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    浙江省20届高考数学一轮 第3章 3.2 函数的单调性与最值

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    浙江省20届高考数学一轮 第3章 3.2 函数的单调性与最值

    1、3.2 函数的单调性与最值最新考纲 考情考向分析1.理解函数的单调性,会判断函数的单调性2.理解函数的最大(小)值的含义,会求简单函数的最大(小) 值.以基本初等函数为载体,考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用;强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查,题型既有选择、填空题,又有解答题.1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x 2定义当 x1f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的

    2、(2)单调区间的定义如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 yf(x)在这一区间具有( 严格的)单调性,区间 D 叫做 y f(x)的单调区间2函数的最值前提 设函数 yf(x )的定义域为 I,如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意的 xI,都有 f(x)M;(2)存在 x0I,使得 f(x0)M(3)对于任意的 xI,都有f(x)M;(4)存在 x0I ,使得 f(x0)M结论 M 为最大值 M 为最小值概念方法微思考1在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?提示 对任意 x1,x 2D, 0f(x)在 D 上是增函数,减函数类似fx1 fx2x1 x22

    3、写出对勾函数 yx (a0)的增区间ax提示 (, 和 , ) a a题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x),有 f(1)x11 时,f(x 2)f( x1)(x2x 1)ab Bcb a Cacb Dbac答案 D解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称,且在(1 , ) 上是减函数,因 为af f ,且 2ac.( 12) (52) 52命题点 2 解函数不等式例 4 若 f(x)是定义在(0, ) 上的单调增函数,且满足 f(xy)f( x)f(y),f(3) 1,则当 f(x)f(x 8)2 时,x 的

    4、取值范围是( )A(8,) B(8,9C8,9 D(0,8)答案 B解析 211f(3)f(3) f (9),由 f(x)f(x8)2,可得 fx(x8) f (9),因为 f(x)是定义在(0,)上的单调增函数,所以有Error! 解得 80 成立,那么 a 的fx1 fx2x1 x2取值范围是_答案 32,2)解析 对任意 x1x 2,都有 0.fx1 fx2x1 x2所以 yf(x) 在(,)上是增函数所以Error! 解得 a2.32故实数 a 的取值范围是 .32,2)(2)定义在 R 上的奇函数 yf(x) 在(0,)上单调递增,且 f 0,则不等式 f( x)0(12) 19lo

    5、g的解集为_答案 Error!解析 由题意知,f f 0,( 12) (12)f(x)在( ,0)上也单调递增f( x)f 或 f( x)f ,19log(12) 19log( 12) x 或 x 0,19l12 12 9l解得 0x 或 1x 3.13原不等式的解集为Error!.1(2018台州路桥中学检测) 如果函数 f(x)x 22( a1)x2 在区间(,4 上单调递减,那么实数 a 的取值范围是( )Aa3 Ba3Ca5 Da5答案 A解析 由题意得,函数 f(x)x 22( a1)x2 的对称轴为 x1a,所以二次函数的单调递减区间为(,1a,又函数在区间(,4上单调递减,所以

    6、1a4,所以 a3.2已知函数 f(x) ,则该函数的单调递增区间为( )x2 2x 3A(,1 B3 ,)C(,1 D1,)答案 B解析 设 tx 22x3,由 t0,即 x22x30,解得 x1 或 x3,所以函数 f(x)的定义域为(,13 ,)因为函数 tx 22x3 的图象的 对称轴为 x1,所以函数 t 在( , 1上 单 调 递 减 ,在 3, )上 单 调 递 增 ,所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 3, )3已知函数 f(x)Error!当 x1x 2 时, x 1 对任意的 x 1,2恒成立,等价于 ax 23x1 对任意的 x1,2恒成立 设 g(x

    7、)x 23x 1( 1x2), 则 g(x) 2 (1x2) ,当 x(x 32) 134时,g(x )取得最大值,且 g(x)maxg ,因此 a ,故 选 D.32 (32) 134 1346(2018浙江镇海中学月考) 若函数 f(x)Error!(a0,且 a1)的值域为3,),则实数a 的取值范围为( )A(1,3 B(1,3)C(3,) D3,)答案 A解析 当 x3 时,函数 f(x) x22x4(x1) 23 的值 域为3 , ) ,当 x3 时,2 logax3,即 x3 时, logax1log aa,a1,且 x3 时 xa 恒成立1a3,实数 a 的取值范围是(1,37

    8、已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数若 af ,bf ,cf(2 0.8),则(log215) (log24.1)a,b,c 的大小关系为_答案 abc解析 f(x) 在 R 上是奇函数,af f f (log25)(log215) ( log215)又 f(x)在 R 上是增函数,且 log25log24.1log2422 0.8,f(log 25)f(log24.1)f(20.8),abc.8设函数 f(x)Error!g(x) x2f(x1),则函数 g(x)的单调递减区间是_答案 0,1)解析 由题意知 g(x)Error!函数 g(x)的图象如图所示,其单调递减区间为0,1)9函数

