1、第 2 课时 平面向量的综合应用题型一 平面向量与数列例 1 (2018浙江名校协作体考试) 设数列x n的各项都为正数且 x11.ABC 内的点 Pn(nN *)均满足P nAB 与 P nAC 的面积比为 21，若 xn1 (2x n1) 0，则 x4 的值PnA 12 PnB PnC 为( )A15 B17 C29 D31答案 A解析 因为 xn1 (2xn1) 0，所以 (2x n1) xn1 ，如图，PnA 12 PnB PnC PnA PnC 12 PnB 设(2x n 1) ，以 PnA 和 PnD 为邻边作平行四边形 PnDEA，所以PnC PnD xn1 ，所以 ，所以 ，又
2、 PnA PnD PnE 12 PnB |PnE |PnB | xn 12 nPEABSxn 12|PnC |PnD | 12xn 1，所以 ，所以 ，所以 xn1 2x n1，又|PnC |AE | nnPACDES 12xn 1 nPACBSxn 14xn 2 12x11，所以 x23，x 37，x 4 15，故 选 A.思维升华 向量与其他知识的结合，多体 现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化， “脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可跟踪训练 1 (1)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a 1 a 2 018 ，且 A，B，COB OA OC 三点共线(该
3、直线不过点 O)，则 S2 018 等于( )A1 009 B1 008C2 017 D2 018答案 A解析 因为 a 1 a 2 018 ，且 A，B，C 三点共线，OB OA OC a1a 2 0181，又数列a n是等差数列，S2 018 1 009.a1 a2 0182 0182(2)(2018浙江新高考预测)角 A，B，C 为ABC 的三个内角，向量 m 满足|m| ，且 m62，当角 A 最大时，动点 P 使得| |，| |，| |成等差数列，则 的(2sin B C2 ，cos B C2 ) PB BC PC |PA |BC |最大值是_答案 233解析 设 BC2a，BC 的
4、中点为 D.由题意得|m| 2 2 2(2sin B C2 ) (cos B C2 )1cos(BC) 1cos(BC )12 cos Bcos C sin Bsin C ，32 12 32 32则 cos Bcos C sin Bsin C，化简得 tan Btan C ，12 32 13则 tan Atan(BC)tan B tan C1 tan Btan C (tan Btan C) 2 ，32 32 tan Btan C 3当且仅当 tan Btan C 时，等号成立，33所以当角 A 最大时，A ，BC ，23 6则易得 AD .3a3因为| |，| |，| |成等差数列，PB BC
5、 PC 所以 2| | | |，则点 P 在以 B，C 为焦点，以 2| |4a 为长轴的椭圆上，由 图( 图略)BC PB PC BC 易得当点 P 为椭圆的与点 A 在直线 BC 的异侧的顶点时，| |取得最大值，此时| |PA PD a，2a2 a2 3则| | | | | ，PA PD AD 43a3所以 .|PA |BC |43a32a 233题型二 和向量有关的最值问题命题点 1 与平面向量基本定理有关的最值问题例 2 (1)(2018浙江镇海中学测试) 已知ABC 内接于圆 O，且 A60，若x y (x，yR)，则 x2y 的最大值是( )AO AB AC A. B1 C. D
6、223 12 223答案 D解析 设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.由 x y ，AO AB AC 得 x 2y ，AO AB AB AC AB x y 2，AC AO AC AB AC 所以Error!解得Error!所以 x2y2 2 213(bc 2cb) 13 22 (当且仅当 b c 时取等号) ，223 2故选 D.(2)(2018温州模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，M，N 分别为线段 BC，CD 上的点，且满足 1，若 x y ，则 x y 的最小值为_1CM2 1CN2 AC AM AN 答案 54解析 连接 MN 交 AC 于点
7、G.由勾股定理，知 MN2CM 2 CN2，所以 1 ，即 MNCMCM，1CM2 1CN2 MN2CM2CN2所以 C 到直线 MN 的距离为定 值 1，此 时 MN 是以 C 为圆心，1 为半径的圆的一条切线(如图所示)，x y ( xy) .AC AM AN ( xx yAM yx yAN )由向量共线定理知， (xy) ，AC AG 所以 xy ，|AC |AG |5|AG |又因为| |max514，所以 xy 的最小值为 .AG 54命题点 2 与数量积有关的最值问题例 3 (1)(2017浙江)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBC AD2，CD3，AC 与 BD 交于
