1、第二篇 函数及其性质专题 2.07 函数的图象【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.【知识梳理】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3) 讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4) 列表( 尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x) 的图象 yf (x)的图象； 关 于 x轴 对 称 yf(x) 的
2、图象 yf (x) 的图象； 关 于 y轴 对 称 yf(x) 的图象 yf (x)的图象； 关 于 原 点 对 称 ya x(a0，且 a1)的图象 ylog ax(a0，且 a1)的图象. 关 于 直 线 y x对 称 (3)伸缩变换yf(x) yf (ax). 纵 坐 标 不 变 各 点 横 坐 标 变 为 原 来 的 1a（a0）倍yf(x) yAf(x). 横 坐 标 不 变 各 点 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A(A0)倍(4)翻折变换yf(x) 的图象 y| f(x)|的图象； x轴 下 方 部 分 翻 折 到 上 方 x轴 及 上 方 部 分 不 变yf(x) 的图象 yf
3、 (|x|)的图象. y轴 右 侧 部 分 翻 折 到 左 侧 原 y轴 左 侧 部 分 去 掉 ，右 侧 不 变【微点提醒】记住几个重要结论(1)函数 yf(x)与 yf(2 ax )的图象关于直线 xa 对称.(2)函数 yf(x)与 y2bf(2 ax )的图象关于点(a，b) 中心对称.(3)若函数 yf(x )对定义域内任意自变量 x 满足：f (ax ) f(ax)，则函数 yf(x) 的图象关于直线 xa 对称.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)函数 yf(1x )的图象，可由 yf (x )的图象向左平移 1 个单位得到.( )(2)函数 yf(x
4、)的图象关于 y 轴对称即函数 yf (x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称.( )(3)当 x(0，)时，函数 yf (|x|)的图象与 y| f(x)|的图象相同.( )(4)若函数 yf(x )满足 f(1x )f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)yf(x )的图象向左平移 1 个单位得到 yf(1x) ，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于 y 轴对称，后者是两个函数的图象关于 y 轴对称，故(2)错.(3)令 f(x)x，当 x(0 ，) 时，y |f(x)|x ，yf(|
5、x|)x，两函数图象不同，故(3) 错.【教材衍化】2.(必修 1P24A7 改编)下列图象是函数 y 的图象的是( )x2，x0 时，函数 g(x)log f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0 时，x(2，8.2【考点聚焦】考点一 作函数的图象【例 1】 作出下列函数的图象：(1)y ；(2)y|log 2(x1)|；(12)|x| (3)yx 22|x| 1.【答案】见解析【解析】(1)先作出 y 的图象，保留 y 图象中 x0的部分，再作出 y 的图象中 x0 部分关于(12)x (12)x (12)x y 轴的对称部分，即得 y 的图象，如图实线部分 .(12)|x
6、| (2)将函数 ylog 2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数y|log 2(x1)| 的图象，如图.(3)y 且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出x2 2x 1，x0，x2 2x 1，x0，排除 A；当 x 时，y1，排除 B，选项 D 满足.法二 当 x1 时，f(1) 11sin 12sin 12，排除 A，C；又当 x 时，y，排除 B，而 D满足.(2)f(x)2x 2e |x|，x 2，2 是偶函数，又 f(2)8e 2(0，1)，排除选项 A，B ；当 x0时，f(x)2x 2e x，f(x)4xe x，
7、所以 f(0)10，所以函数 f(x)在(0，2)上有解，故函数 f(x)在0，2上不单调，排除 C，故选 D.【规律方法】 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复； (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练 2】 (2018浙江卷)函数 y2 |x|sin 2x 的图象可能是( )【答案】 D【解析】 设 f(x)2 |x|sin 2x，其定义域为 R 且关于
8、坐标原点对称，又 f(x)2 |x| sin(2x) f (x)，所以yf(x) 是奇函数，故排除选项 A，B；令 f(x)0，所以 sin 2x0，所以 2xk(kZ)，即 x (kZ)，故k2排除选项 C.故选 D.考点三 函数图象的应用 角度 1 研究函数的性质【例 31】 已知函数 f(x)x| x|2x，则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数，递增区间是 (0，)B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是 (，0)【答案】 C【解析】 将函数 f(x)x|x| 2x 去掉绝对值得f(x) x2 2x，x0，
9、 x2 2x，x0.若存在实数 b，使得关于|x|，xm，x2 2mx 4m，xm，)x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.【答案】 (3，)【解析】 在同一坐标系中，作 yf (x)与 yb 的图象.当 xm 时，x 22mx 4m(xm )24m m 2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则有 4mm 20.又 m0，解得 m3.【规律方法】 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值( 值域)、零点) 常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和
