1、9.2 两条直线的位置关系最新考纲 考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、抛物线交汇考查.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线 l1，l 2，若其斜率分别为 k1，k 2，则有 l1l 2k 1k 2.()当直线 l1， l2 不重合且斜率都不存在时，l 1l 2.两条直线垂直：()如果两条直
2、线 l1，l 2 的斜率存在，设为 k1，k 2，则有 l1l 2k 1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l 1l 2.(2)两条直线的交点直线 l1：A 1xB 1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组Error!的解.2.几种距离(1)两点 P1(x1， y1)，P 2(x2，y 2)之间的距离| P1P2| .x2 x12 y2 y12(2)点 P0(x0，y 0)到直线 l：AxBy C0 的距离 d .|Ax0 By0 C|A2 B2(3)两条平行线 AxByC 10 与 AxByC 20( 其中 C1C
3、 2)间的距离 d .|C1 C2|A2 B2概念方法微思考1.若两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线 l1 与 l2 的斜率都存在时， 1；当两条直线中一条直线的斜率为2lk0，另一条直线的斜率不存在时，l 1 与 l2 也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示 (1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中 x，y 的系数分别对应相等.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1k 2l 1l 2.(
4、)(2)已知直线 l1：A 1xB 1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2 为常数)，若直线 l1l 2，则 A1A2B 1B20.( )(3)点 P(x0，y 0)到直线 ykx b 的距离为 .( )|kx0 b|1 k2(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )(5)若点 A，B 关于直线 l：y kxb( k0)对称，则直线 AB 的斜率等于 ，且线段 AB 的中1k点在直线 l 上.( )题组二 教材改编2.P110B 组 T2已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于(
5、)A. B.2 C. 1 D. 12 2 2 2答案 C解析 由题意得 1.|a 2 3|1 1解得 a1 或 a1 .a0，a1 .2 2 23.P101A 组 T10已知 P(2， m)，Q (m，4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则m_.答案 1解析 由题意知 1，所以 m42m ，m 4 2 m所以 m1.4.P110B 组 T1若三条直线 y2x，x y3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_.答案 9解析 由Error!得Error!所以点(1，2) 满 足方程 mx2 y50，即 m12250，所以 m9.题组三 易错自纠5.直线 2x(m 1)y40 与直线 m
6、x3y20 平行，则 m 等于( )A.2 B.3C.2 或3 D.2 或3答案 C解析 直线 2x( m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有 ，2m m 13 4 2故 m2 或3.故选 C.6.直线 2x2y10，x y20 之间的距离是_.答案 324解析 先将 2x2y 10 化为 xy 0，12则两平行线间的距离为 d .|2 12|2 3247.若直线(3a2)x (14a)y80 与(5a2) x(a4)y70 垂直，则 a_.答案 0 或 1解析 由两直线垂直的充要条件，得 (3a2)(5a2) (14a)(a4) 0，解得 a0 或 a1.题型一 两条直线的平行与垂直
7、例 1 已知直线 l1：ax 2y60 和直线 l2：x ( a1)y a210.(1)试判断 l1 与 l2 是否平行；(2)当 l1l 2 时，求 a 的值.解 (1)方法一 当 a1 时，l 1：x2y60，l2：x0，l 1 不平行于 l2；当 a0 时，l 1：y3，l2：xy10，l 1 不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化 为 l1：y x3，a2l2：y x(a1)，11 al1l 2Error! 解得 a1，综上可知，当 a1 时，l 1l 2，a1 时， l1 与 l2 不平行.方法二 由 A1B2A 2B10，得 a(a1)120，由 A1C2A 2C10，
8、得 a(a21)160，l 1l 2Error!Error! 可得 a1，故当 a1 时，l 1l 2.(2)方法一 当 a1 时， l1：x2y60， l2：x0，l1 与 l2 不垂直，故 a1 不成立；当 a0 时，l 1：y3，l 2：xy 10，l 1 不垂直于 l2，故 a0 不成立；当 a1 且 a0 时，l1：y x3，l 2：y x (a1)，a2 11 a由 1，得 a .( a2) 11 a 23方法二 由 A1A2B 1B20，得 a2( a1)0，可得 a .23思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不 仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情
9、况.同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直 时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练 1 (1)(2012浙江)设 aR ，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线l2：x(a1)y40 平行”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 l1 与 l2 平行，则 a(a1)210，且 ，即 a2 或 a1，a1 14所以 a1 是直线 l1 与直线 l2 平行的充分不必要条件.(2)已知两条直线 l1：ax by 40 和 l2：(a1) xyb0，求满足下列条件
10、的 a，b 的值.l 1l 2，且直线 l1 过点(3，1)；l 1l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.解 l 1l 2，a(a1)b0，又直线 l1过点(3，1)，3ab40.故 a2，b2.直线 l2 的斜率存在，l 1l 2，直线 l1 的斜率存在.k 1k 2，即 1a.ab又坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1，l2 在 y 轴上的截距互 为相反数，即 b.4b故 a2，b2 或 a ，b2.23题型二 两直线的交点与距离问题1.若直线 l 与两直线 y1，xy70 分别交于 M，N 两点，且 MN 的中点是 P(1，1) ，则直线 l 的斜率是( )A. B.23 23C.
