1、专题 12 平面向量的概念及其线性运算一、本专题要特别小心：1.向量加减的几何意义2. 向量共线的问题3. 零向量问题4.向量夹角为锐角和钝角问题 5.基本定理的两条路径法表示向量6.向量共线与三点共线的区别与联系7.向量的模与夹角的运算及应用问题8.平行与垂直问题二 【学习目标】1理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示2掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义4了解向量线性运算的性质及其几何意义三 【方法总结】1.向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的
2、同时，应充分利用平面几何的一些基本定理.(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义.2.向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.四 【题型方法】（一）向量共线与三点共线例 1下列说法正确的是（ ）A若 |=ab，则 、的长度相等且方向相同或相反B若向量、
3、CD满足 |AB，且与 CD同向，则 ABCC若 ，则与 可能是共线向量D若非零向量与 平行，则 、 、 、 四点共线【答案】C【解析】对于 A 选项，模相等的向量，方向不一定相同或者相反，也可能垂直，或者成其它的角度，故A 选项错误.对于 B 选项，向量不能用大于或者小于号相连，向量的模可以比较大小，故 B 选项错误.对于C 选项，不相等的向量可以共线，故 C 选项正确.对于 D 选项，平行向量不一定是共线的，故 B 选项错误.综上所述，本小题选 C.练习 1下列说法中正确的是（ ）A单位向量都相等B平行向量不一定是共线向量C对于任意向量 a， b，必有 abD若， 满足且 与 同向，则 【
4、答案】C【解析】对于 A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误，对于 B,平行向量就是共线向量，对于 C,若 a， b同向共线， ab，若 a， b反向共线， ab，若 a， b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知 ，综上可知对于任意向量 ， ，必有正确，对于 D,两个向量不能比较大小，故错误.故选 C.练习 2设 ,ab是非零向量，则“存在实数 ，使得 ab”是“ ab”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数 ，使得 ab，说明向量 ,ab共线，当 ,同向时， ab成立，当 反向时， 不成立，所以，充分性
5、不成立.当 成立时，有 ,ab同向，存在实数 ，使得 ab成立，必要性成立，即“存在实数 ，使得”是“ b”的必要而不充分条件.故选：B.练习 3.下列命题正确的是( )A 与 共线， 与 共线，则 与 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C向量 与 不共线，则 与 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行【答案】C【解析】由于零向量与任意向量都共线，所以当 是零向量时， 与 不一定共线，故 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时不能构成四边形，所以不可能是一个平行四边形的四个顶点，故 B 不正确；零向量与任意
6、向量都共线，故 C 正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，故 D 不正确.故选 C.练习 4下列说法正确的个数为( )（1）共线的两个单位向量相等；（2）相等向量的起点相同；（3）若 ，则一定有直线 ；（4）若向量 ， 共线，则点 A，B，C，D 必在同一直线上A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】(1)错，共线的两个单位向量的方向可能相反；(2)错，相等向量的起点和终点都可能不相同；(3)错，直线 与 可能重合；(4)错， 与 可能平行，则 四点不共线.故选 A.（二）向量的模例 2. 向量 的夹角为 ， ， ，则 的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】又本
7、题正确选项：练习 1.对于任意向量 a， b，下列命题中正确的是（ ）A如果， 满足 ，且与 同向，则 abB |ab C |ab D 【答案】B【解析】选项 A 中，向量不能进行比较大小，所以错误；选项 B 中， ab两边平方，整理化简得 ab，即 cos,1ab，所以正确；选项 C 中，当 与 同向时， ab，所以错误；选项 D 中，当 时， 0，不成立，所以错误.故选 B 项.练习 2. 已知平面向量 (1,3)(2,)ab，则 2ab（ ）A 32B3 C12xD5【答案】A【解析】因为 (1,)(2,0)ab，所以 (3,)ab，因此 2932ab.故选 A（三）向量加减运算法则的几
8、何意义例 3.在四边形 ABCD中， A且 BCD，则四边形 ABC的形状一定是（ ）A正方形 B矩形 C菱形 D等腰梯形【答案】C【解析】因为 A，所以 /,四边形是平行四边形，又 BAD，所以 BA,四边形是菱形，故选 C.练习 1.在 AC中， C， 2， 1， E， F为 AB的三等分点，则EF（ ）A89B109C179D259【答案】C【解析】因为 AC，所以22ABAC，化为 0B，因为 2B， 1，所以 4,1，又因为 E， F为 的三等分点，所以 EFEF133CAA229CBA271409，故选 C.练习 2在四边形 中， ， ， ，那么四边形 的形状是（ ）A矩形 B平行
