1、专题 03 三角函数图像与性质一、本专题要特别小心：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期6.已知图象求解析式二 【学习目标】1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象.2.会用“五点法”画函数 yA sin(x)的图象，理解 A， ， 的物理意义.3.掌握函数 yAsin(x )与 ysin x 图象间的变换关系.4.会由函数 yAsin(x )的图象或图象特征求函数的解析式.三 【方法总结】1.五点法作图时要注意五点的选取，一般令 x 分别取 0
2、， ， ， ，2 ，算出相应的 x 值，再列表、描2 32点、作图.2.函数图象变换主要分平移与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少与方向，并要注意变换的顺序.3.给出 yAsin(x) 的图象，求它的解析式，由最高点或最低点求 A 值；常由寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，求 值，由周期求 值.四 【题型方法规律总结】（一） 与 的求法例 1.若 0，函数 的图像向右平移 3个单位长度后关于原点对称，则 的最小值为（ ）A12B52C12D32【答案】B【解析】函数 的图像向右平移 3个单位长度后，对应图像的解析式为 ，因为 gx的图像关于原点对称，所以 ，故 ，因 0，故 的最小值为52
3、，故选 B.练习 1。已知函数 ，若 4x是 ()fx图象的一条对称轴，(,0)4是 (fx图象的一个对称中心，则（ ）A BC D【答案】C【解析】因为 4x是 fx图象的一条对称轴，所以 ，又因为,0是 f图象的一个对称中心，所以 ， 得， 所以 可以表示为：，已知 0，所以 是从 1 开始的奇数，对照选项，可以选 C.练习 2.函数 （ ， 2）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）A2,3B2,6C4,6D4,3【答案】A【解析】 ， 2Tw， ，则有，代入51x得，则有 ， ，又 2， 3故答案选 A练习 3.已知函数 ，当 时， |mn的最小值为 ，若将函数 ()fx的图象向
4、右平移 (0)个单位后所得函数图象关于 y轴对称，则 的最小值为A 9B 6C29D 3【答案】C【解析】由题可得 ，因为当 时， |mn的最小值为 3，所以函数 ()fx的最小正周期 ，则23，解得 3，所以 ，将函数 ()fx的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，因为函数 的图象关于 y轴对称，所以36，解得 ，因为 0，所以 的最小值为239故选 C（二）由函数性质求解析式例 2. 已知函数 的图象经过两点 ， ()fx在(0,)4内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则 ()fx（ ）A B C D【答案】D【解析】根据题意可以画出函数 ()fx的图像大致如下因为 ，由图
5、可知， 又因为 0，所以34，所以 ，因为 ，由图可知， ，解得 ，又因为24T，可得 8，所以当 1k时， 9，所以 ，故答案选 D.练习 1.已知函数 的图像过两点 在0,4内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则 fx（ ）A BC D【答案】C【解析】由已知得 ，所以 4或3.当 4时， ，所以 .若 =3时， 在0,4有一个极大值点，不符合题意；若 7时， 在,内极大值点为 28，小于极小值点528，符合题意；当34时， ，所以 .若 5时， 在04，有一个极小值点，不符合题意；若 =9时， 在,极小值点 12和极大值点736，不符合题意.综上所述：应选 C.（三） 的图象与