11、 D.32 32答案 A解析 由题意，设直线 l 的方程为 yk(x1)1，分别与 y1，xy70 联立解得 M，N .又因为 MN 的中点是 P(1，1)，(2k 1，1) (k 6k 1， 6k 1k 1 )所以由中点坐标公式得 k .232.若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y 50 上任意一点，则| PQ|的最小值为( )A. B.95 185C. D.2910 295答案 C解析 因为 ，所以两直 线平行，将直 线 3x4y120 化为 6x8y240，由题36 48 125意可知|PQ|的最小 值为这两条平行直 线间的距离，即 ，所以 |PQ|的最小值为 .| 24
12、 5|62 82 2910 29103.已知直线 ykx2k 1 与直线 y x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是12_.答案 ( 16，12)解析 方法一 由方程组Error!解得Error! (若 2k 1 0，即 k 12，则 两 直 线 平 行 )交点坐标为 .(2 4k2k 1，6k 12k 1)又交点位于第一象限，Error!解得 0)；l 2：4x2y10；l 3：xy10，且 l1 与 l2 间的距离是 .7510(1)求 a 的值；(2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件：点 P 在第一象限；点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ；1
13、2点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 .若能，求点 P 的坐标；若不能，请说明2 5理由.解 (1)直线 l2：2xy 0，所以两条平行线 l1 与 l2间的距离为 d ，12 |a (12)|22 12 7510所以 ，即 ，|a 12|5 7510 |a 12| 72又 a0，解得 a3.(2)假设存在点 P，设点 P(x0，y0).若 P 点满足条件，则 P 点在与 l1，l2 平行的直线 l：2xyc0 上，且 ，即 c 或 ，|c 3|5 12 |c 12|5 132 116所以 2x0y 0 0 或 2x0 y0 0；132 116若 P 点满足条件，由点到直
14、线的距离公式，有 ，|2x0 y0 3|5 25 |x0 y0 1|2即|2 x0y 03| |x 0y 01|，所以 x02y 040 或 3x02 0；由于点 P 在第一象限，所以 3x020 不可能.联立方程 2x0y 0 0 和 x02y 040，132解得Error! (舍去)联立方程 2x0y 0 0 和 x02y 040，116解得Error!所以存在点 P 同时满足三个条件.(19，3718)13.已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点 C 的坐标为( )A.(2， 4) B.(2，4)C.(2，4) D.(
15、2，4)答案 C解析 设 A( 4，2)关于直线 y2x 的对称点为(x， y)，则Error!解得Error!BC 所在直线方程为 y1 (x3) ， 2 14 3即 3xy100.同理可得点 B(3，1)关于直线 y2x 的对称点为(1，3)，AC 所在直线方程为 y2 (x4)，3 2 1 4即 x3y100.联立Error! 解得Error!则 C(2，4).故选 C.14.若三条直线 y2x ，x y3，mxny50 相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A. B. C.2 D.25 6 3 5答案 A解析 联立Error!解得 x1，y2.把(1，2)代入 mx
16、ny 50 可得，m2n50.m52n.点(m，n) 到原点的距离 d ，m2 n2 5 2n2 n2 5n 22 5 5当 n2，m1 时取等号.点(m，n) 到原点的距离的最小值为 .515.数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点 A(1，0)，B(0，2)，且 ACBC，则ABC 的欧拉线的方程为 ( )A.4x2y30 B.2x4y30C.x2y 30 D.2xy30答案 B解析 因为 ACBC，所以欧拉线为 AB 的中垂线，又 A(1，0)，B(0，2
17、)，故 AB 的中点 为 ，kAB2，(12，1)故 AB 的中垂线方程为 y1 ，12(x 12)即 2x4y30.16.在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1.再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，又与直线 l 重合.若直线 l 与直线 l1 关于点(2 ，4)对称，求直线 l 的方程.解 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykxb，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1：yk (x3)5b，将直线 l1 沿 x 轴 正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，则平移后的直线方程为 yk (x31)b52，即 ykx34k b，b34kb，解得 k ，34直线 l 的方程为 y xb，34直线 l1为 y x b，取直 线 l 上的一点 P ，34 114 (m，b 3m4)则点 P 关于点(2，4) 的对称点为 ，(4 m，8 b 3m4)8b (4m)b ，3m4 34 114解得 b .98直线 l 的方程是 y x ，34 98即 6x8y90.
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