1、8.5 直线、平面垂直的判定与性质最新考纲 考情考向分析1.理解空间线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理.2.理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1.直线与平面垂直(1)定义如果直线 l 与平面 内的任意一条 直线都垂直，则直线 l 与平面 互相垂直，记作 l，直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面.(2)判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与
2、一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 Error!ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0的角 .(2)范围： .0，23.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和
3、平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直Error!性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Error!l概念方法微思考1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示 垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成 90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个
4、平面.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示 垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )(3)直线 a，b，则 ab.( )(4)若 ，a ，则 a.( )(5)若直线 a平面 ，直线 b，则直线 a 与 b 垂直.( )(6)若平
5、面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( )题组二 教材改编2.P73T1下列命题中错误的是 ( )A.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面 平面 ，平面 平面 ，l ，那么 l平面 D.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他 选项均是正确的.3.P67 练习 T2在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.(1)若 PAP
6、BPC，则点 O 是ABC 的_心；(2)若 PAPB，PB PC，PCPA，则点 O 是ABC 的_ 心.答案 (1)外 (2) 垂解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，在 Rt POA，RtPOB 和 RtPOC 中， PAPC PB，所以 OAOB OC，即 O 为ABC 的外心.(2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于点 H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA， PB平面 PAB，PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，PCAB，ABPO ，POPCP，PO，PC平面 PGC，AB平面 PGC，又 CG平面 PGC，ABCG，即 CG
7、 为ABC 边 AB 上的高.同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为ABC 的垂心.题组三 易错自纠4.(2018台州模拟)若 l，m 为两条不同的直线， 为平面，且 l，则“m ”是“m l ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由 l 且 m 能推出 ml，充分性成立；若 l 且 ml，则 m 或者 m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选 A.5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O，M ， N 分别是线段 BD，DD 1，D 1C1 的中点，则直线 OM
8、 与 AC，MN 的位置关系是( )A.与 AC，MN 均垂直B.与 AC 垂直，与 MN 不垂直C.与 AC 不垂直，与 MN 垂直D.与 AC，MN 均不垂直答案 A解析 因为 DD1平面 ABCD，所以 ACDD 1，又因为 ACBD，DD 1BDD，所以 AC平面 BDD1B1，因为 OM平面 BDD1B1，所以 OMAC .设正方体的棱长为 2，则 OM ，MN ，1 2 3 1 1 2ON ，1 4 5所以 OM2MN 2ON 2，所以 OMMN.故选 A.6.如图所示，AB 是半圆 O 的直径， VA 垂直于半圆 O 所在的平面，点 C 是圆周上不同于A，B 的任意一点，M ，N