6、性质例 3. 已知函数 ，则下列结论中正确的个数是（ ） fx的图象关于直线 3x对称；将 fx的图象向右平移 3个单位，得到函数 的图象；,03是 f图象的对称中心； f在,6上单调递增A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】由题意，函数 ，中，由 不为最值，则 fx的图象不关于直线 3x对称，故错；中，将 fx的图象向右平移 3个单位，得到函数 的图象，故对；中，由 ，可得,0不是 fx图象的对称中心，故错；中，由 ，解得 ，即增区间为， 由 ，解得 ，即减区间为，可得 fx在,63上单调递减，故错故选：A练习 1.已知函数 ，其图象相邻两条对称轴之间距离为 2，将函数()yfx的向右平移
7、 6个单位长度后，得到关于 y轴对称，则（ ）A ()f的关于点(,0)对称 B ()fx的图象关于点(,0)6对称C ()fx在,)63单调递增 D ()fx在2,)36单调递增【答案】C【解析】函数 ，其图象相邻两条对称轴之间距离为12，2， .将函数 ()yfx的向右平移 6个单位长度后，可得 的图象，根据得到的图象关于 y轴对称，可得 ， kZ， 6， .当 6x时，1()2fx，故 ()fx的图象不关于点(,0)6对称，故 A 错误；当时， ()f，故 ()f的图象关于直线x对称，不不关于点(,0)6对称，故 B 错误；在(,)63上， ， ()fx单调递增，故 C 正确；在2(,)
8、上， ， ()f单调递减，故 D 错误，故选：C练习 2. 将函数 的图象向右平移2个单位长度得到 gx图像，则下列判断错误的是（ ）A函数 gx的最小正周期是 B gx图像关于直线712x对称C函数 在区间,63上单调递减 D 图像关于点,03对称【答案】C【解析】由题意，将函数 ()fx的图象向右平移 2个单位长度，可得 ，对于 A,函数的最小正周期为2=，所以该选项是正确的； 对于 B，令712x，则 为最大值，函数 ()g图象关于直线712x，对称是正确的；对于 C中，,63x，则 ， 0，则函数 ()g在区间,上先减后增， 不正确；对于 D中，令 3x，则 ，()g图象关于点(,0)
9、对称是正确的，故选： C练习 3把函数 的图象向左平移 6个单位长度后得到函数 ()gx的图象，若 ()gx在,12上的值域为 2,4，则 的值是（ ）A0 B 1C 6D 4【答案】D【解析】把函数 ()fx的图象向左平移 6个单位长度后得到 的图象，又，则 ，当 时，g(x)的最大值为 4，若 g(x)的最小值为-2，则分析得 ， ，所以 4.练习 4.已知函数 的部分图像如图所示，现将 fx图像上所有点向左平移 24个单位长度得到函数 gx的图像，则 gx（ ）A在,21上是增函数 B在,213上是增函数C在7,36上是增函数 D在,上是增函数【答案】D【解析】由图象得， 2A， ，则2
10、T又 ， kZ ， kZ24当 时， ，此时 gx不单调，可知 A错误；当 时， ，此时 不单调，可知 B错误；当 时， ，此时 gx不单调，可知 C错误；当 时， ，此时 单调递增，可知 D正确.本题正确选项： D（四） 的图象与性质例 4. 已知函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2，将函数()fx的图象向左平移 6个单位长度后，得到函数 ()gx的图象若函数 ()gx为奇函数，则函数 ()fx在区间0,2上的值域是（ ）A ,3B 2,C 3,2D 3,【答案】A【解析】由相邻两条对称轴之间的距离为 2，可知 fx最小正周期为 即：2向左平移 6个单位长度得：gx为奇函数 ， kZ即
11、： 6k， Z又 2当0,xp时，本题正确选项： A练习 1.已知函数 0的最小正周期为 ，若函数 yfx在 0,a上单调递减，则 a的最大值是（ ）A 6B 3C23D56【答案】B【解析】2， ，令 ，解得，则函数 yfx在0,3上单调递减，故 a的最大值是 3.故选 B.练习 2已知函数 的最小正周期为 ，且对 xR， 恒成立，若函数 yfx在 0,a上单调递减，则 a的最大值是（ ）A 6B 3C23D56【答案】B【解析】因为函数 的最小正周期为 ，所以2，又对任意的 x，都使得 ，所以函数 f在 3上取得最小值，则 ， kZ，即 ，所以 ，令 ，解得 ，则函数 yfx在0,3上单调
