三角形专题知识点 典型题型 难点题型

1、1第十一章 三角形专题知识点+典型题型+难点题型第十一章 三角形专题知识点+典型题型+ 难点题型+详细答案 .111.1 与三角形有关的线段 .2知识框架 2一、基础知识点 2知识点 1 认识三角形 2知识点 2 三角形三边关系 4知识点 3 三角形的高、中线与角平分线 5知识点 4 三角形的稳定性 7二、典型题型 8题型 1 三角形三边关系（限定条件） 8题型 2 中线与三角形面积 8题型 3 高线与三角形面积 9三、难点题型 11题型 1 与三角形有关的线段 11题型 2 面积问题 等积变换 1211.2 与三角形有关的角 .15知识框架 15一、基础知识点 15知识点 1 三角形内角和定

2、理 15知识点 2 三角形的外角 15二、典型题型 17题型 1 方程思想求角度 17题型 2 转化思想求角度 17题型 3 整体思想求角度 192题型 4 数学模型 角平分线模型 20题型 5 数学模型 对顶三角形模型 20题型 6 分类讨论思想求角度 2111.3 多边形及其内角和 .22知识框架 22一、基础知识点 22知识点 1 多边形的有关概念 22知识点 2 多边形的内角和 22知识点 3 多边形的外角和 23二、典型题型 24题型 1 已知多边形内角和，求边 24题型 2 已知多边形的边，求内角 24题型 3 已知内、外角的关系，求边数 25三、难点题型 26题型 1 多边形的边

3、和角 2611.1 与三角形有关的线段知识框架基础知识 1.认识三角形2.三角形三边关系3.三角形的高 、 中线 、 角平分线4.三角形稳定性 典型题型 5.三角形三边关系 （ +等腰等限定条件 ） 往往有多解6.高线 与三角形面积7.中线 与三角形面积 难点题型 8.三角形有关线段 （证明题）9.面积问题 等积变换 一、基础知识点3知识点 1 认识三角形1）三角形定义：由不在同一条直线上的三段线段首位顺次相接所组成的图形叫作三角形。记作ABC，读作三角形 ABC。2）三角形的有关概念：顶点：三角形两边的公共点。如：点 A、点 B、点 C边：组成三角形的三条线段称为三角形的三边。如：AB （c

4、）、BC（ a）、AC（b）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫作三角形的内角。如CAB（A）、ABC（B）、ACB（C ）对应边：A 对应边为 BC；B 对应边为 AC； C 对应边为 AB注：当A 不能唯一表示一个角是，必须用CAB 表示。3）三角形的分类：已学习，按照角分类 度大 于钝 角 三 角 形 ， 有 一 个 角 度为直 角 三 角 形 ， 有 一 个 角 度小 于锐 角 三 角 形 ， 三 个 角 都 90还可按照边进行分类，根据边是否相等一般三角形 （三边都不等）等腰三角形底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形 等腰不等边，两腰角相等，且两腰均为锐角；等边三角形，三个角都为

5、60 度；特殊三角形：等腰直角三角形，90 度、45 度、45 度。4例 1.如图，在ABC 中，A 对边是（ ）；在ABD 中，A 的对边是（ ）例 2.如图，图中以 AD 为边的三角形有（ ）个，以C 为一个内角的三角形有（ ）个；若ABC 与AED 都是锐角三角形，则图中共有（ ）个钝角三角形。4）三角形的计数在复杂图形中寻找三角形的方法是：先以一个顶点为基础，改变另外两个顶点依次组成三角形，将含有这个顶点的所有三角形确定完全后，再以其他顶点为基准，依次寻找。要注意去掉重复计数的三角形（计数过的顶点不再计算）。例 1.在图中有几个三角形例 2.在图中有几个三角形5例 3.在图中有几个三角

