1、8.7 立体几何的综合问题最新考纲 考情考向分析1.理解空间点、直线、平面的位置关系的定义，理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念.2.了解直线的方向向量与平面的法向量.3.了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法.利用线面关系的判定、性质定理证明空间的平行和垂直；利用空间角的概念或借助空间向量计算空间角(以线面角为主 )，题型为解答题，考查学生的空间想象能力和计算能力.1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量 .(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则
2、求法向量的方程组为Error!2.空间中平行、垂直关系的证明方法(1)利用空间平行、垂直关系的转化：线线关系 线面关系 面面关系.(2)利用直线的方向向量和平面的法向量的关系.3.求两条异面直线所成的角(1)用“平移法”作出异面直线所成角( 或其补角).(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角.4.求直线与平面所成的角(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影 )解三角形.(2)直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，a 与 n 的夹角为 ，则 sin |cos | .|an|a|n|5.求二面角的大小(1)如图，A
3、B，CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 ， .AB CD (2)如图，n 1，n 2 分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 满足|cos |cosn 1，n 2 |，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)平面的单位法向量是唯一确定的.( )(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( )(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )(5)两异面直线夹角的范围是
4、 ，直线与平面所成角的范围是 ，二面角的范围是(0，2 0，20，.( )(6)若二面角 a 的两个半平面 ， 的法向量 n1，n 2 所成角为 ，则二面角 a 的大小是 .( )题组二 教材改编2.P104T2设 u，v 分别是平面 ， 的法向量，u(2，2，5)，当 v(3，2，2) 时，与 的位置关系为 _；当 v(4，4，10) 时， 与 的位置关系为_.答案 解析 当 v(3，2，2)时，uv(2，2，5)(3，2，2) 0 得 .当 v(4 ，4， 10)时，v2u 得 .3.P111T3如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是
5、D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是 _.答案 垂直解析 以 A 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.AB AD AA1 设正方体的棱长为 1，则 A(0，0，0)，M ，O ，N ，(0，1，12) (12，12，0) (12，0，1) 0，ON 与 AM 垂直.AM ON (0，1，12)(0， 12，1)4.P104T2已知两平面的法向量分别为 m(0，1，0) ，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为_.答案 45或 135解析 cosm，n ，即m ，n45.mn|m|n| 11 2 22两平面所成二
6、面角为 45或 18045135.题组三 易错自纠5.直线 l 的方向向量 a(1，3，5)，平面 的法向量 n(1，3，5)，则有( )A.l B.lC.l 与 斜交 D.l 或 l答案 B解析 由 an 知， na，则有 l，故 选 B.6.已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若 cosm，n ，则 l12与 所成的角为_.答案 30解析 设 l 与 所成角为 ，cosm ，n ，12sin |cos m，n| ，0 90， 30.12题型一 证明平行或垂直问题1.(2018台州调研)如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱长为 a，M，N 分别为
7、A1B和 AC 上的点，A 1MAN ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 ( )2a3A.相交 B.平行C.垂直 D.MN 在平面 BB1C1C 内答案 B解析 以点 C1为坐标原点，分别以 C1B1，C1D1，C1C 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，由于 A1MAN ，2a3则 M ，N ， .(a，2a3，a3) (2a3，2a3，a) MN ( a3，0，2a3)又 C1D1平面 BB1C1C，所以 (0，a ，0)为平面 BB1C1C 的一个法向量.C1D1 因为 0，所以 ，MN C1D1 MN C1D1 又 MN平面 BB1C1C，所