12、递减，故 a的最大值是 3.练习 3.已知函数 的图象的一条对称轴为3x， 满足条件，则 取得最小值时函数 ()fx的最小正周期为( )A2B5C D45【答案】D【解析】 ， ， ，即 ，即 ，则1sin2，02， 6，则 ，又直线3x是函数 ()fx图象的一条对称轴， ，则 ， 0， 的最小值为52，此时函数 ()fx的最小正周期为45.故选 D（五） 的性质例 5已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）A ()yfx的最小正周期是 B ()yfx在,)4上单调递增C f是奇函数 D f的对称中心是【答案】A【解析】 ，最小正周期为 2T；单调增区间为 ，即 ，故 0k时， fx在,4上单调
13、递增；fx定义域关于原点对称， ，故 fx为奇函数；f对称中心横坐标为2kx，即 4kx，所以对称中心为,04kZ练习 1. 已知函数 的图象与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为 123,x，则 （ ）A-2 B2 C-1 D1【答案】D【解析】由题意得， ，则 ，易知直线 过定点 0,，如图，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点， ，则切线方程过点 ， ，即 ，则 ， .故选 D.（六）三角函数与其它函数的综合例 6. 函数 的零点的个数是 ( )A2 B3 C4 D5【答案】D【解析】由 ()0fx得 ,在同一坐标系下画出函数 的图像，如图所示，从图像上看，两个
14、函数有 5 个交点，所以原函数有 5 个零点.故选：D练习 1.已知函数 ()fx的定义域为 R， ，对任意的 xR满足 ()4fx.当 0,2时，不等式 的解集为( )A71,6B45,3C2,3D5,6【答案】D【解析】由题意构造函数 ，则 ，函数 ()gx在 R上为增函数 ， 又 ， ，1sin2， 02，56，不等式 的解集为,6故选 D练习 2.已知函数 ，则函数 与 fx的图象在区间 1,上的交点个数为（ ）A 1B 3C 5D 7【答案】C【解析】 ，因为2sinxy是奇函数，图像关于原点对称，所以 fx的图像关于点 0,2对称，同理可得 gx的图像也关于点 0,对称，因为当 1
15、,x时，所以 f在 1,上单调递增，且，作出 fx和 g在 ,的图像可以看出交点个数为 5.（七）三角函数与数列综合例 7. 己知函数 的零点构成一个公差为 2的等差数列，把函数 ()fx的图像沿 x轴向左平移 6个单位，得到函数 ()gx的图像，关于函数 ()gx,下列说法正确的是（ ）A在,42上是增函数 B其图像关于 4对称C函数 ()gx是奇函数 D在区间2,63上的值域为-2，1【答案】D【解析】 可变形为 ，因为 ()yfx的零点构成一个公差为 2的等差数列，所以 ()yfx的周期为 ，故 2，解得 2，所以 ，函数 ()fx的图像沿 轴向左平移 6个单位后得到，选项 A： ，解得
16、： ，即函数 ()ygx的增区间为 显然 ，故选项 A 错误；选项 B：令 ，解得： ，即函数 ()ygx的对称轴为 ，不论 k取何值，对称轴都取不到 4x，所以选项 B 错误；选项 C： ()的定义域为 R，因为 ，所以函数 ()ygx不是奇函数，故选项 C 错误；选项 D：当 时，故 ，根据余弦函数图像可得，故选项 D 正确.故本题应选 D.练习 1.函数 的图象与其对称轴在 y 轴右侧的交点从左到右依次记为 1A，2A， 3， n在点列 nA中存在三个不同的点 kA， t， p，使得 ktp 是等腰直角三角形将满足上述条件的 值从小到大组成的数列记为 n，则 2019（ ）A402B40