6、形知识点 2 三角形三边关系1） 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 三 边三 角 形 两 边 之 和 大 于 第ACB两 边 之 差 小 于 第 三 边只需满足： ”和 “”，不包含 “=”例 1.三角形两边长分别为 3 和 8，则该三角形第三边长取值范围是（ ）例 2.下列线段能构成三角形的有哪些？（1）6cm，8cm，10cm（2）5cm，8cm，2cm（3）三条线段之比为 4:5:6（4）a+1，a+2，a+3（a0）6知识点 3 三角形的高、中线与角平分线1）三角形的高从ABC 的顶点 A 向它所对应的边 BC 所在直线作垂线，垂足为点 D。所得线段 AD 叫作ABC 的边 BC

7、 上的高。三条高的交点叫作垂心。注：三角形有三个高，每条边各对应一个高锐角所对应边的高在三角形内，钝角对应边的高在三角形外三条高一定交于某一点2）中线：连接ABC 的顶点 A 和它所对应边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫作ABC 的边 BC 上的中线。三条中线的交点叫作重心。3）画A 的平分线 AD，交A 所对应的边 BC 于点 D，线段 AD 叫作ABC 的角平分线。三条角平分线的交点叫作内心。4）几何关系：7垂线：AD BC 中线：CD=DB 角平分线：CAD= DAB 例 1.作下列三角形的高线。例 2.如图，在ABC 中，BD 是ABC 的角平分线，已知ABC=80，求DBC。例

8、 3.如图，D 、E 分别是ABC 的边 AC、BC 的中点，则下列说法不正确的是（ ）A.DE 是BCD 的中线 B.BD 是ABC 的中线 C.AD=CD，BE=EC D.C 的对边是DE知识点 4 三角形的稳定性1）三角形具有稳定性（三边长度确定，形状不会改变）2）多边形不稳定。要想稳定，中间加入边，构造成多个三角形8例 1.下列图形具有稳定性的有（ ）A2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个二、典型题型题型 1 三角形三边关系（限定条件）性质： 第三边 两边之和|两边之差 |注：两边为相同两条边解题技巧：（1）已知两条边，根据限定条件求第三条边，求解完成后，切勿忘记要验证三边是否能

9、构成三角形。（2）题干告知为等腰三角形，但未告知哪条边是腰时，往往有多解。最后，也需验证三边是否能构成三角形。例 1.已知等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，求这个等腰三角形的周长。例 2.用一条长为 36cm 的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为 8cm 的等腰三角形吗？例 3.已知三角形三边长分别为 2,8，a ，且 a 是不等式 2a115 的正整数解，求 a 的值。题型 2 中线与三角形面积性质：三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解题技巧：明确中线是哪个三角形的中线，这条中线将对应三角形的面积平分。题目中往往会出现多个三角形和多条中线，利用中线性质依次类推三角形的面积，直

10、至求解出题干要求的面积。例 1.AD 是ABC 的中线，AH 是ABC 的高，证明中线 AD 将ABC 分成相等的两部分。9例 2. 如图所示，在ABC 中，D，E，F，G 分别是 BC，AC，DC，EC 的中点，已知ABC的面积为 1，求FGC 的面积。题型 3 高线与三角形面积性质：三角形面积等于对应底边和高乘积的一半，同一个三角形面积不变注：求面积时，底边和高必须对应解题技巧：同一个三角形面积不变，利用这条性质，可得出等式：BCAD=ABCE=ACBF。利用个等式，可求出三角形中某些不太方便求解的边。例 1.如图，已知ABC 中， AM，CN 分别是ABC 对应边的高，若CN=3，AM=

11、6，AB=10，求 BC 的长。10例 2.如图，AD、CE、BF 分别是ABC 对应边上的高，若 AB=2AC，求 的值。11三、难点题型题型 1 与三角形有关的线段性质：（1）在同一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等角对等边。注：前提条件：必须在同一个三角形中解题技巧：遇到证明边之间大小关系的题型，想办法构造三角形，将需要证明的边转化到同一个三角形中，利用性质（1）来推导证明；利用性质（2），可将同一个三角形中的角和边的关系互换。例 1.如图， ABC 中，D、E、F 分别是边 BC、CA、AB 上的点，证明：DEF 的周