8、以 MN平面 BB1C1C.2.(2010浙江)设 l，m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( )A.若 lm，m，则 l B.若 l ，lm，则 mC.若 l，m，则 lm D.若 l，m ，则 lm答案 B解析 对于 A，由 lm 及 m ，可知 l 与 的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故 A不正确.B 正确.对于 C，由 l，m 知， l 与 m 的位置关系 为平行或异面，故 C 不正确.对于D，由 l，m 知，l 与 m 的位置关系为平行、异面或相交，故 D 不正确.3.如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC90.点 D，E，N 分别为棱PA，P
9、C，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA AC4，AB2.求证：MN平面 BDE.证明 如图，以 A 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方AB AC AP 向建立空间直角坐标系.由题意，可得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).(0，2，0) ， (2，0，2).DE DB 设 n(x，y，z)为 平面 BDE 的一个法向量，则Error! 即Error!不妨设 z1，可得 n(1 ，0，1).又 (1，2， 1)，可得 n0.MN MN 因为 MN平面
10、 BDE，所以 MN平面 BDE.4.如图所示，已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPB PC2CD，侧面 PBC底面 ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面 PAD平面 PAB.证明 (1)取 BC 的中点 O，连接 PO，平面 PBC底面 ABCD，PBC 为等边三角形，平面 PBC底面 ABCDBC， PO平面 PBC，PO底面 ABCD.以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴， 过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，OP所在直线为 z 轴，建立空间直角坐 标系，如 图所示.不妨设 CD1，则 ABBC2， PO ，3A(1
11、，2，0)， B(1，0，0)，D(1，1， 0)，P(0，0， )，3 ( 2， 1，0)， (1， 2， ).BD PA 3 (2)1(1) (2)0( )0，BD PA 3 ， PABD.PA BD (2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M .(12， 1，32) ， (1，0， )，DM (32，0，32) PB 3 100 ( )0，DM PB 32 32 3 ，即 DMPB.DM PB 10(2) ( )0，DM PA 32 32 3 ，即 DMPA.DM PA 又PAPBP，PA，PB 平面 PAB，DM 平面 PAB.DM 平面 PAD，平面 PAD平面 PAB.思维升华
12、 (1)证明平行或垂直问题要以两条直线的平行或垂直为基础，灵活转化线线、 线面、面面的关系.(2)利用向量法证明平行、垂直问题时，要充分应用直线的方向向量和平面的法向量，将空间线面关系转化为向量的关系.题型二 空间角的计算命题点 1 求直线和平面所成的角例 1 (2018温州高考适应性测试) 如图，在四面体 ABCD 中，ABBCCD BD AD1，平面 ABD平面 CBD.33 12(1)求 AC 的长；(2)点 E 是线段 AD 的中点，求直线 BE 与平面 ACD 所成角的正弦值.解 (1)AB1，BD ，AD2，3AD 2AB 2BD 2，即 ABBD.又平面 ABD平面 CBD，平面
13、 ABD平面 CBDBD，AB平面 ABD，AB平面 CBD，AB BC ，ABBC1，AC .2(2)方法一 由(1) 可知 AB平面 CBD，如 图， 过点 B 作 BGDC 的延长线于点 G，连接 AG，则有 CD平面 ABG，平面 AGD 平面 ABG，过点 B 作 BH AG 于点 H，平面 AGD平面 ABGAG，BH平面 AGD，连接 HE，则BEH 为直线 BE 与平面 ACD 所成的角.由 BCCD1，BD ，易得 BCD120 ，3BG .又 AB1，32AG ，BH .72 217又 BE AD1，sin BEH ，12 BHBE 217即直线 BE 与平面 ACD 所成
14、角的正弦值为 .217方法二 在平面 BCD 上作 BFBC，分 别以 B 为原点， BC，BF，BA 所在直线为 x 轴，y 轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有 C(1，0，0)，D ，A(0，0，1)，(32，32，0)设平面 ACD 的法向量为 n( x，y，z)， (1，0，1)， ，AC CD (12，32，0)又Error! Error!令 y1，则 xz ，3n( ，1， )是平面 ACD 的一个法向量.3 3又 ，BE (34，34，12)设直线 BE 与平面 ACD 所成的角为 ，sin |cos ，n| .BE |BE n|BE |n| 317 217命题点 2
15、 求二面角例 2 (2018浙江名校(诸暨中学 )交流卷四)如图，已知ABC 为等边三角形，M 为 AB 的中点，AA 1，BB 1 分别垂直平面 ABC 于点 A，B，AA 1AB ，BB 1 AB，MNA 1B1，垂足为 N.12(1)求证：CNA 1B1；(2)求平面 ABC 与平面 A1B1C 所成的锐二面角的正切值.(1)证明 因为 AA1，BB1 分别 垂直平面 ABC 于点 A，B，所以平面 AA1B1B平面 ABC，又 M 为 AB 的中点，所以 CMAB，于是 CM平面 A1ABB1，所以 CMA 1B1.又因为 MNA 1B1，CMMNM ，所以 A1B1平面 CMN，又