9、 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的是( )A.MNABB.平面 VAC平面 VBCC.MN 与 BC 所成的角为 45D.OC平面 VAC答案 B解析 由题意得 BCAC，因为 VA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 VABC.因为ACVAA，所以 BC平面 VAC.因为 BC平面 VBC，所以平面 VAC平面 VBC.故选 B.题型一 直线与平面垂直的判定与性质例 1 如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABACAA 13，BC 2，D 是 BC 的中点，F 是 CC1 上一点 .当 CF2 时，证明：B 1F平面 ADF.证明 因为 ABAC，D 是 BC 的中点
10、，所以 ADBC .在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，因为 BB1底面 ABC，AD底面 ABC，所以 ADB 1B.因为 BCB 1B B，BC，B1B平面 B1BCC1，所以 AD平面 B1BCC1.因为 B1F平面 B1BCC1，所以 ADB 1F.方法一 在矩形 B1BCC1 中，因为 C1FCD1，B 1C1CF2，所以 RtDCF Rt FC 1B1，所以CFDC 1B1F，所以B 1FD 90，所以 B1F FD.因为 ADFD D，AD ，FD平面 ADF，所以 B1F平面 ADF.方法二 在 RtB 1BD 中，BDCD1， BB13，所以 B1D .BD2 BB21 1
11、0在 Rt B1C1F 中，B 1C12，C 1F1，所以 B1F .B1C21 C1F2 5在 Rt DCF 中，CF2，CD 1，所以 DF .CD2 CF2 5显然 DF2B 1F2B 1D2，所以B 1FD 90.所以 B1FFD.因为 ADFD D，AD ，FD平面 ADF，所以 B1F平面 ADF.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的 传递性；面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.跟踪训练 1 (2019绍兴模拟) 如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABAD，BCBD，平面
12、ABD平面 BCD，点 E，F( E 与 A，D 不重合) 分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.求证：(1)EF平面 ABC；(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内，因为 ABAD ，EFAD，则 ABEF.又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD ，BC平面 BCD，BCBD ，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD .又 ABAD ，BCABB，AB平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC .题型二 平面与
13、平面垂直的判定与性质例 2 (2018全国)如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90.以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA.(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ DA，求三棱锥 QABP 的体23积.(1)证明 由已知可得，BAC90，即 BAAC .又 BAAD ，ADACA，AD，AC平面 ACD，所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC.(2)解 由已知可得，DCCMAB3， DA3 .2又 BPDQ DA，所以 BP 2 .23
14、 2如图，过点 Q 作 QEAC，垂足为 E，则 QEDC 且 QE DC.13由已知及(1)可得，DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE1.因此，三棱锥 QABP 的体积为 VQABP SABP QE13 32 sin 4511.13 12 2思维升华 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a ).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直.跟踪训练 2 (2018宁波调研) 如图，三棱锥 PABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，PAPC，PB 2.(1)求证：平面 P
15、AC平面 ABC；(2)若 PAPC，求三棱锥 P ABC 的体积.证明 (1)如图，取 AC 的中点 O，连接 BO，PO，因为ABC 是边长为 2 的正三角形，所以 BOAC，BO .3因为 PAPC，所以 PO AC1.12因为 PB2，所以 OP2OB 2PB 2，所以 POOB .因为 ACOPO，AC，OP平面 PAC，所以 BO平面 PAC.又 OB平面 ABC，所以平面 PAC平面 ABC.(2)解 因为 PAPC，PAPC，AC 2，所以 PAPC .2由(1)知 BO平面 PAC，所以 VPABC VBAPC SPAC BO .13 13 12 2 2 3 33题型三 与垂
16、直有关的探索性问题例 3 如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D，E 分别是棱 BC，AB 的中点，点 F 在棱 CC1 上，已知 ABAC， AA13，BC CF2.(1)求证：C 1E平面 ADF；(2)设点 M 在棱 BB1 上，当 BM 为何值时，平面 CAM平面 ADF.(1)证明 连接 CE 交 AD 于 O，连接 OF.因为 CE，AD 为ABC 的中线，则 O 为ABC 的重心，故 ，故 OFC 1E，CFCC1 COCE 23因为 OF平面 ADF，C1E平面 ADF，所以 C1E平面 ADF.(2)解 当 BM1 时，平面 CAM平面 ADF.证明如下：因为 ABAC
