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    浙江省20届高考数学一轮 第9章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

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    浙江省20届高考数学一轮 第9章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

    1、9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲 考情考向分析1.会解决直线与圆的位置关系的问题.2.会判断圆与圆的位置关系.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断;根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型以选择、填空题为主,要求相对较低.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系 .dr相离.(2)代数法: Error! 判 别 式 b2 4ac2.圆与圆的位置关系设圆 O1:(xa 1)2(yb 1)2 r (r10),21圆 O2:(xa 2)2(yb 2)2r (r20).2方法位置关系几何法:圆心距 d 与

    2、 r1,r 2 的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 dr1r 2 无解外切 d r1r 2 一组实数解相交 |r1r 2|2,点 A(3,5)在圆外.显然,当切线斜率不存在时,直线与3 12 5 22 13圆相切,即切线方程为 x30,当切 线斜率存在时,可 设 所求切线方程为 y5k (x3),即kxy 53k0.又圆心为(1, 2),半径 r2,而 圆心到切线的距离 d 2,|3 2k|k2 1即|3 2 k|2 ,k ,k2 1512故所求切线方程为 5x12y 450 或 x30.题型一 直线与圆的位置关系命题点 1 位置关系的判断例 1 在ABC 中,若 asin A

    3、bsin Bc sin C0,则圆 C:x 2y 21 与直线l:axbyc0 的位置关系是( )A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定答案 A解析 因为 asin Absin Bcsin C0,所以由正弦定理得 a2b 2c 20.故圆心 C(0,0)到直线 l:axbyc0 的距离 d 1r,故圆 C:x2y 21 与直线|c|a2 b2l:axbyc0 相切,故选 A.命题点 2 弦长问题例 2 若 a2b 22c 2(c0),则直线 axbyc0 被圆 x2y 21 所截得的弦长为( )A. B.1 C. D.12 22 2答案 D解析 因为圆心(0,0)到直线 axbyc0 的距离

    4、 d ,因此根据直角三|c|a2 b2 |c|2|c| 22角形的关系,弦长的一半就等于 ,所以弦 长为 .12 ( 22)2 22 2命题点 3 切线问题例 3 已知圆 C:(x1) 2(y2) 210,求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线 l1:xy 40 平行;(2)与直线 l2:x2y 40 垂直;(3)过切点 A(4,1).解 (1)设切线方程为 xyb0,则 ,b12 ,|1 2 b|2 10 5切线方程为 xy 12 0.5(2)设切线方程为 2xym0,则 ,m5 ,|2 2 m|5 10 2切线方程为 2xy 5 0.2(3)k AC , 2 11 4 13过切点 A(

    5、4,1) 的切线斜率为3,过切点 A(4,1) 的切线方程为 y13(x4) ,即 3xy110.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法几何法:利用 d 与 r 的关系.代数法:联立方程之后利用 判断.点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.跟踪训练 1 (1)(2018浙江名校联盟联考) 已知直线 l:yaxb(a0),圆C:x

    6、2 y22x0,且 a2b 212ab,则直线 l 与圆 C 的位置关系是( )A.相离 B.不确定C.相切 D.相交答案 D解析 联立直线 l 的方程与圆 的方程可得Error!(a21)x 2(2ab2)xb 20,48ab4b 2.12aba 2b 2,4a 20.故直线 l 与圆 C 相交.(2)(2018浙江省台州市适应性考试) 在直线 l:ykx1 截圆 C:x 2y 22x30 所得的弦中,最短弦的长度为_.答案 2 2解析 直线 l 是直线系,过定点(0,1),定点 (0,1)在圆 C 内,要使直线 l:ykx 1 截圆C:(x1) 2y 24 所得的弦最短,必 须使圆心(1