8、点 O，记 I1 ，I 2 OA OB OB ，I 3 ，则( )OC OC OD AI 1I 2I 3 BI 1I 3I 2CI 3I 1I 2 DI 2I 1I 3答案 C解析 I 1I 2 OA OB OB OC ( ) ，OB OA OC OB CA 又 与 所成角为钝角，I 1I 20，即 I1I 2.OB CA I 1I 3 OA OB OC OD | | |cosAOB | | |cosCODOA OB OC OD cosAOB(| | | | |)，OA OB OC OD 又AOB 为钝角，OA OC ，OBOD，I 1I 30，即 I1I 3.I 3I 1I 2，故选 C.(
9、2)(2018绍兴市柯桥区质检)已知向量 a，b，c 满足| b|c|2|a| 1，则( ca)( cb)的最大值是_，最小值是_答案 3 18解析 由题意得|a| ，|b| c|1，则(ca)(c b) | c|2cbcaa b| c|2 (abc )12 122 (|a|2|b| 2| c|2) (abc) 2，则当向量a，b，c 同向共线时，(ca)(cb)取12 18 12得最大值 23，当abc0 时，(ca)(cb)取得最小值 .18 12(12 1 1) 18命题点 3 与模有关的最值问题例 4 (1)(2018浙江金华一中考试)已知 ， ， 是空间两两垂直的单位向量，OA OB
10、 OC x y z ，且 x2y 4z 1，则| |的最小值为_OP OA OB OC OP OA OB 答案 22121解析 方法一 由题意可设 (1,0,0) ， (0,1,0)， (0,0,1)由 x2y4z1，得OA OB OC x12y4z.由 x y z (x， y，z)，OP OA OB OC 则| |OP OA OB x 12 y 12 z2 2y 4z2 y 12 z2 5y2 17z2 16yz 2y 1 (17z 817y)2 ( 2117y 1721)2 421 421 ，22121(当 且 仅 当 y 1721，z 821时 等 号 成 立 )所以| |的最小值为 .
11、OP OA OB 22121方法二 由方法一得| | ，又 x2y4z1 表示一个平面，OP OA OB x 12 y 12 z2所以| | 的最小值 d 为定点(1,1,0)到平面 x2y4z1 的OP OA OB x 12 y 12 z2距离，即 d .|11 21 40 1|12 22 42 22121(2)(2018浙江学军中学模拟)已知平面向量 a，b，c 满足| a|3，| b| c|5,05 x2 2x25 x2 102 1020，当 2| b|C|b| ab|答案 A解析 设向量 a，b 的夹角为 ，则由| ab|2ab| ，得 (ab) 2(2ab) 2，即 |a|22| a
12、|b|cos |b| 24|a| 24|a|b|cos | b|2，化简得|a| 2|b|cos .因为向量 a，b 不共线，所以 cos (0,1)，所以|a|a b|，此时，|ab| 2|a|2|b| 2；当 a，b 夹角为钝 角时，|ab|a|2| b|2；当 ab 时，| ab| 2|ab| 2|a| 2| b|2，故选 D.5(2018台州市三区三校适应性考试) 已知 a，b 为单位向量，且ab，|ca| | c2b| ，则| c2a|c b|的最小值是( )5A5 B. C. D.5355 95答案 B解析 在平面直角坐标系 xOy 中，不妨令 a(1,0)，b(0,1)，设 c(
13、x，y)，则OC |c a|c2b| ，易知 C(x，y)的轨迹为线段x 12 y2 x2 y 22 52xy20(0x 1)，| c2a| cb| ，所以 问题转化为求点x 22 y2 x2 y 12(2,0)，(0,1)与线段上点的距离之和的最小值，易知最小值为点(2,0) 与点(0,1)之间的距离，为 .56.如图，在扇形 OAB 中，AOB ，C 为弧 AB 上与 A，B 不重合的一个动点，且 x3 OC y ，若 ux y( 0)存在最大值，则 的取值范围为 ( )OA OB A(1,3) B.(13，3)C. D.(12，1) (12，2)答案 D解析 设BOC，则AOC ，3因为
14、 x y ，OC OA OB 所以Error!即Error!解得 x cos cos sin ，23 43 (3 ) 233ycos sin ，33所以 u sin 233 (cos 33sin ) sin cos (233 33) sin()，(233 33)2 2其中 tan ，233 33因为 0 ，3 6所以 ，233 33 33整理得 0，解得 0)，CO (CA 2 CB 6)m n ，m，nR ，且 n ，则| |的取值范围是 _OC OA OB 14 120 OC 答案 34，334解析 以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐 标系不妨假设 A 在 x 轴上
