1、2018-2019 学年度北师大版数学八年级上册同步练习1.3 勾股定理的应用（word 解析版）学校:_姓名：_ 班级：_一选择题（共 10 小题）1如图，CD 是一平面镜，光线从 A 点射出经 CD 上的 E 点反射后照射到 B 点，设入射角为 （入射角等于反射角）， ACCD，BDCD ，垂足分别为 C、D，且 AC=3，BD=6，CD=12，则 CE 的值为（ ）A3 B4 C5 D62如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.9 米，则梯子顶端 A 下落了（
2、 ）A0.9 米 B1.3 米 C1.5 米 D2 米3小明从家走到邮局用了 8 分钟，然后右转弯用同样的速度走了 6 分钟到达书店（如图所示）已知书店距离邮局 660 米，那么小明家距离书店（ ）A880 米 B1100 米 C1540 米 D1760 米4古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）A直角三角形两个锐角互补B三角形内角和等于 180C如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，
3、那么这个三角形是直角三角形5如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度 BC=12 米，AB=AC=6.5 米，则中柱AD（D 为底边 BC 的中点）的长是（ ）A6 米 B5 米 C3 米 D2.5 米6如图，盒内长、宽、高分别是 6cm、3cm 、2cm ，盒内可放木棒最长的长度是（ ）A6cm B7cm C8cm D9cm7如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）A9cm B12cm C15cm D18cm8如图，圆锥的轴截面是边长为 6cm 的正三角形 ABC，P 是母线 AC 的中点，则在圆锥的侧面上从 B 点到 P 点的最短路线
4、的长为（ ）A B2 C3 D49如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈达到点 B，那么所用细线最短需要（ ）A11cm B2 cm C（8+2 ）cm D（7+3 ）cm10如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为（ ）A0.7 米 B1.5 米 C2.2 米 D2.4 米二填空题（共 6 小题）11如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东方向 60，距离灯塔为 4
5、海里的点 A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离 AB 长 海里12小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余 1m，当他把绳子下端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米13如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C向上拉升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 cm14一架长 25m 的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端 7m，如果梯子的顶端沿墙下滑了 4m，那么梯足将滑动 15如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在
6、杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）16如图，已知长方体的三条棱 AB、BC 、BD 分别为 4，5，2，蚂蚁从 A 点出发沿长方体的表面爬行到 M 的最短路程的平方是 三解答题（共 4 小题）17如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 60的方向上，轮船从 B 处继续向正东方向航行 100 海里到达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 30的方向上， ADBC 于点 D，求 AD 的长18（1 ）如图 1 是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是
7、其横载面，ABC 为正三角形求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为 l，b h 的长方体纸箱装满了一层高为 h 的圆柱形易拉罐如图 2求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？19如图，甲乙两船同时从 A 港出发，甲船沿北偏东 35的方向，以每小时 12海里的速度向 B 岛驶去乙船沿南偏东 55的方向向 C 岛驶去，2 小时后，两船同时到达了目的地若 C、B 两岛的距离为 30 海里，问乙船的航速是多少？20如图，一架长 2.5m 的梯子 AB 斜靠在墙 AC 上， C=90 ，此时，梯子的底端 B
8、离墙底 C 的距离 BC 为 0.7m（1）求此时梯子的顶端 A 距地面的高度 AC；（2）如果梯子的顶端 A 下滑了 0.9m，那么梯子的顶端 B 在水平方向上向右滑动了多远？2018-2019 学年度北师大版数学八年级上册同步练习：1.3 勾股定理的应用（word 解析版）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1【分析】证明AEC BED，可得 = ，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：由镜面反射对称可知：A=B=，AEC=BEDAEC BED = ，又若 AC=3，BD=6，CD=12， = ，求得 EC=4故选：B2【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用
9、勾股定理求得 AC 和 CE 的长即可【解答】解：在 RtACB 中，AC 2=AB2BC2=2.521.52=4，AC=2，BD=0.9，CD=2.4在 RtECD 中， EC2=ED2CD2=2.522.42=0.49，EC=0.7，AE=ACEC=20.7=1.3故选：B3【分析】利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离【解答】解：小明家到书店所用的时间为 =10 分钟，又小明的速度为 =110 米/分钟，故小明家距离书店的距离为 11010=1100 米故选：B4【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断【解答】解：设相邻两个结点的距离为 m，则此三角
10、形三边的长分别为3m、4m、5m，（3m） 2+（4m） 2=（5m） 2，以 3m、4m、5m 为边长的三角形是直角三角形（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选：D5【分析】首先证明 ADBC，再利用勾股定理计算即可；【解答】解：AB=AC，BD=DC，ADBC，在 RtADB 中，AD= = =2.5，故选：D6【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决【解答】解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为=3 cm这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形盒内可放木棒最长的长度是 =7cm故选：B