9、四边形 C梯形 D以上都不对【答案】C【解析】 ， ， 四边形 是梯形。答案选 C（四）零向量陷阱例 4. 下列说法中错误的是（ ）A零向量与任一向量平行 B方向相反的两个非零向量不一定共线C零向量的长度为 0 D方向相反的两个非零向量必不相等【答案】B【解析】零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大小确定为 0,故 A 与 C 都是对的；设方向相反的两个非零向量为 a和 b，满足 (0)ab，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故 B 错；对于 D，因为向量相等的定义是：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故 D 对.答案
10、选 B.练习 1.已知命题 :p“ 2,4xx”，命题 :q“ ,abc是 3 个不同的向量，若 /,abc，则 /a”，则下列命题中为真命题的是（ ）A qB qC pD pq【答案】C【解析】由题得命题 p为真命题，命题 为假命题（因为 =0b时， a与 c可能不平行） ，则 pq为真命题，故选：C练习 2.下列关于向量的说法中正确的是（ ）A若 且 ，则B若 ，则C向量 （ ）且 ，则向量 与 的方向相同或相反D 与 方向相反，则 与 的方向相同【答案】C【解析】因为当 时， 与 不一定平行，所以 A 不正确；因为模相等的两个向量不一定相等，所以 B 不正确.因为 与 的大小不确定，所以
11、 D 不正确.因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以 C 正确；故选：C.（五）向量的性质例 5. 对于非零向量 ，下列命题中正确的是（ ）A若 ，则B若 ，则C若 ，则 在 上的投影为D若 ，则【答案】B【解析】对于选项 A，若 ，所以 ，故 A 错误，对于选项 B，若 ，所以 ，则 ，故 B 正确，对于选项 C，若 ，则 在 上的投影为 ，故 C 错误，对于选项 D，若 ，不能推出 ，故 D 错误，综上可知：选项 B 正确，故选：B练习 1.在正方形 AC中， E为 D的中点，若 AEBC，则 的值为（ ）A12B12C 1D1【答案】B【解析】由题得12222EADBABACB,1,2
12、.故选：B练习 2在 VAC中， D为 B边上的中线， M为 AD（靠近点 ）的三等分点，则 BMA516CBB156ACCD【答案】B【解析】根据向量的运算法则，可得： 115()366MADABCAB=-=+-=-.（六）向量的几何意义例 6. 设点 O在 C的内部，且 2340O，若 C的面积是 27，则 AOC的面积为（ ）A9 B8 C152D7【答案】A【解析】延长 OC 到 D，使得 OD=2OC,因为 2340OABC，所以320OABC，以 OA，OD 为边作平行四边形 OAED,对角线交点为 F,OE 交 AC 于 H,因为 2OC,所以 2E,因为 OC:AE=1:2,所
13、以 OH:HE=1:2,所以3,122OHBO,所以13HB,所以 AOC的面积是 B面积的13，所以 AC的面积为 9.故选：A练习 1. 如图，在平行四边形 中，点 为 的中点，连接 ，并延长交 于 ，则（ ）A BC D【答案】D【解析】在平行四边形 中，点 为 的中点，且延长后交 于所以 根据向量线性运算可知所以选 D练习 2.设 O 在ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 ，则 的面积与 的面积的比值为( )A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】D 为 AB 的中点，则 ，又 ， ， 为 CD 的中点又 为 AB 的中点， ，则练习 3.如图所示，设 为 所在平面内的一点，并
14、且 ，则 与 的面积之比等于（ ）A B C D【答案】D【解析】延长 AP 交 BC 于点 D，因为 A、P、D 三点共线，所以 ，设 代入可得即 又因为 ，即 ，且 解得 ，所以 可得 因为 与 有相同的底边，所以面积之比就等于 与 之比所以 与 的面积之比为 ，故选 D练习 4.已知点 M 是 所在平面内一点，满足 ，则 与 的面积之比为（ ）A B C3 D【答案】C【解析】设点 是 上一点,且 ,点 是 上一点，且 ，如下图所示：由 ，可知 ，以 为邻边作平行四边形 ,连接 ，延长 ，交于 ，设 ,因为 ，所以 ，由平行四边形 ，可知 ,设 ，所以 , ,因此 与 的面积之比为 3，
15、故本题选 C.练习 5.如图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线分别交 两边于 两点，且 ，则 的最小值为_【答案】【解析】根据条件： ， ；又 ； ；又 M，G ，N 三点共线； 1； x0，y0；3x+y（3x+ y） （ ） 2 ；3x+y 的最小值为 当且仅当 时“=”成立故答案为： （七）向量与数列例 7. 已知数列 是正项等差数列，在 中， ，若 ，则 的最大值为（ ）A1 B C D【答案】C【解析】 ，故 三点共线，又 ， ，数列 是正项等差数列，故 ，解得： ，故选：C练习 1.在平面四边形 中， 面积是 面积的 2 倍，数列 满足 ，且，则 （ ）A31 B33 C63
16、D65【答案】B【解析】设 和 交于点 ， 和 的高分别为 ， 的面积是 面积的 2 倍， ， ，即 ， ，又 ，由 三点共线，设 ，由平面向量基本定理得 ， ，即 ，数列 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列， ，即 ，所以 .练习 2.将向量列 ， ， 组成的系列称为向量列 ，并记向量列 的前 项和为 ，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 ，那么称这样的向量列为等和向量列.若 ， ，则下列向量中与向量 垂直的是（ ）A B C D【答案】C【解析】根据等和向量列的概念， ，故 ，故奇数项都为 ，偶数项都为 .故.注意到 可知，C 选项正确.故选 C.练习 3.如图所示，点 为 的边 上一点， ， 为 上一列点，且满足：，其中数列 满足 ，且 ，则_【答案】【解析】因为点 D 为ABC 的边 BC 上一点，且 ， ，因为 为 上一列点，所以 又 ，即： ，所以 ，即 .故答案为：
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