1、专题 10 解三角形的技巧与解题规律(1)一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7三角形的综合二 【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式三【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑从两个方向
2、进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理四 【题型方法】（一）多个三角形问题例 1. 在四边形 中， ， ， ， ， .ABCD45105ABC601BC2D（1）求 的大小；CBD（2）求 的值.A【答案】 （1） ；（2） .903【解析】 （1）在 中，由余弦定理，得：BCD2 2cos1132B 由 ， ，得：1C22BCD90D（2） 36360451605AA 由（1）得： BC 312DBC在 中，由正弦定理得：ADsinsiA3sin2B练习 1在 中，角 的对边分别为 ， ， ， VABC,a
3、bc32b1cos3B=（）求 的值；c（）若 为 边上的点，并且 ，求 D43ADB【答案】 （） （）1c4B=【解析】 （）由余弦定理可得： ，22cosacb即 ， 整理得 ，解得 或 （舍）2193+c6230c+1c3所以 （）在 中，由正弦定理 ，ABDsiniADB可得 又因为 ，所以 所以 2sinADBcos103B=2B02ADB又 ，6Bcos8由余弦定理得： ，解得：221516548xx1x，5AC4（2）如下图所示：在 中，由正弦定理得：ABDsinsinABD在 中，由正弦定理，得：CisCA64A又 ，5D3D2在 中，由余弦定理得：BC2 1cos16428
4、BCDBC1832练习 1. 已知ABC 的内角 A，B ，C 所对边分别为 a、b、c，且 2acosC=2b-c（1）求角 A 的大小；（2）若 AB=3，AC 边上的中线 SD 的长为 ，求ABC 的面积13【答案】 （1）A= ；（2）63【解析】 （1）2acosC=2 b-c，由正弦定理可得： sinAcosC+ sinC=sinB，12sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC sinC=cosAsinC， sinC0，cosA= ，212由 A （0，） ，可得角 A= ；3（2）在ABD 中，AB=3 ，BD= ，cosA= ，12由余弦定理可得：13=9
5、+AD 2-3AD，解得：AD=4 （负值舍去） ，BD 为 AC 边上的中线，D 为 AC 的中点，AC=2AD=8 ，SABC= ABACsinA= =6 121382（五）未知边角互代例 5. 在 ， ， ，点 为 内一点， ， .（1）求 ；（2）求 的面积.【答案】(1) (2) 【解析】 （1）设 ,则 ， ，即 得 ， ，即 （2） 中， ， ， 练习 1. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， （1）若 的面积为 ，求 ；（2）若点 为线段 的中点， ，求 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）因为 ， 由正弦定理可得， ，得 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，
6、因为 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 在 中， ，所以 （2）因为 ，所以 ，又 ，所以 记 ， ，在直角 中，在 中， ，所以 ，所以 ， 又 ，因此（六）三角形综合题例 6. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为 4 的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8 个三角形都是全等的三角形，设 .（1）用 表示线段 ；（2）设 ， ，求 关于 的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积 的最大值，并指出此时 的大小.【答案】 （1） ， （2） ， （3） 时， 取得最大值【解析】 （1）由题意可得：，（2）由（1）得： 两边平方并化简得：又 ，（3），令则又 在 上单调递增当 ，即 时，
7、取得最大值练习 1. 已知函数()求 在 上的单调递增区间；()在 中， 分别是角 的对边， 为锐角，若 ， 且 的面积为 ，求的最小值.【答案】() ；() .【解析】()，由 可得： .设 ，则 ，故 在 上的单调递增区间为 .()由 可得： ，化简可得： ，又 ，解得： .由题意可得： ，解得： .，当且仅当 时等号成立.故 的最小值为 .练习 2. 已知 的面积为 ，且 且（1）求角 的大小；（2）设 为 的中点，且 ， 的平分线交 于 ，求线段 的长度。【答案】 （1） （2）【解析】 （1） 又 ，即又 （2）如下图所示：在 中， 为中线 由（1）知： 又 ，由余弦定理可得： 又，又
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