1、专题 16 平面向量的解题技法一、本专题要特别小心：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。二 【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题三 【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系
2、.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数
3、量积 ab 0，尽量用坐标运算.四 【题型方法】（一）平面向量的几何意义法例 1. 如图，AB，CD 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， ，则 的值是（ ）=3 A B C D45 1516 14 58【答案】B【解析】 =(+)(+)=(+)(),选 B.=22=(14)21=1516练习 1. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，E 是 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 相交于点若 ， ， ，则 ( ).=1 =2 =3 =A B C D32 23 33 1【答案】D【解析】 ， ， ，=1 =2 =3，2=2+2为直角三角形，且 ， ， =90 =60平行行四边形 A
4、BCD 的对角线相交于点 O，E 是 OD 的中点， ，=13/=13， ，=+=+13=， =(+13)()=213223 =143231212=1故选：D练习 2.已知 D，E，F 分别是 ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且 ， ，则=， = = ； ； ； 0.其中正确的等式的个数为( ) 12 12 12 12 A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】如图可知 ，故 正确12 12 12 ，故正确12 12 ( ) ，故正确12 12 12 12 ( ) ( ) 0，故 正确12 12 12 12故选：D.（二）平面向量坐标法例 2. 如图，圆 是边长为 的等边三角形 的内切圆
5、，其与 边相切于点 ，点 为圆上任意一点， 23 ，则 的最大值为（ ）=+(,) 2+A B C2 D2 3 22【答案】C【解析】以 D 点为原点，BC 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立坐标系，设内切圆的半径为 1，以（0，1）为圆心，1 为半径的圆；根据三角形面积公式得到 ，12周长 =12600可得到内切圆的半径为 1;可得到点的坐标为： ( 3,0),( 3,0),(0,3),(0,0),(,1+)=(+3,1+),=( 3,3),=( 3,0)故得到 =(+3,1+)=( 3+3,3)故得到 =3+3 3,=31， =1+3=33 +23 2+=3+3 +43=2
6、3(+)+432.故最大值为：2.故答案为：C.练习 1. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则 的最小值为( ) A B C D13 12 1 2【答案】B【解析】以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，设正方形 ABCD 的边长为 1，则 C（1，1） ，D（0，1） ，A（0，0） ，B （1，0） E 为 AB 的中点，得(12,0)设 P（cos ，sin） ， （ 1，1） 再由向量 （ ，1）+（ cos，sin）（ +cos，+sin ）（1，1） ，12 2 ，2+=1+
7、=1 ,=222+= 32+ 由题意得 +=3+222+ =(2)+3+32+ =1+ 3+32+ 02,得 0，故 + 在0， 上是增函数，01,01（ +） 6+63(2+)2 2当 0 时，即 cos1，这时 + 取最小值为 ，3+022+0 =12当 时，即 cos0，这时 + 取最大值为 ，2 3+21 =5故 + 的取值范围为 ，512故选：B练习 2. 已知 ， ， ， ， 为 外接圆上的一动点，且 ，=3 =4 =5 =+则 的最大值是（ ）+A B C D54 43 176 53【答案】B【解析】以 的中点为原点，以 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 外接圆的方程为
