1、2.4 基本不等式及其应用最新考纲 考情考向分析掌握基本不等式 (a，b0)及其应用.aba b2 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识常在解答题中考查，难度为中档.1基本不等式： aba b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b 22ab(a，bR)(2) 2(a， b 同号)ba ab(3)ab 2 (a，bR)(a b2 )(4) 2 (a，bR)a2 b22 (a b2 )以上不等式等号成立的条件均为
2、ab.3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个a b2 ab正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最 小值 2 .(简记：积定和最小)p(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最 大值 .(简记：和定积最大)p24概念方法微思考1若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值2函数 y
3、x 的最小值是 2 吗？1x提示 不是因为函数 yx 的定义域是x| x0 ，当 x0 且 y0”是“ 2”的充要条件( )xy yx(3)(ab )24ab(a，bR)( )(4)若 a0，则 a3 的最小值为 2 .( )1a2 a(5)不等式 a2b 22ab 与 有相同的成立条件( )a b2 ab(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( )题组二 教材改编2P100A 组 T1设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( )A80 B77 C81 D82答案 C解析 x0，y0 ， ，x y2 xy即 xy 281，当且仅当 xy9 时， (xy)max81.(x y2
4、 )3P100A 组 T2若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案 25解析 设矩形的一边为 x m，面积为 y m2则另一边为 (202x)(10x)m,00”是“x 2 成立”的( )1xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 当 x0 时，x 2 2.1x x1x因为 x， 同号，所以若 x 2，则 x0， 0，所以“x0”是“x 2 成立”的充要条件，1x 1x 1x 1x故选 C.5若正数 x，y 满足 3xy5xy，则 4x3y 的最小值是( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 由 3xy 5xy
5、，得 5，3x yxy 3y 1x所以 4x3y(4x 3y )15(3y 1x)15(4 9 3yx 12xy) (492 )5，15 36当且仅当 ，即 y2x 时，等号成立，3yx 12xy故 4x3y 的最小值为 5.故选 D.6(2018温州市适应性考试) 已知 2a4 b2(a，bR)，则 a2b 的最大值为_答案 0解析 因为 22 a4 b2 ，当且仅当 ab0 时等号成立，所以 a2b0，即 a2b2a 2b的最大值为 0.题型一 利用基本不等式求最值命题点 1 配凑法例 1 (1)已知 00 时，x (a0)的最小值为 3，则实数 a 的值为_ax 1答案 4解析 因为当
6、x0，a0 时，x x 1 12 1，当且仅当 x1 时，等ax 1 ax 1 a ax 1号成立，又 x (a0)的最小 值为 3，所以 2 13，解得 a4.ax 1 a命题点 2 常数代换法例 2 (2018浙江部分重点中学调研) 已知 a0，b0，且满足 a2b2.若不等式 abt(t2)ab1 恒成立，则实数 t 的取值范围是 _答案 ( ，94解析 因为对于任意的 a0，b0，a2b2，不等式 abt(t2)ab1 恒成立，即 t 恒成立因为 1 ，当且1a 2b 1 1a 2b 1 (1a 2b 1)(a4 b 12 ) 54 b 12a a2b 1 54 94仅当 ，即 ab1
7、 ，b 时，取到最小 值，所以 t .b 12a a2b 1 43 13 94命题点 3 消元法例 3 已知正实数 a，b 满足 a2b40，则 u ( )2a 3ba bA有最大值 B有最小值145 145C有最小值 3 D有最大值 3答案 B解析 a 2b40，b a24，aba 2a4.又a，b0， ，aa b aa2 a 4 ，aa b aa2 a 4u 3 32a 3ba b aa b aa2 a 43 3 ，1a 4a 112 a4a 1 145当且仅当 a2，b8 时取等号故选 B.思维升华 (1)前提：“一正” “二定” “三相等” (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和