    9、 f(x) 的值域为 _4 2x x答案 , 2 6解析 由题意得,0x 2,设 x2cos 2 ,(0 2)f(x) 2sin cos sin(),4 2x x 2 6其中 sin ,cos ,13 26而 ,2 sin()1,故所求值域是 , 13 2 610设函数 f(x)Error!若函数 yf (x)在区间(a,a1)上单调递增,则实数 a 的取值范围是_答案 (,14 ,)解析 作函数 f(x)的图象如图所示,由图象可知 f(x)在(a,a1)上单调递增,需 满足 a4 或 a12,即 a1 或 a4.11已知 f(x) (xa)xx a(1)若 a2,试证 f(x)在( ,2)上

    10、单调递增;(2)若 a0 且 f(x)在(1 ,)上单调递减,求 a 的取值范围(1)证明 设 x1x 22,则 f(x1)f(x 2) .x1x1 2 x2x2 2 2x1 x2x1 2x2 2因为(x 12)(x 22)0,x 1x 20,所以 f(x1)f(x 2)0,即 f(x1)f (x2),所以 f(x)在(,2)上单调递增(2)解 设 1x 1x 2,则 f(x1)f(x 2) x1x1 a x2x2 a .ax2 x1x1 ax2 a因为 a0,x 2 x10,所以要使 f(x1)f(x 2)0,只需(x 1a)(x 2a)0 恒成立,所以 a1.综上所述,0a1.12函数 f

    11、(x)4x 24ax a 22a2 在区间0,2上有最小值 3,求 a 的值解 f(x )4 22a2,(x a2)当 0,即 a0 时,函数 f(x)在0,2上是增函数a2f(x) minf(0)a 22a2.由 a22a23,得 a1 .2a0,a1 .2当 0f (2ax )在a,a1上恒成立,则实数 a 的取值范围是_答案 (,2)解析 二次函数 y1x 24x 3 的对称轴是 x2,该函数在(,0上单调递 减,x 24x33,同样可知函数 y2x 22x 3 在(0 , )上单调递减,且在 x0 时两个表达式的值都为 3.f(x)在 R 上单调递减,由 f(xa)f(2ax )得到

    12、x a2 的解集x2 1为_答案 (14, )解析 由题意知,f(x)f(x) 2, f(2x1)f(2x)2 可化为 f(2x1)f(2x) ,又由 题意知函数 f(x)在 R 上单调递增,2x12x, x ,原不等式的解集为 .14 (14, )15记 minx,yError!设 f(x)min x2,x 3,则( )A存在 t0,|f(t)f(t)|f (t)f (t )B存在 t0,| f(t)f(t)|f(t )f (t )C存在 t0,| f(1t)f(1t )|f(1t )f (1t )D存在 t0,|f(1t)f(1t)|f (1t )f (1t )答案 C解析 作出函数 f(

    13、x)minx 2,x3的图象,显然该函数是单调递增的,所以对任意的 t0 均有|f(t)f(t)|f(t)f( t),且|f(1 t)f(1t)|f(1t)f (1t ),因此排除 B,D.考虑选项 A,当 0t1 时,f(t )t 3,f(t )t 3,则|f(t)f(t)|t 3(t) 3|t 3 t30,f(t)f (t) 2t 30;当 t1 时,f(t)t 2,f(t) t 3,则|f(t)f(t)|t 2t 3|t 3t 2,f(t)f (t )t 2t 3,又 t3t 2(t 2t 3)2t 20,所以|f( t)f(t)|f(t)f( t) ,排除 A.故选 C.16(2018

    14、浙江金华十校联考)若定义在(0,1)上的函数 f(x)满足 f(x)0 且对任意的 x(0,1),有 f 2f(x),则( )(2x1 x2)A对任意的正数 M,存在 x(0,1),使 f(x)MB存在正数 M,对任意的 x(0,1),使 f(x)MC对任意的 x1,x 2(0,1) 且 x1x 2,有 f(x1)f (x2)D对任意的 x1,x 2(0,1) 且 x1x 2,有 f(x1)f (x2)答案 A解析 构造数列x n,满足 x1(0,1),x n1 .2xn1 x2n由数学归纳法易知,x n(0,1), xn1 x n 0,所以x n是单调递增数列xn1 x2n1 x2n由题意可知,f(x n1 )2f(x n),所以f( xn)是以 f(x1)为首项,2 为公比的等比数列,所以 f(xn)f(x 1)2n1 ,则对任意的整数 M,存在正整数 Nmax ,1,log2 Mfx1 2则当 nN 时,f(x n)f(x 1)2n1 f(x1) f(x 1) M,故选 A.21logMf21logfx


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