1、2.1 不等关系与不等式最新考纲 考情考向分析了解不等关系,掌握不等式的基本性质.以理解不等式的性质为主,本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质;以主观题形式考查不等式与其他知识的综合属低档题.1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! (a,bR)(2)作商法Error! (aR,b0)2不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 abbb,bcac 可加性 abacbc Error!acbc可乘性Error!acbd 同向同正可乘性 Error!ac bd 可乘方性ab0a nbn(nN,n1)a,b 同为正数可开方性 ab0 nanb(nN,n2)a,b 同为正数概念方法
2、微思考1若 ab,且 a 与 b 都不为 0,则 与 的大小关系确定吗?1a 1b提示 不确定若 ab,ab0,则 0b,则 ,即正数大于负数1a 1b2两个同向不等式可以相加和相乘吗?提示 可以相加但不一定能相乘,例如 21,13.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)两个实数 a,b 之间,有且只有 ab,ab,a1,则 ab.( )ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘同一个数,不等号方向不变( )(4)ab0,c d0 .( )adbc(5)ab0,ab 0”是“a 2b 20”的( )a bA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要
3、条件答案 A解析 0 a ba 2b2,a b a b但由 a2b 20 0.a b3P74T3设 bbd Dadbc答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知 C 正确题组三 易错自纠4若 ab0,c0 B. D. ac,又cd0, ,即 .bdcdaccd bcad5设 a,bR,则“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a2 且 b1,则由不等式的同向可加性可得 ab 213,由不等式的同向同正可乘性可得 ab212.即“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的充分条件;反之,若“ab3 且
4、ab2”,则“a2 且 b1”不一定成立,如 a6,b .所以“a2 且 b1”是12“ab3 且 ab2”的充分不必要条件故选 A.6若 q Dpq答案 B解析 (作差法)pq abb2a a2b (b 2a 2)b2 a2a a2 b2b (1a 1b) ,b2 a2b aab b a2b aab因为 a0.若 ab,则 pq0,故 pq;若 ab,则 pqb0,比较 aabb与 abba的大小解 ab ,aabbabba aa bba b (ab)又 ab0,故 1,ab0 ,ab ab 1,即 1,(ab) aabbabba又 abba0,a abbabba,a abb与 abba的大
5、小关系为:a abbabba.思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法:作差;变形;定号;结论(2)作商法:作商;变形;判断商与 1 的大小关系;结论 (3)函数的单调性法跟踪训练 1 (1)已知 pR,M(2 p1)(p3),N(p6)( p3)10,则 M,N 的大小关系为_答案 M N解析 因为 MN(2p1)(p3)(p6)( p3)10 p22p5( p1) 240,所以MN.(2)若 a0,且 a7,则( )A7 7aa7aa7D7 7aa与 7aa7 的大小关系不确定答案 C解析 7 7a aa7 7a ,77aa7aa7 (7a)则当 a7 时,01,7 7aa7aa7;(7a
6、)当 01,7a0 ,7a则 7a 1,7 7aa7aa7.(7a)综上,7 7aa7aa7.题型二 不等式的性质例 2 (1)若 a,b,cR,则下列说法正确的是( )A若 ab,则 ac bc B若 ab,则 b,则 a2b2 D若 ab,则 ac2bc2答案 A解析 当 a0b 时,B 不正确,当 0ab 时, C 不正确,当 c0 时,D 不正确,由不等式的性质知 A 正确,故选 A.(2)已知四个条件:b0a;0ab;a0b;a b0,能推出 b,ab0 ac Bc(ba)0答案 A解析 由 c0.由 bc,得 abac 一定成立(2)若 |b|;a0,1a1b所以 abb0,给出下