12、长小于ABC 的周长。例 2.如图所示，P 是ABC 内一点，连接 PB、PC 证明：AB+ACPB+PC例 3.如图，在ABC 中有 D、E 两点，求证：BD+DE+ECAB+AC12题型 2 面积问题等积变换性质：（1）两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积之比；（2）等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比；（3）等底等高的两个三角形面积相等。解题技巧：（1）寻找两个面积相等三角形技巧：选取底边相同的两个点的三角形，三角形的另一个顶点为与底边平行的线段上的点（等高）；（2）两图形面积之比，就是底边与高乘积之比。注：三角形面积公式中有乘 ，而平行四边形中无 。12 12例 1

13、.如图，平行四边形 ABCD 中，EFAC 分别交 CD、AD 于 E、F。连接AE、 BE、BF、CF ，问与BCE 面积相等的三角形还有哪些？13例 2.如图， D，E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点， AD=2BD，BE=CE。设ADF的面积为 S1，CEF 的面积为 S2，若ABC 的面积为 6，求 S1S2 的值。例 3.在 ABC 中，E 为 AC 中点，D 在 BC 上，DC=2BD ，AD 交 BE 于 F，求证：S BDF ：S 四边形 FDCE=1:5.1411.2 与三角形有关的角知识框架基础知识 1.三角形内角和定理 2.三角形外角 典型题型 3.方程思想4.

14、转化思想5.整体思想6.数学模型 角平分线模型对顶三角形模型 7.整体思想 一、基础知识点知识点 1 三角形内角和定理1）定理：三角形三个内角和等于 180 度2）直角三角形的两个锐角互余例 1.ABC 中，若A=60，B=65，求C。例 2.在ABC 中，若A ：B：C=2:3:4，求C。知识点 2 三角形的外角1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有 2 个）2）外交性质：性质一：三角形的外角等于它不相邻两内角和性质二：三角形外角和相邻内角和为 180 度性质三：三角形外角和为 360 度例 1.如图，求 x 的值。例 2.如图，已知 ABCD，若C=70，F=30，

15、求 A 的度数。1516二、典型题型题型 1 方程思想求角度性质：（1）三角形内角和=180；（2）对顶角相等，邻补角互补；（3）三角形外角=不相邻两个内角和。解题技巧：若图形中角比较多，用设未知数方法，利用上述 3 条性质，将图形角度之间的关系转化为方程的形式求解。例 1.在ABC 中，A B=30，C=4 B，求C 的度数。例 2.如图，ABC 中，D 是 BC 上一点，1=2，3=4，BAC=63 ，求DAC 的度数。例 3.如图，在ABC 中，BD 平分ABC，1=A ，2=C ，求A 的度数。题型 2 转化思想求角度解题技巧：求解多个角度和问题时，先利用三角形角度间的基本性质，将不规

16、则图形中的角度转化到同一个三角形（多边形）中；再利用三角形（多边形）内角和性质求解角度。例 1.如图，求A+B+C+D+E 的度数。17例 2.如图，ABC 的外角平分线 BP、CP 交于点 P，PEAC 于 E，PFAB 于F，A=70，求 FPB+ EPC 的度数。题型 3 整体思想求角度解题技巧：根据题干特点，有时单一的看待某个角度，难以解出题目要求的角度。这时，需要将 2 个角或多个角看成一个整体，在利用三角形内角和等性质进行转化求解。例 1.如图，点 D 在ABC 内，且BDC=120，1+ 2=55，求A 。18例 2.如图，将ABC 沿 EF 折叠，使点 C 落在点 D 处，求1

