1、3.5 指数与指数函数最新考纲 考情考向分析1.了解指数幂的含义，掌握有理数指数幂的运算2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用3.了解指数函数的变化特征.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，nN *，且 n1)于是，在条mnnam件 a0，m，n N*，且 n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 (a0，m，nN *，且 n1).0 的正n1分数指数幂等于 0；0 的负分数指
2、数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：a rasa rs ，(a r)sa rs，(ab) ra rbr，其中 a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质ya x a1 00 时，y1；当 x0 时，01性质(6)在(，)上是增函数 (7)在(， ) 上是减函数概念方法微思考1.如图是指数函数(1)ya x，(2)y b x，(3)yc x，(4)yd x的图象，则 a，b，c ，d 与 1 之间的大小关系为_提示 cd1ab02结合指数函数 ya x(a0，a1)的图象和性质说明 ax1(a0，a1)的解集跟 a 的取值有关提示 当 a1 时，a x1 的解集为 x|x0；当 01 的
3、解集为 x|x0，且 a1) 的图象经过点 P ，则 f(1)_.(2，12)答案 2解析 由题意知 a 2，所以 a ，12 22所以 f(x) x，所以 f(1) 1 .(22) ( 22) 24P59A 组 T7已知 a ，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系是13514342_答案 cb1，11034又 c 0，a1)在1,2 上的最大值比最小值大 ，则 a 的值为_a2答案 或12 32解析 当 01 时，a 2 a ，a 或 a0( 舍去)a2 32综上所述，a 或 .12 32题型一 指数幂的运算1若实数 a0，则下列等式成立的是( )A(2) 2 4 B2a 3 12a3C(
4、2) 01 D 411a答案 D解析 对于 A，(2) 2 ，故 A 错误；对于 B,2a3 ，故 B 错误；对于 C，(2) 01，故 C14 2a3错误；对于 D， ，故 D 正确1a1a2计算： 10( 2) 1 0_.213270.8 5答案 1679解析 原式 2 500 1( 32) 12 10 5 2 5 2 5 2 10 10 201 .49 5 5 16793化简： (a0，b0)_.2431120.b答案 85解析 原式2 2 13 101 .310ab 854化简 _(a0)4232332 538aba答案 a 2解析 原式33111322111333ababa2.32
5、511631153322aaab 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数 幂统一 为分数指数幂，以便利用法 则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化 为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数题型二 指数函数的图象及应用例 1 (1)函数 f(x)1e |x|的图象大致是( )答案 A解析 f(x) 1e |x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，又 e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有 A.(2)已知函数 f(x)|2 x1|，af(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )A
6、a0C2 a f(c)f(b)，结合图象知，00，0f( c)，12 a2c1，2 a2 c220，可知 b15”连接)1答案 3 aa31解析 易知 3a0， ，因此 3aa3 .1311命题点 2 解简单的指数方程或不等式例 3 (1)已知实数 a1，函数 f(x)Error!若 f(1a)f(a 1)，则 a 的值为_答案 12解析 当 a1 时，代入不成立故 a 的值为 .12(2)若偶函数 f(x)满足 f(x)2 x4(x0)，则不等式 f(x2)0 的解集为_答案 x| x4 或 x0 ，则 f(x)f(x)2 x 4，f(x)Error!当 f(x 2)0 时 ，有Error!