    7、,0)和定点 (0,1)的连线与弦所在直线垂直,此时定点和圆心的连线,圆心和弦的一个端点的 连线与弦的一半 围成一个直角三角形,因 为圆心与定点之间的距离为 ,半径为 2,所以最短弦的长度为0 12 1 02 22 2 .22 22 2(3)过点 P(2,4)引圆(x1) 2( y1) 21 的切线,则切线方程为 _.答案 x2 或 4x3y 40解析 当直线的斜率不存在时,直 线方程为 x2,此 时, 圆 心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线 方程为 y4k(x2) ,即 kxy42k0,直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即 d 1,解得 k ,|

    8、k 1 4 2k|k2 12 |3 k|k2 1 43所求切线方程为 xy 42 0,43 43即 4x3y40.综上,切线方程为 x2 或 4x3y40.题型二 圆与圆的位置关系命题点 1 位置关系的判断例 4 分别求当实数 k 为何值时,两圆C1:x 2 y24x6y 120,C 2:x 2y 22x14y k0 相交和相切.解 将两圆的一般方程化为标准方程,得C1:(x2) 2( y3) 21,C 2:(x1) 2( y7) 250k,则圆 C1 的圆心为 C1(2,3),半径 r11;圆 C2 的圆心为 C2(1,7),半径 r2 ,k0)截直线 xy 0 所得线段的长度是 2 ,则2

    9、圆 M 与圆 N:(x1) 2(y 1) 21 的位置关系是( )A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案 B解析 圆 M:x2(y a) 2a 2(a0),圆心坐标为 M(0,a),半径 r1为 a,圆心 M 到直线 xy0 的距离 d ,|a|2由几何知识得 2( )2a 2,解得 a2.(|a|2) 2M(0,2) ,r1 2.又圆 N 的圆心坐标 N(1,1),半径 r21,|MN | ,1 02 1 22 2r1r 23,r 1r 21.r 1r 211, 两圆外离,故选 A.2 02 2 02 24.(2018金华模拟)过点 P(1,2)作圆 C:(x1) 2y 21 的两条切线

    10、,切点分别为 A,B,则 AB 所在直线的方程为( )A.y B.y34 12C.y D.y32 14答案 B解析 圆(x1) 2y 21 的圆心为(1 ,0),半径为 1,以 |PC| 2 为直径1 12 2 02的圆的方程为(x1) 2(y 1) 21,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10,即y .125.(2019台州调研)若点 A(1,0)和点 B(4,0)到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条答案 C解析 如图,分别以 A,B 为圆心, 1,2 为半径作圆. 由题意得,直线 l 是圆 A 的切线, A

    11、到 l 的距离为 1,直线 l 也是圆 B 的切线, B 到 l 的距离为2,所以直线 l 是两圆的公切线,共 3 条(2 条外公切线, 1 条内公切线).6.直线 x2ym0(m0)与O :x 2y 25 交于 A,B 两点,若 | |2| |,则 m 的取OA OB AB 值范围是( )A.( ,2 ) B.(2 ,5) C.( ,5) D.(2, )5 5 5 5 5答案 B解析 直线 x2y m0 与O:x 2y 25 交于相异两点 A,B,O 点到直线 x2ym0 的距离 d2| |,2d2| |,OA OB AB AB 即 d| |2 ,解得 d2.又 d0,解得 m(2 ,5).

    12、5|m|5 5 57.(2018浙江省杭州市七校联考) 过 F(1,0)作直线 l 与圆(x 4) 2y 24 交于 A,B 两点,若|AB|2 ,则圆心到直线 l 的距离为_,直线 l 的方程为_.3答案 1 y (x1)24解析 易知直线 l 的斜率存在,故可设直线 l:yk(x1) ,得圆心(4,0)到直线 l 的距离 d,又由圆的弦、半径、弦心距三者间的关系得 d 1,得 1,即|k4 1|k2 1 4 32 |k4 1|k2 1k ,故直线 l 的方程为 y (x1).24 248.(2018宁波模拟)已知直线 l:mxy1.若直线 l 与直线 xmy10 平行,则 m 的值为_;动