16、CN平面 CMN，所以 A1B1CN.(2)解 方法一 如图，延 长 AB，A1B1 相交于点 D，连接 CD，则 CD 为所求二面角的棱.因为 BB1 AA1，BB1AA 1，所以 ，12 DBDA 12于是 BDBCBA ，于是ACD90，即 CDCA .又因为 CDAA 1，CAAA 1A，所以 CD平面 AA1C，所以 CDCA 1.于是A 1CA 即为所求二面角的平面角.在 Rt A1AC 中，AA 1AB AC，所以A 1CA45 ，所以 tanA 1CA1.综上，平面 ABC 与平面 A1B1C 所成的锐二面角的正切值为 1.方法二 如图，以 M 为原点，MA 为 x 轴， MC
17、 为 y 轴建立空间直角坐标系，设 AB2.则 C(0， ，0)，A1(1，0，2)，B1(1，0， 1)， (1， ，2)， ( 2， 0，1)，3 CA1 3 A1B1 设平面 A1B1C 的法向量为 n1(x， y，z).由 n10， n10，CA1 A1B1 得Error! 取 x1，则 y ，z2，3故 n1(1 ， ， 2).3设所求二面角的大小为 ，又平面 ABC 的一个法向量为 n2(0，0， 1).所以 cos ，所以 tan 1.|n1n2|n1|n2| 222 22思维升华 (1)利用定义法计算空间角的三步曲：一作二证三 计算.(2)利用向量法求角时，可利用基底法或建立空
18、间直角坐标系，要注意两个向量的夹角和所求角的关系.跟踪训练 (2018宁波模拟)如图，四边形 ABCD 为梯形，ABCD，C 60 ，点 E 在线段CD 上，满足 BECD，且 CEAB CD2，现将ADE 沿 AE 翻折到AME 位置，使得14MC2 .10(1)证明：AEMB；(2)求直线 CM 与平面 AME 所成角的正弦值.(1)证明 方法一 在梯形 ABCD 中，连接 BD 交 AE 于点 N，由条件易得 BD4 ，3BC 2BD 2CD 2，故 BCBD.又 BCAE，AE BD，从而 AEBN，AE MN，且 BNMNN ，AE平面 MNB，又 MB平面 MNB，AEMB.方法二
19、 由 MEDE 6，CE2，MC2 ，10得 ME2CE 2 MC2，故 CE ME.又 CEBE，且 MEBEE，CE平面 BEM.MB平面 BEM，CEMB，又 ABCE，AB MB .易得 AMAD 2 ，7则在 RtABM 中，MB 2 ，6又 BE2 ，ME 2MB 2 BE2，故 BEMB .3又 ABBEB，MB平面 ABE，又 AE平面 ABE，AEMB.(2)解 方法一 设直线 MC 与平面 AME 所成角为 ，则 sin ，其中 h 为点 C 到平面 AME 的距离.hMCAEBC，点 C 到平面 AME 的距离即为点 B 到平面 AME 的距离.由 VMABE SABE
20、MBV BAME SAME h，13 13得 h ， sin .S ABEMBS AME 263 hMC 1515方法二 MB平面 ABCE，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0，2，0)，C(2 ，2，0)，E(2 ，0，0)，M(0，0，2 )，3 3 6则 (0 ，2 ，2 )， (2 ， 2，0)， (2 ， 2， 2 ).AM 6 AE 3 MC 3 6设平面 AME 的法向量 为 m( x，y，z)，由Error! 可取 m( ， ，1).2 6设直线 CM 与平面 AME 所成角为 ，则 sin |cos m， | .MC |mMC |m|MC | 1515利用空间向量求空间角
21、例 (15 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，侧面 PCD 为正三角形且二面角 PCDA 的大小为 60.(1)设侧面 PAD 与侧面 PBC 的交线为 m，求证：mBC ；(2)设直线 AB 与侧面 PBC 所成的角为 ，求 sin 的值.思维点拨 本题主要考查线线平行的证明， 线面角的正弦 值的求法以及空间中线线、 线面、面面间的位置关系等，意在考查 考生的空间想象能力、推理 论证 能力、运算求解能力，考 查的数学核心素养是直观想象、逻辑 推理、数学运算 .规范解答(1)证明 因为 BCAD ，BC平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BC侧面
22、PAD.又侧面 PAD侧面 PBCm，所以 mBC.5 分(2)解 方法一 取 CD 的中点 M，AB 的中点 N，连接 PM，MN，则 PMCD ，MNCD.所以PMN 是侧面 PCD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角，从而PMN60.作 POMN 于点 O，则 PO底面 ABCD.因为 CM2，所以 PM2 ，3所以 OM ，OP3.9 分3以 O 为原点，ON 所在直线为 x 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(4 ，2，0)，B (4 ，2，0) ，C ( ，2，0)， P(0，0，3)， (0，4，0) ，3 3 3 AB (4 ，2，3) ， (