7、或Error!解得 x4 或 x4 或 x0)，则 yt 22t 的单调增区间为1 ，)，令 2x1，得 x0，又 y2 x在 R上单调递增，所以函数 f(x)4 x2 x1 的单调增区间是0，)思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数 问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练 2 (1)已知 f(x)2 x2 x ，a ，b ，则 f(a)，f (b)的大小关系是147915_答案 f(b)f(b)111445797(2
8、)函数 f(x)x 2bxc 满足 f(x1) f (1x )，且 f(0)3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是( )Af(b x)f( cx) Bf(b x)f (cx)Cf(b x)f(cx) D与 x 有关，不确定答案 A解析 f(x1)f(1x )， f(x)关于 x1 对称，易知 b2，c 3，当 x0 时，b 0 c01，f(b x)f(c x)，当 x0 时，3 x2x1，又 f(x)在(1 ， )上单调递增， f(b x)1，b1，b0C00D01，a0，a1)满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是( )19A(，2 B2 ，)C2，) D(，2答案 B解析 由
9、 f(1) ，得 a2 ，19 19所以 a 或 a (舍去)，即 f(x) |2x4| .13 13 (13)由于 y|2x4|在(，2 上单调递减，在 2， )上单调递增，所以 f(x)在(，2上单调递增，在 2， )上单调递减故选 B.6已知函数 f(x)Error!的值域是8,1 ，则实数 a 的取值范围是( )A(，3 B 3,0)C3，1 D 3答案 B解析 当 0x4 时，f( x)8,1，当 ax a” 是“函数 f(x) xm 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数(13) 13a 能取的最大整数为_答案 1解析 f(0)m ，函数 f(x)的图象不过第三象限等价于 m
10、 0，即 m ，“ma”23 23 23是“m ”的必要不充分条件，a0 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_答案 (0，12)解析 (数形结合法)当 01 时 ，解得 01 矛盾12综上，a 的取值范围是 .(0，12)11已知函数 f(x) .243ax(1)若 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是 (0，)，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， f(x) ，2431x令 g(x)x 2 4x3，由于 g(x)在( ， 2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y t在 R 上单调递减，所以 f
11、(x)在( ，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(13)即函数 f(x)的单调递增区间为(2， )，单调递减区间为(，2)(2)令 h(x)ax 24x 3，则 f(x) h(x)，(13)由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1，所以 1，解得 a 1.12a 164a(3)由指数函数的性质可知，要使函数 f(x)的值域是(0， )，则需函数 h(x)ax 24x3 的值域为 R，因为二次函数的值域不可能为 R，所以 a0.12已知函数 g(x)ax 22ax1b(a0) 在区间2,3 上有最小值 1 和最大值 4，设 f(x).gxx(1)求 a，b 的值；(2)若不等式
12、 f(2x)k 2x0 在区间 1,1上有解，求实数 k 的取值范围解 (1)g(x) a( x1) 21ba，a0，g(x)在区间2,3 上是增函数，故Error! 解得Error!(2)由(1)知 g(x)x 22x 1，f(x)x 2，1xf(2 x) k2x0 可化为 1 22 k，(12x) 12x令 t ，则 kt 22t1，12xx 1,1，t .12，2记 h(t)t 22t 1，t .12，2h(t)0,1，kh( t)max1，即 k 的取值范围是( ，113(2016浙江)已知函数 f(x)满足：f (x)| x|且 f(x)2 x，x R .( )A若 f(a)|b|，
13、则 ab B若 f(a)2 b，则 abC若 f(a)| b|，则 ab D若 f(a)2 b，则 ab答案 B解析 |x| Error!根据题意可取 f(x)Error!即 f(x)Error!下面利用特值法验证选项当a1，b3 时可排除选项 A，当 a5，b2 时可排除选项 C，D.故选 B.14(2018浙江镇海中学模拟) 已知函数 f(x)a xxb 的零点 x0( n，n1)(nZ)，其中常数 a，b 满足 2 016a2 017,2 017 b2 016，则 n 的值是( )A2 B1 C0 D1答案 B解析 2 016 a2 017,2 017 b2 016，1a2,0b1，故函数 f(x)在 R 上为增函数，又 f(0)1b0，f( 1) 1b11b0， 则函数 f(x)在区间( 1,0)上有唯一的零点，1a故 n 的值是1，故选 B.15设 f(x)|2 x1 1| ，af(c)，则 2a2 c_4.(选填“” “1，则由 f(a)f(c)，得 12 a1 2c1 1，即 2c1 2a1 0， g(t)在(，1)上单调递 增，即 g(t)g(1)0，则方程 3t12 t无解当 t1 时，2 t2 t成立，由 f(a)1，得 a1，且 3a11，解得 a1；a1，且 2a1，解得23a1.综上可得 a 的取值范围是 .23， )
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