8、为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法跟踪训练 1 (1)(2018杭州高级中学高考仿真测试)若正数 x，y 满足 x22xy 10，则 2xy的最小值是( )A. B. C. D.22 2 32 3答案 D解析 由 x22xy10，得 y ，所以 2xy2x x 12x x2 12x x2 32 12x 12 (3x 1x) ，当且仅当 3x ，即 x 时，等号成立，此时 y ，符合题意，所以 2xy 的最3x1x 3 1x 33 33小值为 ，故选 D.3(2)(2018浙江绍兴一中模拟)已知 x，y
9、0，且 xy ，则 的最小值是1x 12y 194 3x 716y_答案 14解析 因为 xy ，所以1x 12y 194 x y x y ，当且仅当 x ，y3x 716y 3x 716y 1x 12y 194 4x 116y 194 92 194 14 4x，即 x2，y 时，取等号116y 14题型二 基本不等式的综合应用命题点 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例 4 在ABC 中，点 P 满足 2 ，过点 P 的直线与 AB，AC 所在直线分别交于点BP PC M，N，若 m ， n (m0，n0)，则 m2n 的最小值为 ( )AM AB AN AC A3 B4 C. D.83
10、 103答案 A解析 AP AB BP AB 23(AC AB ) ，13AB 23AC 13mAM 23nAN M，P，N 三点共线， 1，13m 23nm2n(m 2n)(13m 23n) 13 43 2n3m 2m3n 253 2n3m2m3n 3，53 43当且仅当 mn1 时等号成立命题点 2 求参数值或取值范围例 5 (2018杭州七校联考)设 x，y 是正实数，若不等式 a 恒成x4x y yx 4y xx 4y y4x y立，则实数 a 的值是_答案 25解析 令 t 0，则 yx x4x y yx 4y 14 yxyx1 4yx 14 t t1 4t 14 t 14 16t
11、14 ，当且 仅当 t1，即 xy4 16t 4 t4 t4 16t 14 15t16 68t 16t2 14 1516t 16t 68 14 15100 14 25时，取等号，所以 a .又 125 xx 4y y4x y 11 4yxyx4 yx 11 4t t4 t 11 4t 44 t11 1 1 ，当且 仅当 t1，即 xy 时，取4 t 4 16t1 4t4 t 15t4 17t 4t2 154t 4t 17 1525 25等号，所以 a .综上，a .25 25跟踪训练 2 (2018金华名校统练 )已知正实数 x，y 满足 xy0，xy20，若 m 2x 3y恒成立，则实数 m
12、 的取值范围是 _1x y答案 ( ，3 224 解析 2x 3y 1x y ( 2x 3y 1x y) 44 ( 2x 3y 1x y)(2x 2y4 ) (2x 3y 1x y)x 3y y x4 143 2x yx 3y x 3yx y ，14(3 2 2x yx 3yx 3yx y) 3 224当且仅当 xy2， 时取等号，2x yx 3y x 3yx y此时 x2 1，y32 ，符合题意，2 2所以 的最小值为 ，即 m .2x 3y 1x y 3 224 3 224利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的 语言表达 问题，用数学的方法构建模型解决问题过程
13、主要包括：在实际 情景中从数学的视角发现问题 、提出 问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改 进模型，最 终解决 实际问题例 某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量( 即该厂的年产量)x万件与年促销费用 m 万元(m0) 满足 x3 (k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品km 1的年销售量只能是 1 万件已知 2019 年生产该产品的固定投入为 8 万元每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2019 年该产品的利润 y 万元