8、 ，2+2=(52)2设 的坐标为 ，过点 作 垂直 轴， ，(52cos,52sin) sin=45 =3 ， ，=sin=125 =cos=353=95 ，=5295=710 ，(710,125) ，(52,0)(52,0) ， ， =(95,125) =(5,0)=(52cos+52,52sin) ， =+(52cos+52,52sin)=(95,125)+(5,0)=(95+5,125) ， ，52cos+52=95+552sin=125 ， ，=12cos38sin+12 =2524sin ，其中 ， ，+=12cos+23sin+12=56sin(+)+12 sin=35 cos=
9、45当 时， 有最大值，最大值为 ，sin(+)=1 +56+12=43故选：B练习 3.已知正方形 ABCD 的边长为 1，动点 P 满足 ，若 ，则 的最大值为|=2| =+ 2+2( )A B C D22 5 7+210 5+2【答案】C【解析】以 A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则 ， ， ， ，设 ， ,则由 得(0,0) (1,0) (1,1) (0,1) (,) =(1,),=(1,1)|=2|，化简得： ，又 ，(1)2+2=2(1)2+(1)2 (1)2+(2)2=2=+， ， ， 表示圆 上的点到原点(,)=(1,0)+(0,1) = = 2+2=2+2 (1)2+(2
10、)2=2的距离得平方，其最大值等于圆心 到原点的距离加半径的平方，即(1,2)，2+2=2+2( (10)2+(20)2+2)2=7+210故选：C练习 4.如图,原点 是 内一点 ,顶点 在 上, , , , , ,若 =1500=900|=2|=1|=3,则 （ ）=+=A B C D- 33 33 - 3 3【答案】D【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 A（2，0） ，B（ ， ） ，C（ ， ） ，32 12 32 332因为 ，由向量相等的坐标表示可得： ，得 ，即 ，=+2 32=3212=332 =3=33 3故选：D练习 5.点 是平行四边形 所在平面上一点，且 ，若 ， 3
11、+2= |=2， ，则 _|=4 =60 =【答案】203【解析】方法一：如图，以 为 轴建立直角坐标系，由题意可得各点坐标如下： ， ， ， (0,0) (2,0) (4,23)，设 ，因为 ，所以 ，所以 解得(2,23) (,) 3+2= 3(,)+2(2,23)=(2,0) 34=2,343=0, 即 ，所以 ， ，所以 =2,=433, (2,433) =(2,433) =(2,233) =4+83=203方法二：因为 ，所以 ，所以 ，所以3+2= 3(+)=+ 3=；=+=+13=+13()=13+23所以=13=13()=23+13=(13+23)(23+13)=292+292
12、+59=294+2916+59(2412)=203（三）平面向量基本定理综合应用例 3. 已知 A、B、P 三点共线， O 为任意一点，若 求证 ； (1)=+. +=1如图所示，已知 中，点 B 关于点 A 的对称点为 C，D 在线段 OB 上，且 ，DC 和 OA(2) =2相交于点 设 ， 若 ，求实数 的值.= = = 【答案】 （1）见解析；（2） =45【解析】 证明： 、B、 P 三点共线， 可设 ，(1) =，=+=+=+()=(1)+又 ， ， ；=+1= +=1解：由 C、 D、E 三点共线，可设 ， ，(2)=2，又 ，=23=23 =2，=+=+2=+2()=2，=23
13、(2)=532，而 ，=532 =，=(2)=+(2)，解得 ， 53=12=2 =45故实数 = 45练习 1. 如图，在 中，D 为 BC 的中点，G 为 AD 的中点，过点 G 任作一直线 MN 分别交 AB，AC于 M，N 两点，若 ， ，试问： 是否为定值？=1+1【答案】见解析.【解析】设 ， ，= =则 ， ， = =12=14(+)=14(+)所以 ， .=14(+)=(14)+14 =+因为 与 共线，且 不共线，所以有 ,(14)=14()即 ，得 ，所以 为定值14+14= 1+1=4 1+1（四）向量综合例 4.如图所示，在 中， ，点 在线段 上，设 ， ， ，则=
14、= = =+的最小值为（ ）1+ 4+1A B6+22 63C D6+42 3+22【答案】D【解析】 ， ， 三点共线，=+=2+ 即 由图可知 2+=1 =12 01+ 4+1=1+ 21=+12令 ，得 ，()=+12 ()=2+21(2)2令 得 或 （舍） ()=0 =21 = 21当 时， ，当 时， 021 ()0当 时， 取得最小值 .=21 ()(21)= 2( 21)( 21)2=3+22故选：D练习 1,。如图，已知正方形 的边长为 2，点 为 的中点以 为圆心， 为半径，作弧交 于 点 若 为劣弧 上的动点，则 的最小值为_ 【答案】 525【解析】如图，以 A 为原点