11、7【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出 AC 的长【解答】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在 RtABC 中：AC= = =15（cm），则这只铅笔的长度大于 15cm故选：D8【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以 AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以 A 为圆心，以 AB 为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后BAC=90 ，连接 BP，根据勾股定理求出 BP 即可【解答】解：圆锥底面是以 BC 为直径的圆，圆的周长是 BC=6，以 AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以 A 为圆心，以 AB 为半径的扇形，弧长是 l=6，设展开后的圆心
12、角是 n，则 =6，解得：n=180，即展开后BAC= 180=90，AP= AC=3，AB=6，则在圆锥的侧面上从 B 点到 P 点的最短路线的长就是展开后线段 BP 的长，由勾股定理得：BP= ，故选：C9【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短” 得出结果【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高 6cm，宽=2+3+2+3=10cm，AB 为对角线AB= =2 cm故选：B10【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，同理可得出 BD 的长，进而可得出结论【解答】解：在 RtACB 中，ACB=90 ，BC=0.7 米，AC=2.4 米，A
13、B 2=0.72+2.42=6.25在 RtABD 中，ADB=90，AD=2 米，BD 2+AD2=AB2，BD 2+22=6.25，BD 2=2.25，BD0，BD=1.5 米，CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2 米故选：C二填空题（共 6 小题）11【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出NPA=60，AP=4 海里，ABP=90，再由 ABNP，根据平行线的性质得出A=NPA=60 然后解RtABP，得出 AB=APcosA=2 海里【解答】解：如图，由题意可知NPA=60 ，AP=4 海里，ABP=90ABNP，A=NPA=60在 RtABP 中，ABP=90，A=60，AP=
14、4 海里，AB=APcosA=4cos60=4 =2 海里故答案为 212【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答【解答】解：设旗杆高 xm，则绳子长为（x +1）m，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为 x2+52=（x+1） 2，解得x=12m13【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BDAB 即为橡皮筋拉长的距离【解答】解：RtACD 中， AC= AB=4cm，CD=3cm ；根据勾股定理，得：AD= =5cm；AD+BDAB=2ADAB=108=2cm；故橡皮筋被拉长了 2cm14【分析】利用勾股定
15、理进行解答先求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为 =24m，顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为 =15m，15m7m=8m故答案为：8m15【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 AB，则 AB 即为最短距离，AB= = =20（cm）故答案为 2016【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种，分别求出
16、，选取最短的路程【解答】解：如图：AM 2=AB2+BM2=16+（5+2） 2=65；如图：AM 2=AC2+CM2=92+4=85；如图：AM 2=52+（4+2） 2=61蚂蚁从 A 点出发沿长方体的表面爬行到 M 的最短路程的平方是：61故答案为：61三解答题（共 4 小题）17【分析】如图，直角ACD 和直角ABD 有公共边 AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用 AD 表示出 CD 与 BD，根据 CB=BDCD 即可列方程，从而求得 AD 的长【解答】解：如图所示则ABD=30 ，ACD=60CAB=ABD，BC=AC=100 海里在 RtACD 中，设 CD=x 海里，则
17、 AC=2x 海里，AD= = = x，在 RtABD 中，AB=2AD=2 x，BD= = =3x，又BD=BC+CD，3x=100+x ，解得 x=50，AD= x=50 海里18【分析】（1）如图 1，设O 半径为 r，纸盒长度为 h，则CD= r，BC=2 r根据圆柱的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值；（2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值；（3）利用（1）（2）的数据进行解答【解答】解：（1）由题意，O 是ABC 内接圆，D 为切点，如图 1，连结 OD，OC 设O 半径为 r，纸盒长度为 h，则 CD= r，BC=2 r则圆柱型唇膏和纸盒的体
18、积之比为：（）（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比： = ；（3）=第二种包装的空间利用率大19【分析】首先求得线段 AB 的长，然后利用勾股定理求得线段 AC 的长，然后除以时间即可得到乙船的速度【解答】解：根据题意得：AB=122=24 ，BC=30，BAC=90 （1 分）AC 2+AB2=BC2AC 2=BC2AB2=302242=324AC=18 （4 分）乙船的航速是：182=9 海里/ 时（6 分）20【分析】（1）直接利用勾股定理求出 AC 的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出 BC，进而得出答案【解答】解：（1）C=90，AB=2.5，BC=0.7 ，AC= = =2.4（米），答：此时梯顶 A 距地面的高度 AC 是 2.4 米； （2）梯子的顶端 A 下滑了 0.9 米至点 A，AC=ACAA=2.40.9=1.5（m），在 RtACB中，由勾股定理得：AC 2+BC2=AB2，即 1.52+BC2=2.52，BC=2（m），BB=CB BC=20.7=1.3（m），答：梯子的底端 B 在水平方向滑动了 1.3m
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