15、方，则 B(6,0)，A(1， )3由 可得直线 CO 的方程为 y x.CO (CA 2 CB 6) 33设 O ，其中 x0.(x，33x)由 m n ，得OC OA OB ( x， 33x)m n ，(1 x，3 33x) (6 x， 33x)所以Error!解得 n .x4x 9由 n ，14 120可得 x ，38 98所以| | x .OC 233 34，33413如图所示，已知点 D 为 ABC 的边 BC 上一点， 3 ，E n(nN *)为边 AC 上的一BD DC 系列点，满足 an1 (3a n2) ，其中实数列 an中，a n0，a 11，则数列EnA 14 EnB E
16、nD an的通项公式为 an_.答案 23 n1 1解析 因为 3 ，BD DC 所以 EnC EnB BC EnB 43BD ( )EnB 43BEn EnD .13EnB 43EnD 设 m ，EnC EnA 则由 an1 (3a n2) ，EnA 14 EnB EnD 得 0，(14an 1 13m)EnB (43m 3an 2)EnD 即 m an1 ， m(3a n2)，13 14 43所以 an1 (3an2)，14 14所以 an1 13(a n1)因为 a112，所以数列a n1是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列，所以 an123 n1 ，所以 an23 n1 1.14(
17、2018浙江重点中学考试) 已知在ABC 中，ACAB，AB3，AC4.若点 P 在ABC的内切圆上运动，则 ( )的最小值为_PA PB PC 答案 2解析 因为 ACAB，所以以 A 为坐标原点，以 AB，AC 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则 A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)由题意可知ABC 内切圆的圆心为 D(1,1)，半径为 1.因为点 P 在ABC 的内切圆上运动，所以可设 P(1 cos ，1sin )(02)所以 (1cos ，1sin )， PA PB PC (12cos ，22sin )，所以 ( )PA PB PC (1cos )(
18、12cos )( 1sin )(22sin )1cos 2cos 222sin 21cos 112，当 cos 1，即 P(0,1)时， ( )取到最小值，且最小值为2.PA PB PC 15(2018浙江杭州二中考试) 如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点) 上的任意一点，则 的取值AP BP 范围是_若向量 ，则 的最小值为_AC DE AP 答案 0,1 12解析 以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则易得 A(0,0)，B(1,0)，C(1
19、,1)，D(0,1)，E ，P(cos ，sin ) ，则 (cos (12，0) (0 2) AP BP ，sin )(cos 1，sin )cos 2cos sin 21cos ，又因为 0 ，2所以 1cos 0,1AP BP 由 ，AC DE AP 得(1,1) (cos ，sin )(12， 1) ，(12 cos ， sin )所以Error! 解得Error!则 2sin 2cos 2cos sin 32cos sin ，2sin 2cos 32cos sin 当 时， 5，2 2sin 2cos 32cos sin 当 时， 2 2sin 2cos 32cos sin ，2ta
20、n 2 3tan2 12 tan 设 f(x) (x0)，2x 2 3x2 12 x则 f(x )(2 3xx2 1)2 x 2x 2 3x2 12 x2 0(x0)，6x2 1 6x 32 x2x2 1所以函数 f(x) 在0，)上单调递增；2x 2 3x2 12 x则当 tan 0 时， 取得最小值 .综上所述， 的最小值为 .2tan 2 3tan2 12 tan 12 1216已知非零向量 a，b，c 满足| a|b| 2a b1，且 ac 和 bc 的夹角为 ，则23(ac)(bc)的最小值是_答案 12解析 由题可知，单位向量 a 和 b 的夹角为 ，23又 ac 和 bc 的夹角
21、为 ，23所以点 C 的轨迹是以 O 为圆心， 1 为半径的圆的劣弧 和劣弧 关于直线 AB 对称的弧，AB即过点 A，O，B 的弧( 如图)以 O 为坐标原点，垂直于 AB 的直线为 x 轴(向右为正方向 )，建立平面直角坐标系(图略)，则A ，B .(12， 32) (12，32)当点 C 在劣弧 上时，A设 C(cos ，sin ) ，(其 中 33)则有 ac ，(cos 12，sin 32)bc ，(cos 12，sin 32)所以(ac)( bc ) (cos 12)(cos 12) (sin 32)(sin 32) cos .12 (1，32当点 C 在过点 A，O，B 的弧上时，设 C(1cos ，sin ) ，(其 中 2343)则有 ac ，(cos 32，sin 32)bc ，(cos 32，sin 32)所以(ac)( bc ) (cos 32)(cos 32) (sin 32)(sin 32) 3cos ，52 12，1)当且仅当 时，取最小值 .12故(ac )(bc)的最小值为 .12
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