1、第二篇 函数及其性质专题 2.03 函数的奇偶性与周期性【考试要求】 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x )f (x)，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x )f(x) ，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称
2、函数 yf( x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa) f(x)，则 T2a(a0).(2)若 f(xa) ，则 T2a( a0).1f（x
3、）(3)若 f(xa) ，则 T2a( a0).1f（x）4.对称性的三个常用结论(1)若函数 yf(x a)是偶函数，则函数 yf (x)的图象关于直线 xa 对称.(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax) f (x)或 f(x )f (2ax) ，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称.(3)若函数 yf(x b)是奇函数，则函数 yf (x)关于点(b，0)中心对称.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)函数 yx 2 在 x(0，)时是偶函数.( )(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)0.( )(3)若 T 是函数的一个周期，则 nT
4、(nZ，n0)也是函数的周期.( )(4)若函数 yf(x b)是奇函数，则函数 yf (x)的图象关于点 (b，0)中心对称.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 yx 2 在(0，)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x0 处有意义时才满足 f(0)0，(2)错.(3)由周期函数的定义，(3) 正确.(4)由于 yf(x b)的图象关于(0，0) 对称，根据图象平移变换，知 yf (x)的图象关于(b，0) 对称，正确.【教材衍化】2.(必修 1P35 例 5 改编)下列函数中为偶函数的是(
5、 )A.yx 2sin x B.yx 2cos xC.y|ln x| D.y2 x【答案】 B【解析】 根据偶函数的定义知偶函数满足 f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(必修 4P46A10 改编)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x 1，1)时，f(x)则 f _. 4x2 2， 1x0.)【答案】见解析【解析】 (1)由 得 x23，解得 x ，3 x20，x2 30，) 3即函数 f(x)的定义域为 ， ，3 3从而 f(x) 0.3 x2 x2 3
6、因此 f(x) f(x )且 f(x) f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由 得定义域为( 1，0)(0，1) ，关于原点对称 .1 x20，|x 2|2，)x20，则 f(x )(x) 2x x 2xf (x)；当 x0 时，x 0，且 f(x)为奇函数，则 f(x )log 3(1x )，所以 f(x)log 3(1x).因此 g(x)log 3(1x)，x log25.1220.8，且 ag(log 25.1)g(log 25.1)，g(3)g(log 25.1)g(20.8)，则 cab.法二 (特殊化)取 f(x)x ，则 g(x)x 2 为偶函数且在(0，)上单调
7、递增，又 3log25.120.8，从而可得 cab.5.(2019山东、湖北部分重点中学模拟) 已知定义在 R 上的函数 f(x)在1 ，)上单调递减，且 f(x1)是偶函数，不等式 f(m2) f(x1)对任意的 x1，0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A.3， 1 B.4，2C.(，3 1，) D.(，42，)【答案】 A【解析】 因为 f(x1)是偶函数，所以 f(x1)f(x1)，所以 f(x)的图象关于 x1 对称，由 f(m2)f(x1)得|(m2)1|(x1)1|，即|m 1|x2|在 x 1，0恒成立，所以|m1| x2| min，所以|m 1|2，解得3m1.二、填
8、空题6.若函数 f(x)xln( x )为偶函数，则 a_.a x2【答案】 1【解析】 f(x)为偶函数，则 yln(x )为奇函数，a x2所以 ln(x )ln( x )0，a x2 a x2则 ln(ax 2x 2)0，a1.7.若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 00，0，x 0，x2 mx，x0，所以 f(x) (x) 22(x)x 22x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x )f(x).于是 x 1，a 21，)故实数 a 的取值范围是(1，3.10.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 都有 f f 成立.(32 x) (32 x)(
9、1)证明 yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1)2，求 f(2)f(3) 的值；(3)若 g(x)x 2ax 3，且 y|f (x)|g(x)是偶函数，求实数 a 的值.【答案】见解析【解析】(1)由 f f ，(32 x) (32 x)且 f(x )f(x )，知 f(3x) f 32 (32 x)f f (x)f( x)，32 (32 x)所以 yf(x) 是周期函数，且 T3 是其一个周期.(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，且 f(1)f(1)2，又 T3 是 yf(x)的一个周期，所以 f(2)f(3)f(1) f (0)202.(3)因为
10、 y|f( x)|g(x)是偶函数，且|f(x )| f(x )|f(x)|，所以|f (x)|为偶函数.故 g(x)x 2ax3 为偶函数，即 g(x) g(x)恒成立，于是(x) 2a(x )3x 2ax3 恒成立.于是 2ax0 恒成立，所以 a0.【能力提升题组】(建议用时： 20 分钟)11.(2019石家庄模拟)已知奇函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)0，若 f(x 1)0，则 x 的取值范围为 ( )A.x|02 B.x|x2C.x|x3 D.x|x1【答案】 A【解析】 由题意知函数 f(x)在(，0) 上单调递增，且 f(1)0，不等式 f(x1)0 f(x1)
11、f(1)或 f(x1)f (1).x11 或 0x11，解之得 x2 或 0x1.12.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2) f (x)，且在0，1上是减函数，则有( )A.f f f(32) ( 14) (14)B.f f f(14) ( 14) (32)C.f f f(32) (14) ( 14)D.f f f( 14) (32) (14)【答案】 C【解析】 由题设知：f(x )f(x2)f(2x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称；函数 f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数 f(x)在0，1 上是减函数，所以 f(x)在1，0上也是减函数，综上函数
12、 f(x)在1，1上是减函数；又 f f f ， ，(32) (2 32) (12) 141412f f f ，(12) (14) ( 14)即 f f f .(32) (14) ( 14)13.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f (x1)，已知当 x0，1 时，f(x)2 x，则有2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3) 上是增函数；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是_.【答案】 【解析】 在 f(x1)f(x 1)中，令 x1t ，则有 f(t2) f( t)，因此 2 是
13、函数 f(x)的周期，故正确；当 x0 ，1时，f(x)2 x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x )在1，0 上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故正确；由知，f(x) 在0，2上的最大值 f(x)maxf (1)2，f (x)的最小值 f(x)minf(0)f(2)2 01 且 f(x)是周期为 2的周期函数，f(x )的最大值是 2，最小值是 1，故错误 .14.设 f(x)是(，)上的奇函数，f (x2) f (x)，当 0x1 时，f(x) x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的
14、面积.【答案】见解析【解析】(1)由 f(x2)f( x)得，f(x 4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f()f(14)f(4) f (4)(4 ) 4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x2) f(x)，得 f(x1)2f( x1) f( x1) ，即 f(1x )f (1 x).故知函数 yf(x )的图象关于直线 x1 对称.又当 0x1 时， f(x)x ，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如下图所示.当4x4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4S OAB4 4.(1221)【新高考创新预
15、测】15.(多填题、新定义题)定义：函数 f(x)在闭区间a，b 上的最大值与最小值之差为函数 f(x)的极差.若定义在区间2b，3b1上的函数 f(x)x 3ax 2( b2)x 是奇函数，则 ab_，函数 f(x)的极差为_.【答案】 1 4【解析】 由 f(x)在2b，3b1 上为奇函数，所以区间关于原点对称，故2b3b10，b1，又由f(x)f(x) 0 可求得 a0，所以 ab1.又 f(x)x 33x，f (x)3x 23，易知 f(x)在( 2，1)，(1，2)上单调递增，f(x )在(1，1)上单调递减，所以在2，2上的最大值、最小值分别为 f(1)f(2)2，f(1)f(2)2，所以极差为 4.
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