1、第二篇 函数及其性质专题 2.09 函数与数学模型【考试要求】1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.【知识梳理】1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质 ya x(a1)ylog ax(a1)yx n(n0)在(0，)上的增减
2、性单调递增 单调递增 单调递增增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)ax b(a、b 为常数，a0)二次函数模型 f(x)ax 2bx c (a，b，c 为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)ba xc( a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blog axc( a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)与幂函数相关模型f(x)ax nb(a，b，n 为常数，a0)【微点提醒】1.“直线上升
3、”是匀速增长，其增长量固定不变；“ 指数增长 ”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“ 指数爆炸”来形容；“对数增长” 先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )(2)函数 y2 x 的函数值比 yx 2 的函数值大.( )(3)不存在 x0，使 ax01)的增长速度会超过并远远大
4、于 yx a(a0)的增长速度.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)9 折出售的售价为 100(110%) 99 元.910每件赔 1 元，(1)错.(2)中，当 x2 时，2 xx 24.不正确.(3)中，如 ax 0 ，n ，不等式成立，(3)错.12 14【教材衍化】2.(必修 1P107A1 改编)在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98y 0.99 0.01 0.98 2.00则对 x，y 最适合的拟合函数是( )A.y2x B.yx 2 1C.y2x 2 D.ylog 2x【答案】 D【解析
5、】 根据 x0.50，y 0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 ylog 2x，可知满足题意.3.(必修 1P59A6 改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 .若该公司 2017 年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是(参考数据： lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( )A.2020 年 B.2021 年C.2022 年 D.2023 年【答案】 B【解析】 设经过 n 年资金开始超
6、过 200 万元，即 130(112%) n200.两边取对数，得 nlg1.12lg 2lg 1.3，n ，n4，lg 2 lg 1.3lg 1.12 0.30 0.110.05 195从 2021 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元.【真题体验】4.(2019上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) x22x20(万元).一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个月应生12产该商品数量为( )A.36 万件 B.18 万件C.22 万件 D.9 万件【答案】 B【解析】 利润 L(x)20
7、x C(x) (x18) 2142，当 x18 万件时，L(x) 有最大值.125.(2019天津和平区质检)已知 f(x)x 2，g( x)2 x，h( x)log 2x，当 x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A.f(x)g(x)h(x) B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x) D.f(x)h(x)g(x)【答案】 B【解析】 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当 x(4，)时，增长速度由大到小依次 g(x)f(x)h(x).6.(2019枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励
8、1 万元.销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元.若公司拟定的奖励模型为 yalog 4xb.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为_万元.【答案】 1 024【解析】 依题意 解得alog48 b 1，alog464 b 4.) a 2，b 2，)y2log 4x2，令 2log4x2 8，得 x4 51 024.【考点聚焦】考点一 利用函数的图象刻画实际问题【例 1】 (2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人) 的数据，绘制了下面的折线图 .根据该折线图，下列结论
9、错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】 由题图可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误.【规律方法】 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.【训练 1】 高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截
10、面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 vf (h)的大致图象是 ( )【答案】 B【解析】 vf( h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选 B.考点二 已知函数模型求解实际问题【例 2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10，k 为常数) ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层k3x 5建造费用与 20 年的能
11、源消耗费用之和.(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值.【答案】见解析【解析】(1)当 x0 时，C8，k 40，C(x) (0x10)，403x 5f(x)6x 6x (0x10).20403x 5 8003x 5(2)由(1)得 f(x)2(3x 5) 10.8003x 5令 3x5t，t5 ，35，则 y2t 102 1070( 当且仅当 2t ，即 t20 时等号成立)，800t 2t800t 800t此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70.隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元.【规
12、律方法】 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.【训练 2】 (2019日照月考) 已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润 x(单位：元)的函数解析式为 q(x) 求该服装厂所获得的最大效益是多少元？1 260x 1，00，f(x)单调递增，当 80x180 时，f(x)0，f(x) 单调递减，所以当 x80 时，f( x)有极大值，也是最大值 240 000.由于 120 0003，解得 x 10.2 000 60x800 10x 403所以，10 年内该企业的人均年终奖不会超过 3 万元.(2)任取 x1，x 2N *，且 1x10，（60800 2 000a）（x2 x1）（800 ax2）（800 ax1）所以 608002 000a0 ，解得 a24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过 23 人.
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