15、，边 AB，AD 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则：A（0，0） ，C（2，2） ，D （0，2） ，设 P（cos ，sin ）0， 2 （cos，2 sin） =(2， 2)（2cos） （ cos）+ （2sin） 252（ cos+2sin） sin（+） ，tan ；=525=12sin（+ ） 1 时， 取最小值 525故答案为：52 5练习 2.已知 ， ， 为平面上三个不共线的定点，平面上点 满足 （ 是实数） ，1 2 3 1=(12+13) 且 是单位向量，则这样的点 有（ ）1+2+3 A0 个 B1 个 C2 个 D无数个【答案】C【解析】以 为原点建立坐标
16、系，设 、 ，1 2(,)3(,)则 ，12+13=(+,+)因为 ，所以 ，1=(12+13) (+,+)所以 1=(,),2=(,),所以 3=(,),所以 ，1+2+3=(1-3)(+),(13)(+)因为 是单位向量，所以1+2+3 (1-3)2(+)2+(+)2=1因为 为平面上三个不共线的三点，1、 2、 3所以 ，显然 有两解，故满足条件的 有两个，故选 C。(+)2+(+)20 （五）向量与数学文化例 5.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再加
17、上中间的一个小正方形组成的） ，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 ，则（ ）=2A B=213+913 =29+127C D=313+613 =313+913【答案】D【解析】设 ，因此 ，又由题意可得 ，=2=2 =1 =120所以 ，2=2+22=32+126120=13因此 ；延长 交 于 ，记 ， ，=13 = =则 ，所以 ；=2+222 =9+131613 =71326 =12=3926又由题意易知 ，则 ，=120在三角形 中，由正弦定理可得 ，= sin= sin即 ，因此 ，60=sin
18、= 1sin(120) = 60sin(120)=3232+12=134 =14，所以 ，= sinsin(120)= sin32+12=14 = 33+14=1213因为 ，所以 ，即 ，=14 =14 =14()整理得 ，所以 .=34+14 =1213=1213(34+14)=913+313故选 D（六）向量与解析几何例 6. 已知抛物线 的准线方程为 ，焦点为 为抛物线上不同的三点，2=2(0) =1 ,成等差数列，且点 B 在 x 轴下方，若 ,则直线 AC 的方程为（ ）|,|,| +=0A B2+1=0 21=0C D2+1=0 21=0【答案】D【解析】根据抛物线的准线可知 ，
19、故抛物线方程为 ，焦点坐标为 .设=2 2=4 (1,0)， 成等差数列，故 ，根据抛物线的定义有(1,1),(2,2),(3,3) |,|,| |+|=2|，即 .将 三点坐标代入 ，得1+1+3+1=2(2+1) 1+3=22 , +=0，则 ，则 ，(11+21+31,1+2+3)=(0,0,0) 1+2+3=3,1+2+3=0 1+3=2,2=1由 ，则 .则 中点坐标为 ，即 ，直线 的斜率为22=42=4,2=2 1+3=2 (1+22 ,1+22 ) (1,1) .由点斜式得 ，化简得 .故选 D.1313=13214224= 41+3=42=2 1=2(1) 21=0练习 1.
20、 如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以线段 AB 为腰作等腰直角ABC（C、O 两点在直线 AB 的两侧） ，当AOB 变化时，OCm 恒成立，则 m 的最小值为_【答案】2 +12【解析】解：根据题意，以 O 为坐标原点， OA 为 x 轴建立坐标系，如图：则 A（2，0） ，设AOB=， （0） ，则 B 的坐标为（cos，sin ） ，则 =（ cos-2，sin ） ，ABC 为等腰直角三角形，则 ACAB 且|AC|=|AB|，又由 C、O 两点在直线 AB 的两侧，则 =（sin，2-cos） ，则 =（2+sin， 2-cos） ，=+则| |2=（2+sin） 2+（2-cos） 2=9+4（sin-cos）=9+4 sin（- ） ， 24所以当 = 时，| |2 取得最大值 9+4 ，34 2则 OC 的最大值为 2 +1，2若 OCm 恒成立，则 m2 +1，即 m 的最小值为 2 +1；2 2故答案为：2 +1 2
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