7、列四个不等式:a 2b2;2 a2b1 ; ;a b a ba 3b 32a2b.其中一定成立的不等式为( )A BC D答案 A解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2,成立;由 ab0 可得 ab1,而函数 f(x)2 x在 R 上是增函数,f(a)f( b1) ,即 2a2b1 ,成立;ab0, ,a b( )2( )2a b a b2 2b2 ( )0,ab b a b ,成立;a b a b若 a3,b2,则 a3b 335,2a 2b36,a3b 3b2,2 a2b1 , 均成立,而a 3b 32a2b 不成立,故选 A.a b a b命题点 2 求代数式的取值范围例 4 已知1
8、Ba 2bn|b|a| |b| 1|a| 1答案 C解析 (特值法)取 a2,b 1,逐个检验,可知 A,B,D 项均不正确;C 项, 0,0b,cd,则 acbdB若 acbc,则 abC若 b,cd,则 ac bd答案 C解析 A 项,取 a2,b1,c1, d2,可知 A 错误 ;B 项,当 cbca0,所以 ab2 B1 b a(12) (12)C. beaba ab答案 D解析 由题意知,b a1, 2,(12) (12) ba abbeb0,ba0,be aae b,ae bbea,故选 D.3若 ab0,则下列不等式中一定成立的是( )Aa b B. 1b 1a bab 1a 1
9、Ca b D. 1b 1a 2a ba 2bab答案 A解析 取 a2,b1,排除 B 与 D;另外,函数 f(x)x 是(0,)上的增函数,但函数 g(x)1xx 在(0,1上单调递减,在1, ) 上单调递增,所以,当 ab0 时, f(a)f(b)必定成立,即1xa b a b ,但 g(a)g(b)未必成立,故选 A.1a 1b 1b 1a4已知 xyz,xy z0,则下列不等式成立的是( )Axyyz Bxz yzCxy xz Dx|y |z|y|答案 C解析 xyz 且 xy z0,3xxyz0,3z0,zz,xyxz.5(2015浙江)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用
10、一种颜色,且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为 x,y ,z,且 xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m 2)分别为 a,b,c,且 abc.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元) 是( )Aaxbycz BazbycxCay bzcx Daybxcz答案 B解析 令 x1,y2,z3,a1,b2, c3.A 项:axbycz14914;B 项:azbycx34310;C 项:ay bzcx26311;D 项:aybxcz22913.故选 B.6若 , 满足 0,则 与 的大小关系是_ab2 ba2 1a 1b答案 ab2 ba2 1a 1b解析 ab2
11、ba2 (1a 1b) a bb2 b aa2(ab) .(1b2 1a2) a ba b2a2b2ab0,( ab) 20, 0.a ba b2a2b2 .ab2 ba2 1a 1b8已知有三个条件:ac 2bc2; ;a 2b2,其中能成为 ab 的充分条件的是acbc_答案 解析 由 ac2bc2 可知 c20,即 ab,故 “ac2bc2”是“ ab”的充分条件;当 cb 的充分条件9(2019杭州模拟)已知 a, b,c ,d 均为实数,有下列命题:若 ab0,bcad0,则 0;ca db若 ab0, 0,则 bcad0;ca db若 bcad0, 0,则 ab0.ca db其中正
12、确的命题是_(填序号)答案 解析 ab0, bcad0, 0,正确;ca db bc adabab0,又 0,即 0,ca db bc adabbcad0,正确;bcad0,又 0,即 0,ca db bc adabab0,正确故都正确10设 ,T 1cos(1 ),T 2cos(1) ,则 T1 与 T2 的大小关系为_(0,12)答案 T 10,求证: ;a bb c dd(2)已知 cab0,求证: .ac a bc b证明 (1)bcad,bd0, ,cd ab 1 1,cd ab .a bb c dd(2)cab0 ,ca0,c b0,00, .ac a bc b12已知 1n2,所以 mn4;结合定义及 pq2,可得Error! 或Error!即 qbln a Baln bbea,故选 B.16(2018浙江衢州二中模拟) 已知非负实数 a,b,c 满足 abc1,求(ca)( cb)的取值范围解 因为 a,b,c 为非负实数,且 abc1,则 ab1c,0c 1,故|( ca )(cb)|c a| cb|c 21,即1(ca)(cb)1;又(ca )(cb)c 2(1 c )cab2 2 .(c 14) 18 18综上, (c a)(cb)1.18