17、，2 与C 的数量关系。题型 4 数学模型角平分线模型性质：角平分线将一个角平分为相等的两部分解题技巧：此类题型，往往会告知多个角平分线，要求求解某一特定角。建议设平分后的角为未知数，利用方程的思想，转化为求解方程的形式来求解特定的角。例 1.已知 ABC 中，点 P 为ABC 和外角ACD 的角平分线的交点，证明P=12例 2.如图，在四边形 ABCD 中，AE 平分BAD，DE 平分ADC。求B+ C 与AED。19题型 5 数学模型对顶三角形模型性质：若两个三角形有一个对顶角，则这两个对顶角相等，那么这两个三角形剩下的两个角的和相等。解题技巧：利用对顶三角形另两个角的和相等的性质，列写对

18、顶三角形另两个角之和相等的等式，通过转化，求解出题干要求的角度。例 1.如图，AC，BD 相交于点 O，BP，CP 分别平分ABD，ACD ，且交于点 P。若BP、CP 分别为 ABD 、ACD 的外角平分线，求P 与A 、D 的关系。题型 6 分类讨论思想求角度解题技巧：当题目中未出现图形时，往往有多解情况，需要分类讨论。（1）等腰三角形中，腰和底的讨论（2） 锐角、直角、钝角三角形高的讨论例 1.在等腰ABC 中，A=80，求B。例 2.在等腰ABC 中，A=60，求B。20例 3.已知 AD 为 ABC 的高，BAD=70，CAD=20，求BAC 的度数。11.3 多边形及其内角和知识框

19、架基础知识点 1.多边形有关的概念 2.多边形内角和3.多边形外角和 典型题型 1.已知内角和 ， 求边2.已知边 ， 求内角和3.已知内 、 外角关系 ， 求边 难点题型 -多 边 形 的 边 和角 一、基础知识点知识点 1 多边形的有关概念1）多边形：在平面内，由一些线段首位顺次连接线段组成的图形。有 n 条边组成，我们就称为 n 边形。2）内角：多边形相邻两边组成的角。n 边形就有 n 个内角3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点组成的线段。 12（n -3）解释：n 个顶点，每个顶点不相邻顶点有（ n-3）个，重复计数一次，乘125）凸多边

20、形：画出多边形的任何一条边的直线，整个多边形都在直线同一侧。反之，则叫凹多边形。6）正多边形：各个角都相等，且各条边相等的多边形。例 1.下列图形中，是正多边形是的（ ）21A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形知识点 2 多边形的内角和1）n 边形内角和为（n2）*180解释：n 边形可分解为（n 2）个三角形，三角形内角和为 180 度例 1. 四边形的内角和为：例 2. 一个多边形的内角和是 720，则这个多边形的边数为：例 3.凸 n 边形的内角和为 1260，则从一个顶点出发引的对角线条数是：知识点 3 多边形的外角和1）定理：多边形外角和为 360注：多边形内角和与

21、边 n 有关，等于（n-2） 度180多边形外角和与边 n 无关，都等于 360 度例 1.多边形的外角和为：例 2.正十边形的每个外角为：二、典型题型题型 1 已知多边形内角和，求边性质：多边形内角和=180 （n2）解题技巧：利用多边形内角和公式，设边为 n，列写内角和公式方程求解边 n。注意理解性记忆公式，切勿强记。例 1.如果一个多边形内角和为 720，求这个多边形的边数。题型 2 已知多边形的边，求内角性质：多边形内角和=180 （n2）22解题技巧：先利用多边形内角和公式，将边数 n 代入公式求出内角和；再结合图形特点，求出提高要求的角度。例 1.如图，将边长相等的正三角形、正方形

22、、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，求3+1 2。例 2. 如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则 =题型 3 已知内、外角的关系，求边数性质：（1）多边形内角和=180（n 2）（2）多边形外角和为 360 度解题技巧：设多边形边数为 n，牢牢把握多边形外角和为 360 度这个不变量，根据题干内、外角之间的关系，列写含有 n 的方程，从而求解多边形边数 n。例 1.一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，求这个多边形的边数。例 2. 一个多边形中各内角相等，且每个内角与外角之差的绝对值为 60，求这个多边形的边数三、难点题型题型 1 多边形的边和角23性质：（1）多边形内角和