17、，AD平面 ABC，故 ADBC.在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BB1平面 ABC，BB1平面 B1BCC1，故平面 B1BCC1平面 ABC.又平面 B1BCC1平面 ABCBC ，AD平面 ABC，所以 AD平面 B1BCC1，又 CM平面 B1BCC1，故 ADCM.又 BM1，BC2，CD1，FC2，故 Rt CBMRtFCD.易证 CMDF，又 DFAD D，DF，AD平面 ADF，故 CM平面 ADF.又 CM平面 CAM，故平面 CAM平面 ADF.思维升华 对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证.途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途
18、径三：将几何问题转化为代数问题.跟踪训练 3 如图所示的空间几何体 ABCDEFG 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 ABCD，EFAB， EGAD，EFEG1.(1)求证：平面 CFG平面 ACE；(2)在 AC 上是否存在一点 H，使得 EH平面 CFG？若存在，求出 CH 的长，若不存在，请说明理由.(1)证明 连接 BD 交 AC 于点 O，则 BDAC .设 AB，AD 的中点分 别为 M，N，连接 MN，则 MNBD ，连接 FM，GN，则 FMGN ，且 FMGN，所以四边形 FMNG 为平行四 边形，所以 MNFG，所以 BDFG，所以 FGAC .由于
19、AE平面 ABCD，所以 AEBD.所以 FGAE，又因为 ACAEA ，AC，AE平面 ACE，所以 FG平面 ACE.又 FG平面 CFG，所以平面 CFG平面 ACE.(2)解 存在.设平面 ACE 交 FG 于 Q，则 Q 为 FG 的中点，连接 EQ，CQ，取 CO 的中点 H，连接 EH，由已知易知，平面 EFG平面 ABCD，又平面 ACE平面 EFGEQ ，平面 ACE平面 ABCDAC，所以 CHEQ，又 CHEQ ，22所以四边形 EQCH 为平行四 边形，所以 EHCQ ，又 CQ平面 CFG，EH平面 CFG，所以 EH平面 CFG，所以在 AC 上存在一点 H，使得
20、EH平面 CFG，且 CH .221.已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m ，n ，则( )A.ml B.mnC.nl D.mn答案 C解析 因为 l，所以 l，又 n，所以 nl .2.(2019宁波模拟)已知直线 l，m 与平面 ， ，l，m，则下列命题中正确的是( )A.若 lm，则必有 B.若 lm，则必有 C.若 l，则必有 D.若 ，则必有 m答案 C解析 对于选项 A，平面 和平面 还有可能相交，所以 选项 A 错误；对于选项 B，平面 和平面 还有可能相交或平行，所以选项 B 错误；对于选项 C，因为 l，l ，所以 .所以选项 C 正确；对于选项 D
21、，直线 m 可能和平面 不垂直，所以 选项 D 错误.3.如图，在四面体 DABC 中，若 ABCB，AD CD，E 是 AC 的中点，则下列结论正确的是( )A.平面 ABC平面 ABDB.平面 ABD 平面 BDCC.平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED.平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE答案 C解析 因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理有 DEAC，于是 AC平面BDE.因为 AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC平面 ACD，所以平面ACD平面 BDE.4.在正方体 ABCDA 1B1C1D1
22、中，M，N 分别是 BC1，CD 1 的中点，则( )A.MNC 1D1 B.MNBC 1C.MN平面 ACD1 D.MN平面 ACC1答案 D解析 对于选项 A，因为 M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，所以点 N平面 CDD1C1，点 M平面 CDD1C1，所以直 线 MN 是与平面 CDD1C1 相交的直线，又因为直线 C1D1 在平面 CDD1C1 内，故直 线 MN 与直线 C1D1 不可能平行，故 选项 A 错；对于选项 B，正方体中易知 NBNC 1，因 为点 M 是 BC1 的中点，所以直线 MN 与直线 BC1 不垂直，故选项 B 不对；对于选项 C，假设 MN平面 AC
23、D1，可得 MNCD 1，因为 N 是 CD1 的中点，所以 MCMD 1，这与 MCMD 1 矛盾，故假设不成立，所以选项 C 不对；对于选项 D，分别取 B1C1，C1D1 的中点 P，Q，连接 PM，QN，PQ.因为点 M 是 BC1 的中点，所以 PMCC 1 且 PM CC1.12同理 QNCC 1 且 QN CC1.12所以 PMQN 且 PMQN，所以四边形 PQNM 为平行四 边形.所以 PQMN.在正方体中，CC 1PQ ，PQ AC，因为 ACCC 1C，AC平面 ACC1，CC1平面 ACC1，所以 PQ平面 ACC1.因为 PQMN，所以 MN平面 ACC1.故选项 D