14、表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当 m0 时 ，x1，13k，解得 k2，x3 ，2m 1每万件产品的销售价格为 1.5 (万元) ，8 16xx2019 年的利润 y1.5x 816xm8 16xx48xm48 m(3 2m 1) 29(m0)16m 1 m 1(2)m0 时， ( m1)2 8，16m 1 16y82921，当且仅当 m1，16m 1即 m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家 2019 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利 润最大 为 21 万元素养提升 利用基本不等式求解实际
15、问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值1函数 f(x) 的最小值为( )x2 4|x|A3 B4 C6 D8答案 B解析 f(x) |x| 2 4，x2 4|x| 4|x| 4当且仅当 x2 时，等号成立，故选 B.2若 x0，y0，则“x 2y 2 ”的一个充分不必要条件是( )2xyAxy Bx2yCx 2 且 y1 Dxy 或 y1答案 C解析 x0，y0 ，x2y2 ，当且仅当 x2y 时取等号2xy故“x2 且 y1 ”是“x 2 y2 ”的充分不必要条件故选 C.2xy3已知正数 a，b 满足 ab1，则 的最小值为( )4a 1bA
16、. B3 C5 D953答案 D解析 由题意知，正数 a，b 满足 ab1，则 (ab)4a 1b (4a 1b)41 52 9，4ba ab 4baab当且仅当 ，即 a ，b 时等号成立，4ba ab 23 13所以 的最小值为 9，故选 D.4a 1b4.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题) 成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为( )A. (a0，b0)a b2 ab
17、Ba 2b 22 (a0，b0)abC. (a0，b0)2aba b abD. (a0，b0)a b2 a2 b22答案 D解析 由 ACa，BCb，可得圆 O 的半径 r ，a b2又 OCOBBC b ，a b2 a b2则 FC2OC 2OF 2 ，a b24 a b24 a2 b22再根据题图知 FOFC，即 ，当且 仅当 a b 时取等号故 选 D.a b2 a2 b225(2018杭州模拟)若实数 x，y，z 满足 2x2 y2 xy, 2x2 y2 z2 xy z ，则 z 的最大值为( )A2log 23 B2log 23C. Dlog 2343答案 A解析 因为 2x y2
18、x2 y2 2 (当且仅当 xy 时取等号)，所以 2xy 4.又2x2y 2x y2x2 y2 z2 xyz ，所以 2xy 2 z2 xy 2z，所以 2z 1 ，由 2xy 4 得2x y2x y 1 12x y 12z的最大值为 ，从而 z 的最大 值为 2log 23.436(2018嘉兴市教学测试)已知 xy 8( x0，y 0)，则 xy 的最小值为( )1x 4yA5 B9 C4 D103 26答案 B解析 由题意可知(xy) 2(x y) 58( xy ) ，由基本不等式可知(1x 4y 8) (yx 4xy) 2 4(当且仅当 y2x 时取等号) ，令 txy (t0)，则
19、 t258t4，即yx 4xy yx4xyt28t9(t9)(t1)0，得 t9，从而当 x3， y6 时 ，xy 取得最小值，最小值为 9，故选 B.7.(2019浙江教育绿色评价联盟适应性考试) 如图，在ABC 中，点 D，E 是线段 BC 上两个动点，且 x y ，则 的最小值为( )AD AE AB AC 1x 4yA. B2 C. D.32 52 92答案 D解析 设 m n ， ，AD AB AC AE AB AC B，D，E ，C 共线，mn1， 1， x y ，AD AE AB AC (m )AB (n )AC 则 xymn2， ，当且仅当 x ，y 时，等号成立1x 4y 1
20、2(1x 4y)(x y) 12(5 yx 4xy) 12(5 2yx4xy) 92 23 43故 的最小值为 ，故选 D.1x 4y 928(2018湖州五校模拟)已知 x23xy2y 21( x，yR)，则 x2y 2 的最小值为( )A. 6 B. 610 10C2 6 D2 610 10答案 D解析 方法一 x 23xy2y 2(xy )(x2y) 1， 可设 xyt，x2y (t0)，1tx2t ，yt ，代入所求式子得 x2y 2 2 25t 2 62 6，当且1t 1t (2t 1t) (t 1t) 2t2 10仅当 5t2 时等号成立，2t2x 2y 2 的最小值为 2 6.1