23、 ，2，3).PB 3 PC 3设 n(x，y，z )是平面 PBC 的法向量，则Error! 解得Error!取 n(0 ，3， 2).则 sin |cos n， | .15 分AB 12134 31313方法二 如图，取 CD 的中点 M，AB 的中点 N，连接 PM，MN，则 PMCD，MNCD，所以PMN 是侧面 PCD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角，从而PMN60.作 POMN 于点 O，则 PO底面 ABCD.因为 CM2，所以 PM2 ，所以 OP3.9 分3作 OEAB 交 BC 于点 E，连接 PE.因为 BCPO，BCOE，OPOE O ，所以 BC平面 POE.从
24、而平面 POE平面 PBC.所以PEO 就是直线 OE 即直线 AB 与平面 PBC 所成的角 .所以PEO.在 Rt POE 中，tan ，故 sin .15 分POOE 32 31313利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量 )坐标；第三步：计算向量的夹角(或函数值 )，并转化为所求角.1.若直线 l 的方向向量为 a (1，0，2)，平面 的法向量为 n(2，1，1)，则( )A.l B.lC.l 或 l D.l 与 斜交答案 C解析 a(1，0，2)，n (2，1， 1)，an 0，即 an ，l 或 l.2.如图，
25、在空间直角坐标系中，有直三棱柱 ABCA 1B1C1，CA CC 12CB，则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.55 53 56 54答案 A解析 设 CA2，则 C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，可得向量(2，2，1) ， (0，2 ， 1)，由向量的 夹角公式得 cos ， AB1 BC1 AB1 BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | ，故选 A.0 4 14 4 10 4 1 15 553.在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与
26、平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A. B. C. D.12 23 33 22答案 B解析 以 A 为原点，AB ，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1，则 A1(0，0，1)，E ，D(0，1，0)，(1，0，12) (0 ，1，1) ， .A1D A1E (1，0， 12)设平面 A1ED 的一个法向量 为 n1(1， y，z)，则有Error! 即Error!Error!n 1(1 ，2，2).平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0 ，0，1)，cosn 1，n2 ，231 23即所成的锐二面角的余弦值
27、为 .234.(2018金华模拟)如图，平面 ，l ，A，B ，A，B 到 l 的距离分别是 a 和b，AB 与 ， 所成的角分别是 和 ，线段 AB 在 ， 内的射影长分别是 m 和 n，若ab，则( )A.，mn B.，mn答案 D解析 由题意得Error!解得Error! 故选 D.5.已知正三棱柱 ABCA 1B1C1，ABAA 12，则异面直线 AB1 与 CA1 所成角的余弦值为( )A.0 B. C. D.14 14 12答案 C解析 以 A 为原点，在平面 ABC 内过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，以 AC 所在直线为 y 轴，以AA1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标
28、系，则 A(0，0，0)，B1( ，1，2)，A1(0，0，2)，C(0，2，0)，3( ，1，2)， (0 ，2， 2)，AB1 3 A1C 设异面直线 AB1 和 A1C 所成的角为 ，则 cos .|AB1 A1C |AB1 |A1C | | 2|88 14异面直线 AB1 和 A1C 所成的角的余弦值为 .146.(2018宁波十校高三适应性考试) 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 是棱 AB上的动点(P 点可以运动到端点 A 和 B)，设在运动过程中，平面 PDB1 与平面 ADD1A1 所成的最小角为 ，则 cos 等于( )A. B. C. D.22 23
29、 33 63答案 D解析 以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，APa(0a1) ，则易得 D(0，0，0)，P(1，a，0)，B1(1，1，1)，则(1，a ，0)， (1，1，1)，设平面 PDB1 的法向量为 n( x，y，z)，DP DB1 则Error! 令 xa，得平面 PDB1 的一个法向量为 n( a，1，a1)，易得平面 ADD1A1 的一个法向量为 m(0，1，0)，由图易得平面 PDB1 与平面 ADD1A1 所成的二面角为锐角，设其为，则其余弦值为 cos ，易得当二面角取得|nm|
30、n|m| | 1|a2 12 a 1212(a 12)2 32最小值 时，a ，此时有 cos ，故选 D.12 637.在三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，BAC90， D，E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，ABAC 1，PA 2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为_.答案 55解析 以 A 为原点，AB ，AC，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由 ABAC1 ，PA2，得 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D ，(12，0，0)E ，F .(12，12，0) (0，12，1) (0