24、 正确.5.已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若94 3P 为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( )A. B. C. D.512 3 4 6答案 B解析 如图，取正三角形 ABC 的中心 O，连接 OP，则PAO 是 PA 与平面 ABC 所成的角.因为底面边长为 ，3所以 AD ，AO AD 1.332 32 23 23 32三棱柱的体积为 ( )2AA1 ，34 3 94解得 AA1 ，即 OPAA 1 ，3 3所以 tanPAO ，OPOA 3因为直线与平面所成角的范围是 ，0，2所以PAO .36
25、.如图，已知 PA平面 ABC，BC AC ，则图中直角三角形的个数为 _.答案 4解析 PA平面 ABC，AB，AC，BC平面 ABC，PAAB， PAAC，PABC ，则PAB，PAC 为直角三角形.由 BCAC，且 ACPA A，得 BC平面 PAC，从而 BCPC，因此 ABC，PBC 也是直角三角形.7.如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC90，BC 1AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影H 必在直线_上.答案 AB解析 ACAB，ACBC 1，ABBC 1B， AC平面 ABC1.又AC平面 ABC，平面 ABC1平面 ABC.C 1 在平面 ABC 上的射影 H
26、 必在两平面交线 AB 上.8.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_ 时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案 DM PC( 或 BMPC 等)解析 PA底面 ABCD，BD PA ，连接 AC，则 BDAC，且 PAACA，BD平面PAC，BD PC.当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD，而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.9.如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC2，AA 11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为_
27、.答案 13解析 连接 A1C1，则AC 1A1为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成的角.因为 ABBC 2，所以 A1C1 AC2 ，又 AA11，所以 AC13，2所以 sinAC 1A1 .AA1AC1 1310.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上.点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 _.答案 255解析 点 P 到直线 CC1 的距离等于点 P 在平面 ABCD 上的射影到点 C 的距离，设点 P 在平面 ABCD 上的射影为 P，显然点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 PC 的长度的最小值.
28、当 PCDE 时，PC 的长度最小，此 时 PC .2122 12 25511.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上(异于点 P，C)，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F.(1)求证：ABEF；(2)若 AFEF，求证：平面 PAD平面 ABCD.证明 (1)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ABCD.又 AB平面 PDC，CD平面 PDC，所以 AB平面 PDC，又因为 AB平面 ABE，平面 ABE平面 PDCEF ，所以 ABEF.(2)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ABAD .因为 AFEF，(1) 中已证 ABEF，所以 ABAF.
29、又 ABAD ，由点 E 在棱 PC 上(异于点 C)，所以点 F 异于点 D，所以 AFAD A，AF，AD 平面 PAD，所以 AB平面 PAD，又 AB平面 ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD.12.(2019浙江省台州中学模拟) 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，PAABBC ，ADCD1，ADC120，点 M 是 AC 与 BD 的交点，点 N3在线段 PB 上，且 PN PB.14(1)证明：MN平面 PDC；(2)求直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值.(1)证明 因为 ABBC，AD CD，所以 BD 垂直平分线段 AC.又ADC120，所以 MD
30、AD ，AM .12 12 32所以 AC .3又 ABBC ，3所以ABC 是等边三角形，所以 BM ，所以 3，32 BMMD又因为 PN PB，14所以 3，BMMD BNNP所以 MNPD.又 MN平面 PDC，PD平面 PDC，所以 MN平面 PDC.(2)解 因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 BDPA，又 BDAC，PA AC A ，PA，AC平面 PAC，所以 BD平面 PAC.由(1)知 MNPD，所以直线 MN 与平面 PAC 所成的角即直线 PD 与平面 PAC 所成的角，故DPM 即为所求的角.在 Rt PAD 中，PD2，所以 sinDPM ，DMDP