10、不等式的求解问题，方程 f(x)g( x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标；不等式 f(x)e.故 f(x)的最小值为 f(1)e.【例 3】 (2016全国卷)已知函数 f(x)(xR )满足 f(x)f(2x )，若函数 y|x 22x3|与 yf (x)图象的交点为(x 1， y1)，(x 2，y 2)，(x m，y m)，则 xi( )m i 1A.0 B.m C.2m D.4m【答案】 B【解析】 由 f(x)f(2x )知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称.又 y| x22x 3| |(x1) 24| 的图象也关于直线 x1 对称，所以这两函数的交点也关于直
11、线 x1 对称( 图略).不妨设 x10，需满足 a2，所以|x2 a|2a2.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 35 分钟)一、选择题1.(2019长郡中学联考)函数 f(x) 的图象大致为( )1 x2ex【答案】 D【解析】 f(x ) f(x)知 f(x)的图象不关于 y 轴对称，排除选项 B，C，1 x2e x又 f(2) 1， b1B.a1，01D.0e，)【答案】 B【解析】 令 g(x)f(ex)，则 g(x) ee x，e xe，ln（e x），e xe，)即 g(x) ee x，x0，ln（e x），xln(e0)1，排除 D，因而 B 项成立.7.(2019烟台二
12、模)已知函数 f(x) (a，b，c，dR) 的图象如图所示，则( )dax2 bx cA.a0， b0，c 0 B.a0，c0C.a0，c0，d0 D.a0，b0，d0【答案】 B【解析】 由题图可知，x1 且 x5，则 ax2bxc 0 的两根为 1，5，由根与系数的关系，得 6， 5，ba caa，b 异号，a，c 同号，又 f(0) 0.又因为 x时，f(x)0 ，所以 2m0m0 时，f(x) ，（2 m）xx2 m 2 mx mx所以 f(x)在(0， )上单调递增，( ，)上单调递减，所以 1m1，m m m综上，实数 m 的取值范围是 (1，2).二、填空题9.(2019石家庄
13、模拟)若函数 yf(x)的图象过点(1 ，1)，则函数 yf(4x)的图象一定经过点_.【答案】 (3，1)【解析】 由于函数 yf(4 x )的图象可以看作 yf (x)的图象先关于 y 轴对称，再向右平移 4 个单位长度得到.点(1，1) 关于 y 轴对称的点为 (1，1)，再将此点向右平移 4 个单位长度.所以函数 yf(4x )的图象过定点(3，1).10.如图，定义在1，) 上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则 f(x)的解析式为_.【答案】 f(x) x 1， 1x0，14（x 2）2 1，x0)【解析】 当1x 0时，设解析式为 ykx b(k0).则 得
14、yx1. k b 0，b 1， ) k 1，b 1，)当 x0 时，设解析式为 ya(x2) 21( a0).图象过点(4，0)，0a(42) 21，得 a .1411.使 log2(x)x1 成立的 x 的取值范围是_.【答案】 (1，0)【解析】 在同一直角坐标系内作出 ylog 2(x )，yx 1 的图象，知满足条件的 x(1，0).12.若关于 x 的方程|x| ax 只有一个解，则实数 a 的取值范围是 _.【答案】 (0，)【解析】 在同一个坐标系中画出函数 y| x|与 yax 的图象，如图所示.由图象知当 a0 时，方程|x|ax 只有一个解.【能力提升题组】(建议用时： 1
15、5 分钟)13.函数 y 在2，0(0 ，2上的大致图象为( )ln|x|x2 1x2【答案】 B【解析】 当 x(0 ，2时，函数 y ，当 x 时，y 0，当 x 时，ln|x| 1x2 ln x 1x2 1e (0，1e)y 0，所以函数 y 在(0 ，2上只有零点 ，又函数 y ln x 1x2 (1e，2 ln x 1x2 ln x 1x2 1e ln|x|x2在 2，0)(0，2上是偶函数 .1x214.(2019济南模拟)若直角坐标系内 A，B 两点满足：(1)点 A， B 都在 f(x)图象上；(2)点 A，B 关于原点对称，则称点对( A，B)是函数 f(x)的一个“和谐点对
16、”，(A，B )与(B，A) 可看作一个“和谐点对”.已知函数 f(x) 则 f(x)的“和谐点对”有( )x2 2x（x0），2ex （x0），)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】 B【解析】 作出函数 yx 22x (x0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y (x0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 2，即 f(x)的“和谐点对”有 2 个.2ex15.已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足 f(x)f(x)，且在(0 ，)上单调递减，g(1x)g(1 x)，且在(1，)上单调递减，设函数 F(x) f(x)g(x)|f (
17、x)g (x)|，则对任意 xR，均有( )12A.F(1x)F(1x ) B.F(1x )F(1x)C.F(1x 2)F(1x 2) D.F(1x 2)F(1x 2)【答案】 C【解析】 因为 F(x) 根据题意，F (x)的示意图可表示为如图中的实线部分，所以有f(x)(f(x)g(x)，g(x)(f(x)g(x)，)F(1x 2)F(1x 2).16.函数 f(x) 的图象与直线 ykx1 交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y1y 2_.x 1x【答案】 2【解析】 因为 f(x) 1，所以 f(x)的图象关于点(0，1) 对称，而直线 ykx1 过(0 ，1)点，故两x 1x 1x图象的交点(x 1，y 1)，( x2，y 2)关于点(0，1)对称，所以 1，即 y1y 22.y1 y22【新高考创新预测】17.(多选题) 对于函数 f(x)lg(| x2|1)，下列说法正确的是( )A.f(x2)是偶函数B.f(x2) 是奇函数C.f(x)在区间 (，2)上是减函数，在区间 (2，)上是增函数D.f(x)没有最小值【答案】 AC【解析】 作出 f(x)的图象，可知 f(x)在( ，2) 上是减函数，在(2，)上是增函数；由图象可知函数存在最小值 0.所以 A，C 正确.
浙公网安备33030202001339号