    13、直线 l 被圆 x22xy 2240 截得的弦长的最小值为_.答案 1 2 23解析 由直线 mxy1 与直线 xmy10 平行得 m210,且 ,解得 m1.圆m1 1 1x22xy 224 0 化为标准方程 为( x1) 2y 225,直线 mxy1 过定点(0 , 1),因为点(0,1)在圆(x1) 2y 225 内,则当直线 l 垂直于点(0,1)与圆心(1,0)连线所在的直线时,直线被圆截得的弦长最短,此时圆心到直线 mxy1 的距离即为点(0,1)与圆心(1,0)连线的 长度,即为 ,则直线被圆截得的弦 长的最小值为12 12 22 2 .25 22 239.已知圆 E:x 2y

    14、22x0,若 A 为直线 l:x ym 0 上的点,过点 A 可作两条直线与圆E 分别切于点 B,C,且ABC 为等边三角形,则实数 m 的取值范围是_.答案 2 1,2 12 2解析 设圆 E 的圆心为 E,半径为 r,圆 E:x2y 22x0,即(x1) 2y 21, 则圆心E(1,0),半径 r 为 1,由题意知直线 l 上存在点 A,使得 sin 30 ,即 |AE|2r.r|AE| 12又因为|AE|d(d 为圆心到直 线 l 的距离),故要使点 A 存在,只需 d2r2,可得 2,|1 m|2解得 m2 1,2 1.2 210.已知圆 C1:x 2y 22aya 240 和圆 C2

    15、:x 2y 22bx1b 20 外切,若aR,bR 且 ab0,则 的最小值为_.1a2 1b2答案 49解析 x 2y 22ay a 24 0,即 x2(ya) 24,x 2y 22bx1b 20,即(xb )2y 2 1.依题意可得 213,即 a2b 29,故 1.a2 b2a2 b29所以 ,1a2 1b2 (1a2 1b2)a2 b29 19(1 b2a2 a2b2 1) 19(2 2 b2a2a2b2) 49当且仅当 ab 时取等号.11.已知圆 C:x 2y 22x4y10,O 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外,过 P 作圆 C 的切线,设切点为 M.(1)若点 P 运动到(1

    16、,3)处,求此时切线 l 的方程;(2)求满足条件| PM|PO|的点 P 的轨迹方程.解 把圆 C 的方程化为标准方程 为(x1) 2( y2) 24,圆心为 C(1,2),半径 r 2.(1)当 l 的斜率不存在时,此时 l 的方程为 x1,C 到 l 的距离 d2r,满足条件.当 l 的斜率存在时,设斜率为 k,得 l 的方程为 y3k(x1),即 kxy3k0,则 2,解得 k .| k 2 3 k|1 k2 34l 的方程为 y3 (x1),34即 3x4y150.综上,满足条件的切线 l 的方程为 x1 或 3x4y 150.(2)设 P(x,y),则|PM| 2| PC|2 |M

    17、C|2(x1) 2( y2) 24,|PO|2x 2y 2,|PM| |PO|,(x1) 2(y 2)24x 2y 2,整理,得 2x4 y10,点 P 的轨迹方程为 2x4y10.12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M:x 2y 212x14y600 及其上一点 A(2, 4).(1)设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x6 上,求圆 N 的标准方程;(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B,C 两点,且|BC| OA|,求直线 l 的方程;(3)设点 T(t, 0)满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 ,求实数

    18、t 的取值范围.TA TP TQ 解 (1)圆 M 的方程化 为标准形式 为(x6) 2( y7) 225,圆心 M(6,7),半径 r5,由题意,设圆 N 的方程为(x 6) 2(yb) 2b 2(b0).且 b5.6 62 b 72解得 b1,圆 N 的标准方程为( x6) 2(y1) 21.(2)k OA2,可设 l 的方程为 y2xm ,即 2xym 0.又|BC | |OA| 2 .22 42 5由题意,圆 M 的圆心 M(6,7)到直线 l 的距离为 d 2 .52 (|BC|2)2 25 5 5即 2 ,解得 m5 或 m15.|26 7 m|22 12 5直线 l 的方程为 y