21、0方法二 设 x2y 2t 2，xtcos ，yt sin ，代入已知等式得，t 2cos23t 2sin cos 2t 2sin21， cos 23sin cos 2sin 21 sin 2 (3sin 2cos 2) 1t2 32 1 cos 22 32 12 32 12sin(2 ) ，其中 sin ，cos .103 102 1010 31010t 2 2 6，23 10 10x 2y 2 的最小值为 2 6.109(2018绍兴市适应性考试) 已知正数 x，y 满足 2xy2，则当 x_时， y 取得1x最小值为_答案 2 222 2解析 因为 x，y 为正数，则 2xy2y22x0
22、00，2mn 2mn 2mn 2mn则 t22t6，解得 t2 或 t6，又 t0，t6，即 6，mn18，当且仅当12 2mn2mn6 时，等号成立，故 mn 的最小值为 18.12(2018绍兴市上虞区质检) 若实数 x，y，z 满足 x2y3z1，x 24y 29z 21，则 z 的最小值是_答案 19解析 因为 19z 2(x2y) 22 x2y(x2y) 22 2，又 x2y13z，则(x 2y2 )19z 2 (13z) 2，解得 z ，即 z 的最小值为 .12 19 13 1913(2018浙江知名重点中学考前热身联考) 已知实数 x，y 满足 x2y3xy ，且对任意的实数
23、x(2 ，)，y (1 ，)，不等式(xy3) 2a(xy3)10 恒成立，则实数 a的取值范围是( )A. B( ，2 ( ，21510 5C2 ，) D.5 21510， )答案 A解析 因为 x(2 ，)，y (1， ) ，所以 xy30，所以不等式( xy3) 2a(x y3)10 可转化为(xy3) a.令 txy 3，t 0，则 f(t)t a，且函数 f(t)在区1x y 3 1t间1，) 上单调递 增方法一 等式 x2y 3xy 可化为(x2)(y1)5，令 mx2，ny1，则 m0，n0，且mn5，则 tmn2 2 ，当且 仅当 mn，即 x y1，即 x2 ，y1 时等号m
24、n 5 5 5成立，故 f(t) f(2 )2 ，所以 a .5 5125 21510 21510方法二 x2y3xy 可化为 y1 (x2)，故直线 xy3t0 与函数5x 2y1 (x2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时 y 1，得5x 2 5x 22x2 ，y1 ，此时，t2 ，数形 (图略) 结合可知当 t2 时，符合题意，故 f(t)f (25 5 5 5)2 ，所以 a .5 5125 21510 2151014对任意实数 x1，y ，不等式 1 恒成立，则实数 a 的最大值为( )12 x2a22y 1 4y2a2x 1A2 B4 C. D2142 2答案 D解析 依
25、题意得 a2 .x22y 1 4y2x 1令 x1m0,2y1n0 ，则 2 8，x22y 1 4y2x 1 m 12n n 12m 2m2n 2n2m 4mn 4nm 4mn 4nm即 8，x22y 1 4y2x 1当且仅当 mn1 时取等号，因此 的最小值是 8，x22y 1 4y2x 1从而 a28，2 a2 ，且 a0，2 2故实数 a 的最大值是 2 .215(2018宁波模拟)已知 x，y 均为非负实数，且 xy1，则 4x24y 2(1 xy) 2 的取值范围为( )A. B1,423，4C2,4 D2,9答案 A解析 因为 x0，y0，所以 x 2y 2( xy )2，则 4x
26、24y 2(1xy) 24( x2y 2)x y221(xy) 24(x y )21( xy) 25( xy )22(xy)1，又因为 0xy1，所以4x24y 2(1x y )25( xy) 22( xy)14，当且 仅当 xy0 且 xy1，即Error!或Error!时 ，等号成立；另一方面 4x24y 2(1xy) 24( x2y 2)1(xy )22(xy )21( xy) 23(x y )22(xy)1，又因 为 0x y1，所以 4x24y 2(1xy)23(x y)22(x y)1 ，当且仅当 xy 且 xy ，即 xy 时，等号成立综上所述，23 13 164x24y 2(1
27、x y )2 ，故 选 A.23，416(2018杭州学军中学模拟) 若 x，yR 满足 2sin2(xy 1) ，则x 12 y 12 2xyx y 1xy 的最小值为_答案 2216解析 2sin 2(xy 1) xy1x 12 y 12 2xyx y 1 x2 2x 1 y2 2y 1 2xyx y 1 x y 12 1x y 1 1x y 1，又因为 2sin2(xy1)0,2， xy1 2 或 xy1 2，所以1x y 1 1x y 1xy1 2，此时Error!即Error!则 2x1 k，kZ，解得1x y 1 2x ，kZ，则 xyx 2 2，kZ，所以当 k1 时， xy 2 取得4 12 k2 (4 12 k2) (4 12 k2)最小值 . 2216
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