23、：180（n2）；（2）多边形外角和：360；（3）多边形对角线： 。12（n -3）解题技巧：此类题型比较灵活，要紧抓住边这个条件。无论是内角和、对角线都仅与边有关系。因此，在解决此类问题时，要想办法先求出多边形的边，在依据题目要求进行求解。在条件比较复杂情况下，可设多边形的边为未知数，转化为方程求解。例 1.如图，一个多边形纸片按图示的剪发剪去一个内角后，得到一个内角和为2340的新多边形，求原多边形的边数？例 2. 如图，以六边形的每个顶点为圆心，1 为半径画圆，则图中阴影部分的面积为：例 3.在一个多边形中，除了两个内角外，其余的内角和为 2002，求这个多边形的边数。244321D

24、CBAAB CD E当堂练习以及课后训练【例题精讲】 例 1 如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，1=2，3=4，BAC=63 求 DAC 的度数例 2. 如图，已知 DEBC，CD 是ACB 的平分线，B70， ACB50，求EDC 和BDC 的度数例 3.现有 2cm、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）.A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个例 4.如图， 分别为 的 ， 边的中点，将此三角形沿DE， ABC折叠，使点 落在 边上的点 处若 ，则 等于P48DEAPD（ ）25A B C D42485258例

25、 5 如图 2 所示，A、B、C 分别表示三个村庄，AB=1000 米，BC=600 米，AC=800 米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在（ ）AAB 中点 BBC 中点CAC 中点 D C 的平分线与 AB 的交点【当堂检测】1 中， 分别是 的中点，当 时， AB E， AB， 10cmBCDEcm 2如图在ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 中线.(1) ADC 90 ；(2) CAE 0.5 ；(3) CF 0.5 ； (4) SABC EDCBAF26O FE DABC第 2

26、 题图 第 3 题图3.如图ABC 中， A = 40,B = 72，CE 平分ACB，CDAB 于D，DF CE，则 CDF = 度4.下列命题中，错误的是（ ）A三角形两边之和大于第三边 B三角形的外角和等于 360C三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形5.观察下列图形，则第 个图形中三角形的个数是（ ）nA B C D2n44n6如图，将 沿 E折叠，使点 A与 BC边的中点 F重合，下列结论中： EFAB 且 12； ； S 四边形ADFE=0.5AFDE； DF，正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D47. ABC 中，AD 是高

27、，AE、BF 是角角平分线相交于点 O，BAC=50，27C=70.求DAC，BOA 的度数.【课后过关自测小练习】一、选择题 1. 如果三角形的两边分别为 3 和 5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）A4 B4.5 C5 D5.52. 如图， 中， ，点 分别在 上，则A 0 E， ABC，的大小为（ ）12 A B C D1302301803103如图，在三角形 A中， A， 、 E分别是 AB、AC 上的点， DE沿线段 翻折，使点 落在边 B上，记为 若四边形A是菱形，则下列说法正确的是（ ）28A. DE是 BC的中位线 B. A是 C边上的中线 C. 是

28、边上的高 D. 是 的角平分线4已知三角形的三边长分别是 ；若 的值为偶数，则 的值有（ 38x， ， x）A 个 B 个 C 个 D 个65435已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 14，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）（A）20 （B ）120 （C）20或 120 （D ）36二、填空题： 6如图，ACD155 0,B35 0,则A 度7如图所示，分别以 边形的顶点为圆心，以单位 1 为半径画圆，n29则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位8如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是 度9如图，在 ABC 中，AB=BC=2，ABC 90 ，D 是 BC 的中点，且它关于AC 的对称点是 D，则 BD=_10. 如图， A50， ABO28 ， ACO32，则 BDC 度，DCBA30BOC 度(第 10 题图)三、解答题 ：11如图,在ABC 中，作出 AB 边上的高及B 的平分线.（不写作法，保留作图痕迹）12如图，已知 ，点 在 边上，四边形 是矩AOB， EOBAEBF形请你只用无刻度的直尺在图中画出 的平分线（请保留画图痕迹）A