCPC，四棱锥5PABCD 的表面积为SP ABCD
10、 2 2 1222262 ， (62 )12 5 12 5 13 5R 41，得 R ，此时球的表面积为 4 2(146 ).13 3 52 (3 52 ) 5三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 成都二模)已知等比数列 an的前 n 项和为Sn，公比 q1，且 a21 为 a1，a 3 的等差中项，S 314.(1)求数列a n的通项公式；(2)记 bna nlog2an，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)
11、a 21 是 a1，a 3 的等差中项，2(a21)a 1a 3，a1(q21)2a 1q2，又 a1(1qq 2)14，以上两式消去 a1 得 2q25q20，q1， 解得 q2，a 12.a n2 n.(2)bna nlog2ann2 n.数列b n的前 n 项和 Tn222 232 3n2 n.2Tn22 223(n1)2 nn2 n1 .T n22 22 32 nn2 n1 n2 n1 .22n 12 1Tn(n1)2 n1 2.18(本小题满分 12 分)(2019 合肥二模)如图，三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，平面 ABC平面 BCGF，CB2GF，BFCF.(1)求证：
12、ABCG；(2)若ABC 和梯形 BCGF 的面积都等于 ，求三棱锥 GABE 的体积3解 (1)证明：取 BC 的中点为 D，连接 DF.由 ABCEFG 是三棱台得，平面 ABC平面 EFG，BCFG.CB2GF ，CD 綊 GF，四边形 CDFG 为平行四边形， CGDF.BFCF ，D 为 BC 的中点，DFBC， CGBC.平面 ABC平面 BCGF，且交线为 BC，CG 平面 BCGF，CG平面ABC，而 AB平面 ABC，CGAB.(2)三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，且 CB2GF，AC2EG， SACG2S AEG，VGABE V BAEG VB ACG VGABC
13、.12 12由(1)知，CG平面 ABC.正ABC 的面积等于 ，BC2，GF1.3直角梯形 BCGF 的面积等于 ，3即 ， CG ，1 2CG2 3 233VGABE VGABC SABCCG .12 1213 1319(本小题满分 12 分)(2019 临沂二模)按国家规定，某型号运营汽车的使用年限为 8 年某二手汽车交易市场对 2018 年成交的该型号运营汽车交易前的使用时间进行统计，得到频率分布直方图如下图(1)记事件 A：“在 2018 年成交的该型号运营汽车中，随机选取 1 辆，该车的使用年限不超过 4 年”，试估计事件 A 的概率；(2)根据该二手汽车交易市场的历史资料，得到下
14、表，其中 x(单位：年)表示该型号运营汽车的使用时间，y(单位：万元) 表示相应的平均交易价格由下表提供的数据可以看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y x ，并预测该型号运营汽车使用 7 年的平b a 均交易价格相关公式： ， .b n i 1xiyi nxy n i 1x2i nx2 a y b x 使用时间 x(单位：年) 1 2 3 4 5平均交易价格 y(单位：万元) 25 23 20 18 17解 (1)由频率分布直方图可知，在 2018 年成交的该型号运营汽车的使用年限不超过 4 年的频率为(0.100.20)20.6
15、，所以估计事件 A 的概率为 0.6.(2)由题上表，可求得 3， 20.6，x yxiyi288， x 55 ，5 i 1 5 i 12i 2.1，b 288 5320.655 53220.62.1326.9，a y2.1x26.9.当 x7 时，y12.2.所以预测该型号运营汽车使用 7 年的平均交易价格为 12.2 万元20(本小题满分 12 分)(2019 榆林二模)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆上 C： y 21(10 时，f (x)1x 恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1)证明： f(x )e x2xa，令 g(x)e x2x a，则 g(x)e x2.则当 x( ，ln
16、 2)时，g( x)0.所以函数 g(x)在 xln 2 处取得最小值，又 a22ln 2，所以 g(ln 2)22ln 2a0.即当 a22ln 2 时，f (x) 的导函数 f( x)的最小值不小于 0.(2)当 x0 时，e xx 2ax 1x ，即 a x 1.exx 1x令 h(x) x 1(x0) ，则 h(x ) .exx 1x exx 1 x2 1x2 x 1ex x 1x2令 (x)e xx1( x0)，则 (x)e x10.当 x(0， )时，(x )单调递增，(x)(0) 0.则当 x(0,1)时，h(x)0 ，h( x)单调递增所以 h(x)minh(1)e 1，所以
17、ae1，即实数 a 的取值范围为(， e1(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019福建宁德二模 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(为参数) ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin.(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(0,02)解 (1)曲线 C1 的参数方程为Error!( 为参数)，转换为直角坐标方程为(x2) 2(y4) 24，转换为极坐
18、标方程为 2 4cos8 sin160.(2)曲线 C2 的极坐标方程为 4sin.转换为直角坐标方程为 x2y 24y0，所以Error!整理得公共弦的直线方程为 xy 40，联立Error!解得Error!或 Error!转换为极坐标为 或 .(22，4) (4，2)23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019榆林二模 )已知 f (x)| xa|( aR) (1)若 f (x)|2 x1|的解集为0,2，求 a 的值；(2)若对任意 xR，不等式 f (x)| xa| 3a2 恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1)不等式 f (x)|2x 1|，即|xa| |2x1|，两边平方整理得 3x2(2a 4) x1a 20，由题意知 0 和 2 是方程 3x2(2a4) x1a 20 的两个实数根，即Error!解得 a1.(2)因为 f (x)|x a|xa| |xa|( xa)(xa)|2|a|，所以要使不等式 f (x)|x a|3a2 恒成立，只需 2|a|3a2，当 a0 时，2a3a2，解得 a2，即 0a2；当 a0 时， 2a3a2，解得 a ，即 a0；25综上所述，实数 a 的取值范围是(，2
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