17、352C437D40392【答案】C【解析】由 2xk，得(1)2kx， Z，由题意得 ，即 ，由 123AV是等腰直角三角形，得 ，即，得 12，同理 147AV是等腰直角三角形得 ，得 23.同理 6是等腰直角三角形得 ，得5则 ，故选 C.练习 2已知函数 ，若函数 的所有零点依次记为，且 ，则 =( )A1763B 45C 45D14573【答案】C【解析】函数 ，令 得 ，即 ()fx的对称轴方程为 . ()fx的最小正周期为 .当 30k时，可得463x， ()f在460,3上有 31 条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数 与 3y的交点有 31 个，且交点 12,x关于 3对称
18、， 23,x关于56对称，即 ，将以上各式相加得：则故选 C.（八）三角方程例 8.关于 x 的方程 在 上有解，则实数 m 的取值范围为（ ）A (2,3)B 2,3C (3,)D 3,【答案】B【解析】由关于 x 的方程 ,在 上有解，则函数 的图像与直线 y=m 在 有交点，令 t= 6x,则 如图,则 ，故选 B.练习 1.记函数 ,若曲线 上存在点 0,xy使得 0fy,则a的取值范围是（ ）A 2,e4BC D【答案】C【解析】 ，所以 02y，若 0fy有解，等价于 ()fx在 2x上有解，即，也就有 2xae在 2上有解，设 ，则，由 ()h，得 为增函数，由 ()0hx，得为
19、减函数，即当 lnx时，函数取得极小值同时也取得最小值， 则 )2(为最大，即，要使 2xae在 x上有解，只需，所以 的取值范围是 ，故本题选 C.（九）三角函数性质综合应用例 9.已知函数 的图象与一条平行于 x轴的直线有两个交点，其横坐标分别为 1x， 2，则 12x+（ ）A43B 3C 3D 6【答案】B【解析】函数 的图象，对称轴方程： ， ，又304x，对称轴方程： 3x，由图可得 1x与 2关于 3对称，x1+x22 3，故选 B练习 1. 已知函数 ，动直线 xt与 的图像分别交于点,PQ、的取值范围是（ ）A 0,1B 0,2C 1,2D 0,2【答案】D【解析】因为 P、
20、 为 xt与 图像的交点所以根据辅助角公式，化简可得因为 tR 所以 PQ的取值范围是 0,2所以选 D练习 2.如图是函数 的部分图象，将函数 f（x）的图象向右平移 6个单位长度得到 g（x）的图象，给出下列四个命题：函数 f（x）的表达式为 ；g（x ）的一条对称轴的方程可以为 4x；对于实数 m，恒有 ；f（x）+g （ x）的最大值为 2其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B【解析】由图象知，A2， ，即 T，则2，得 2，由五点对应法得 ，则 f（x）2sin（2x+ 3） ，故正确，当 x 3时，f（ ）2sin 0，则函数关于 x 3不对称，故错
21、误，将函数 f（x）的图象向右平移 6个单位长度得到 g（x）的图象，即 g（x）2sin2（x ）+ 32sin2x ，当 4x时，g（ ）2sin（ 2）2 为最小值，则 是函数 g（x）的一条对称轴，故正确，f（x）+g（x）2sin（2x+ 3）+2sin2x2sinxcos +2cos2xsin +2sin2x3sin2x+ 3cos2x2 sin（2x+ 6） ，则 f（x）+g （x）的最大值为 2 ，故错误，故正确的是 ，故选：B练习 3若 在,2m上是减函数，则 m的最大值是（ ）A 8B 4CD38【答案】D【解析】 ，由辅助角公式可得： 令 ，解得： ，则函数 ()fx的单调减区间为 ，又 ()f在,2m上是减函数，则 0m，当 0k时，函数 ()fx的单调减区间为 ，243m，解得：308m，故答案选 D。练习 4.已知函数 ，若 120x，且 ，则 12x的最小值为（ ）A 6B 3CD 3【答案】D【解析】由题得 12+x等于函数的零点的 2 倍，所以 12的最小值等于函数 f(x)的绝对值最小的零点的 2 倍，令 所以 ,所以所以绝对值最小的零点为 3，故 12x的最小值为23.故选：D
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