1、第四篇 三角函数与解三角形专题 4.01 角与弧度制、三角函数的概念【考试要求】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切 )的定义【知识梳理】1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类 按 旋 转 方 向 不 同 分 为 正 角 、负 角 、零 角 .按 终 边 位 置 不 同 分 为 象 限 角 和 轴 线 角 .)(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S | k360，kZ.2.弧度制的定义和公式(1)定
2、义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.(2)公式角 的弧度数公式 | (弧长用 l 表示)lr角度与弧度的换算 1 rad；1 rad 180 (180)弧长公式 弧长 l|r扇形面积公式 S lr |r212 123.任意角的三角函数(1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y )，那么 sin y，cos x，tan (x0).yx(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1， 0).如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正切线
3、.【微点提醒】1.若 ，则 tan sin .(0，2)2.角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 .3.象限角的集合4.轴线角的集合【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)小于 90的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30.( )(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)锐角的取值范围是 .(0，2)(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(4)
4、终边相同的角不一定相等.【教材衍化】2.(必修 4P12 例 2 改编)已知角 的终边过点 P(8m，3)，且 cos ，则 m 的值为( )45A. B. C. D.12 12 32 32【答案】 A【解析】 由题意得 m0，则角 是( )tan sin A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】 D【解析】 由 0，得 0，故 cos 0.又 sin cos 0 且 sin ，解得 m3.m16 m2 3510.已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长等于_.6 3【答案】 3【解析】 设扇形半径为 r，弧长为 l，则 解得lr 6，12lr 3，) l 3，
5、r 2.)11.(2019许昌调研)设 是第二象限角，P (x，4)为其终边上的一点，且 cos x，则 tan _.15【答案】 43【解析】 因为 是第二象限角，所以 cos x0，则实数 a 的取值范围是_.【答案】 (2，3【解析】 cos 0，sin 0，角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上. 20，)【能力提升题组】(建议用时： 15 分钟)13.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若 sin sin ，则 与 的终边相同；若 cos 0.(1)求角 的集合；(2)求
6、的终边所在的象限；2(3)试判断 tan sin cos 的符号.2 2 2【答案】见解析【解析】(1)由 sin 0，知 在第一、三象限，故角 在第三象限，其集合为 .|2k 0，cos 0，所以 tan sin cos 也取正号.2 2 2 2 2综上，tan sin cos 取正号.2 2 2【新高考创新预测】17.(多填题) 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t0 时，点A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A，B 两点的距离 d(单位：cm) 表示成 t(单位：s)的函数，则d_(其中 t0，60)；d 的最大值为_cm.【答案】 10sin 10t60【解析】 根据题意，得AOB 2 ，故 d25sin 10sint60 t30 AOB2 t60(t0，60).t0，60， 0， ，当 t30 时，d 最大为 10 cm. t60
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