31、 ，0， 2)， ， .PA DE (0，12，0) DF ( 12，12，1)设平面 DEF 的法向量为 n(x，y ，z)，则由Error! 得Error!取 z1，则 n(2，0，1) ，设直线 PA 与平面 DEF 所成的角为 ，则 sin |cos n， | ，PA |PA n|PA |n| 55直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 .558.如图，在正方形 ABCD 中，EFAB，若沿 EF 将正方形折成一个二面角后，AEED AD11 ，则 AF 与 CE 所成角的余弦值为_.2答案 45解析 AEED AD1 1 ，2AEED ，即 AE，DE，EF 两两垂直，所以建立
32、如图所示的空间直角坐标系，设ABEFCD 2，则 E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)， (1， 2，0)， (0，2，1)，AF EC cos ， ，AF EC AF EC |AF |EC | 45AF 与 CE 所成角的余弦 值为 .459.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面 ABC，AB BC AA 1，ABC90，点 E，F 分别是棱 AB，BB 1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是_.答案 60解析 以 B 点为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴， BA 所在直线为 y 轴， BB1 所在直线为 z 轴，建立空间
33、直角坐标系.设 ABBCAA 12，则 C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则 (0 ，1 ，1)， (2，0， 2)，EF BC1 2，EF BC1 cos ， ，EF BC1 EF BC1 |EF |BC1 | 2222 12异面直线所成角的范围是(0，90，EF 和 BC1 所成的角 为 60.10.已知点 E，F 分别在正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 BB1，CC 1 上，且B1E2EB，CF2FC 1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值为_.答案 23解析 方法一 延长 FE，CB 相交于点 G，连接 AG，如 图 所示.设正方体的棱
34、长为 3，则 GBBC3，作 BHAG 于点 H，连接 EH，则EHB 为所求锐二面角的平面角.BH ，EB1，322tanEHB .EBBH 23方法二 如图，以点 D 为坐标原点， DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空 间直角坐标系 Dxyz，设 DA1，由已知条件得 A(1，0，0)，E ，F ， ，(1，1，13) (0，1，23) AE (0，1，13) ，AF ( 1，1，23)设平面 AEF 的法向量为 n(x， y，z)，由Error! 得Error!令 y1，z 3，x 1，则 n( 1， 1，3)，取平面 ABC 的法向量为 m(0，0， 1)
35、，设平面 AEF 与平面 ABC 所成的 锐二面角为 ，则 cos |cos n，m| ，tan .31111 2311.(2018嘉兴基础测试)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA平面ABCD，PAAB2，E 为 CD 的中点，ABC60.(1)求证：AE平面 PAB；(2)求直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值.(1)证明 由题易知ADEABC60，ADCD，E 是 CD 的中点，AECD.又 ABCD，AE AB.PA平面 ABCD，PAAE，又 PAABA，AE平面 PAB.(2)解 方法一 连接 PE，过点 A 作 AHPE 于点 H(图略).CDEA
36、，CDPA，EA PAA，CD平面 PAE，CDAH.又 AHPE，CDPE E，CD，PE 平面 PCD，AH平面 PCD.AEP 为直线 AE 与平面 PCD 所成的角.在 Rt PAE 中， PA2，AE ，PE ，3 7sinAEP ，PAPE 27 277直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .277方法二 以 A 为坐标原点，AB，AE， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，E(0， ，0)，C(1， ，0)，D(1， ，0)，3 3 3 (0 ， ，0)， (1 ， ，2) ，
37、(2 ，0，0).AE 3 PC 3 DC 设平面 PCD 的法向量为 n( x，y，z)，则Error! 即Error!令 y1，则 n 为平面 PCD 的一个法向量，(0，1，32)设直线 AE 与平面 PCD 所成的角为 ，则 sin |cos ，n| .AE |AE n|AE |n| 277直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .27712.(2018浙江“七彩阳光”联盟联考) 如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 PDCE 为直角梯形，PDCE，PDC90，平面 ABCD平面 PDCE，且 PDAD2EC2.(1)若 PE 和 DC 的延长线交于点 F，求证：BF平面 P