    19、2x5 或 y2x15.(3)由 ,则四边形 AQPT 为平行四边形,TA TP TQ 又P,Q 为圆 M 上的两点,|PQ|2r10.|TA| | PQ| 10,即 10,t 22 42解得 22 t22 .21 21故所求 t 的取值范围为22 ,22 .21 2113.已知直线 l:(m2)x (m 1)y44m0 上总存在点 M,使得过 M 点作的圆C:x 2 y22x4y 30 的两条切线互相垂直,则实数 m 的取值范围是( )A.m1 或 m2 B.2m8C.2m10 D.m2 或 m8答案 C解析 如图,设切点分别为 A,B.连接 AC,BC,MC,由AMB MACMBC90及|

    20、MA| |MB| 知,四边形 MACB 为正方形,故|MC| 2,若直线 l 上总存在点 M 使得过点 M 的两条切线互相垂直,只需 圆心( 1, 2)到2 2直线 l 的距离 d 2,即 m28m200,2m10,故选 C.| m 2 2m 2 4 4m|m 22 m 1214.若O:x 2y 25 与O 1:( xm )2y 220( mR )相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长是_.答案 4解析 O 1 与O 在 A 处的切线互相垂直,如 图,可知两切线分别过另一圆的圆心,O 1AOA .又|OA| ,|O1A|2 ,| OO1|5.5 5又 A,B

    21、 关于 OO1 所在直线对 称,AB 长为 RtOAO 1 斜边上的高的 2 倍,|AB| 2 4.525515.已知圆 O:x 2y 29,点 P 为直线 x2y 90 上一动点,过点 P 向圆 O 引两条切线PA,PB,A,B 为切点,则直线 AB 过定点( )A. B.(49,89) (29,49)C.(1,2) D.(9,0)答案 C解析 因为 P 是直线 x2y 90 上的任一点,所以设 P(92m ,m),因为 PA,PB 为圆x2y 29 的两条切线,切点分别为 A,B,所以 OAPA,OBPB,则点 A,B 在以 OP 为直径的圆(记为圆 C)上,即 AB 是圆 O 和圆 C

    22、的公共弦,易知圆 C 的方程是 2 2 ,(x 9 2m2 ) (y m2) 9 2m2 m24又 x2y 29,得,(2m9)x my90,即公共弦 AB 所在直线的方程是(2m9) xmy90,即m(2xy) (9x9)0,由Error!得 x1,y2.所以直线 AB 恒过定点(1 ,2),故选 C.16.已知抛物线 C:y 24x 的焦点为 F,过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A,B,以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P,Q ,使得以 PQ 为直径的圆过点 D ,求实数 t( 32,t)的取值范围.解 由题意可得直线 AB 的方程为 xy 1,与 y24x 联立

    23、消去 x,可得 y24y40,显然16 160,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y 24,y 1y2 4,设 E(xE,yE),则yE 2,x Ey E13 ,又 |AB|x 1x 22y 11y 2128,所以圆 E 是以(3,2)y1 y22为圆心,4 为半径的圆,所以点 D 恒在圆 E 外.圆 E 上存在点 P,Q,使得以 PQ 为直径的圆过点 D ,即圆 E 上存在点 P,Q,使得 DPDQ, 设过 D 点的两直线分别切圆 E 于( 32,t)P,Q点,要满足题意,则PDQ ,所以 ,整理得2 |EP |DE|4(3 32)2 (2 t)2 22t24t 0,解得 2 t2 ,故实数 t 的取值范围为 .314 472 472 2 472,2 472


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