31、 122 14所以直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值为 .1413.(2018湖州质检)如图，在正方形 ABCD 中，E ，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点.现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H.那么，在这个空间图形中必有 ( )A.AG平面 EFH B.AH平面 EFHC.HF平面 AEF D.HG平面 AEF答案 B解析 根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，AH平面 EFH，B 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确；AGEF，EFGH，AGGH G ，AG，GH平面
32、HAG，EF平面 HAG，又 EF平面AEF，平面 HAG 平面 AEF，过点 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确；由条件证不出 HG平面 AEF，D 不正确.故选 B.14.(2018全国)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为( )A. B. C. D.334 233 324 32答案 A解析 如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，平面 AB1D1 与棱 A1A，A1B1，A1D1 所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与 A1A，A1B1，A1D1 平行，故正方体 ABCDA 1B1C
33、1D1 的每条棱所在直线与平面 AB1D1 所成的角都相等 .取棱 AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD 的中点 E，F，G，H，M，N，则正六边形 EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1 平行且面积最大，此截面面积为 S 正六边形 EFGHMN6 sin 60 .12 22 22 334故选 A.15.(2019金华模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中，BC DC，AE DC ，且 E 为 CD 的中点，M，N 分别是 AD，BE 的中点，将三角形 ADE 沿 AE 折起，则下列说法正确的是_.(写出所有正确说法的序号 )不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内) ，都有 MN
34、平面 DEC；不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内) ，都有 MNAE ；不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内) ，都有 MNAB ；在折起过程中，一定不会有 ECAD.答案 解析 由已知，在未折叠的原梯形中，易知四边形 ABCE 为矩形，所以 ABEC，所以 ABDE，又 ABDE ，所以四边形 ABED 为平行四边形，所以 BEAD ，折叠后如 图所示.过点 M 作 MPDE，交 AE 于点 P，连接 NP.因为 M，N 分别是 AD，BE 的中点，所以点 P 为 AE 的中点，故 NPEC .又 MPNPP，DECEE ，所以平面 MNP平面 DEC，故 MN平面 DEC，正
35、确；由已知，AE ED，AEEC ，所以 AEMP，AENP，又 MPNPP，所以 AE平面 MNP，又 MN平面 MNP，所以 MNAE，正确；假设 MNAB，则 MN 与 AB 确定平面 MNBA，从而 BE平面 MNBA，AD平面 MNBA，与 BE 和 AD 是异面直线矛盾，错误；当 ECED 时，ECAD.因为 ECEA，ECED，EA EDE，所以 EC平面 AED，AD平面 AED，所以 ECAD，不正确.16.在如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且DAB60，EAED AB2EF2，EFAB ，M 为 BC 的中点.(1)求证：FM平面 BDE；(2
36、)若平面 ADE平面 ABCD，求点 F 到平面 BDE 的距离.(1)证明 取 BD 的中点 O，连 接 OM，OE，因为 O，M 分别为 BD，BC 的中点，所以 OMCD，且 OM CD.12因为四边形 ABCD 为菱形，所以 CDAB ，又 EFAB，所以 CDEF，又 ABCD2EF ，所以 EF CD，12所以 OMEF ，且 OMEF，所以四边形 OMFE 为平行四边形，所以 MFOE .又 OE平面 BDE，MF平面 BDE，所以 MF平面 BDE.(2)解 由(1)得 FM平面 BDE，所以点 F 到平面 BDE 的距离等于点 M 到平面 BDE 的距离 .取 AD 的中点 H，连接 EH，BH，因为 EAED ，四 边形 ABCD 为菱形，且DAB60，所以 EHAD ，BHAD.因为平面 ADE平面 ABCD，平面 ADE平面 ABCDAD，EH平面 ADE，所以 EH平面 ABCD，所以 EHBH ，易得 EHBH ，所以 BE ，3 6所以 SBDE .12 6 22 ( 62)2 152设点 F 到平面 BDE 的距离为 h，连接 DM，则 SBDM SBCD 4 ，12 12 34 32连接 EM，由 V 三棱锥 EBDM V 三棱锥 MBDE ，得 h ，13 3 32 13 152解得 h ，155即点 F 到平面 BDE 的距离为 .155
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