38、AC；(2)若 Q 为 EC 边上的动点，求直线 BQ 与平面 PDB 所成角的正弦值的最小值.(1)证明 在梯形 PDCE 中，PD2EC，C 为 DF 的中点，CFCDAB，又 ABCF ，四边形 ABFC 为平行四边形，BFAC ，又 AC平面 PAC，BF平面 PAC，BF平面 PAC.(2)解 方法一 设点 Q 在平面 PBD 上的射影为 O，连接 OQ，OB(图略)，则QBO 为直线BQ 与平面 PDB 所成的角.ECPD，EC平面 PBD，EC平面 PBD.四边形 ABCD 为正方形，AC BD，又平面 ABCD平面 PDCE，平面 ABCD平面 PDCECD，PDDC，PD平面
39、 PDCE，PD平面 ABCD，PD AC，又BDPD D，AC平面 PBD，点 C 到平面 PBD 的距离为 .2EC平面 PBD，点 Q 到平面 PBD 的距离 OQ .2令 CQk(0 k1)，BQ ，k2 4sinQBO .OQBQ 2k2 4 212 4 105故直线 BQ 与平面 PDB 所成角的正弦值的最小值为 .105方法二 平面 ABCD平面 PDCE，平面 ABCD平面 PDCECD，PDDC，PD平面PDCE，PD平面 ABCD，PD DA .以 D 为坐标原点， ， ， 的方向为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立如 图所示的空间直角坐标DA DC DP 系 Dxyz
40、，易知 A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，平面 PDB 的一个法向量 为 (2，2，0)，设AC Q(0，2，t)(0t 1)， ( 2，0 ，t)，记直线 BQ 与平面 PDB 所成的角为 ，BQ sin .|BQ AC |BQ |AC | | 48t2 4| 212 4 105故直线 BQ 与平面 PDB 所成角的正弦值的最小值为 .10513.(2019金华模拟)已知点 P 是正方体 ABCDA1B1C1D1 表面上一动点，且满足 PA2PB，设 PD1 与平面 ABCD 所成的角为 ，则 的最大值为( )A. B. C. D.4 3 6 2答案 A解析 以 B 为坐
41、标原点，BC， BA，BB1 所在直线分别为 x 轴 ，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，P(x，y，z)，则 A(0，2，0)，因为 PA2PB，所以 2 ，x 02 y 22 z 02 x2 y2 z2即 x2 2z 2 ，所以点 P 的轨迹为以点 Q 为球心， 为半径的球与正方体(y 23) 169 (0， 23，0) 43表面的交线，即为如图的 、 、 ，要使得 PD1 与底面 ABCD 所成的角最大，则 PD1AEMGSFN与底面 ABCD 的交点 R 到点 D 的距离最短，从而点 P 在 上，且在 QD 上，则 DPDQAENF 2，从而 tan 的
42、最大值为 1，故 的最大值为 .43 103 43 414.(2018浙江名校联盟联考) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， BAC ，ABACAA 11，2已知 G 和 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中点，D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点) ，若 GDEF，则线段 DF 的长度的取值范围为_.答案 55，1)解析 如图，以 A 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标AB AC AA1 系 Axyz，则 E ，G ，令 D(0，b，0)，F(a，0，0)，0a1，0b1，(0，1，12) (12，0，1)则 ， ，DG (1
43、2， b，1) EF (a， 1， 12) ， 0，DG EF DG EF ab 0，即 a12b ，而 0a1，0b ，12 12 12DF ，a2 b2 1 2b2 b2 5b2 4b 15(b 25)2 15当 b 时，DF 取得最小值 ，又 0b ，25 55 12DF1，故 DF 的取值范围是 .55，1)15.如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABAD2，AA 1 ，点 P 为BDC 1 内一点(不2含边界)，则A 1PC1 不可能为( )A.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形答案 A解析 连接 AC 与 BD 交于点 O，连接 A1O，C1O，A1B，A1D，依题意得， ACBD，AA 1BD ，又 ACAA 1A， BD 平面 AA1C1C.BD A 1O，BDC 1O，故A 1OC1为二面角A1BDC 1 的平面角.易知 A1OC 1O2，A 1C12 ，由勾股定理的逆定理，知2A 1OC190，故平面 A1BD平面 C1BD.连接 PO，若 A 1PC1为直角，即 A1PPC 1，又A1OPC 1，A1PA 1OA 1，C 1P平面 POA1，则 C1P PO，此 时 P 在BDC 1 内的一段圆弧(该圆弧所在的圆的直径为 C1O)上，符合 题意；当 P 在 OC1 上时，A 1PC1为钝角三角形；当 P 无
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