通用版2020年中考总复习：一次方程及方程组学案含解析

1、2020年中考总复习：一次方程及方程组学案【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】 【考点梳理】考点一、一元一次方程1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的过程，叫做解方

2、程.3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:.（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1；检验(检验步骤可以不写出来).要点诠释： 解一元一次方程的一般步骤步骤名 称方 法依 据注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2去括号去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到

3、方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）等式性质1移项一定要改变符号4合并 同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加1、整式的加减；2、有理数的加法法则单独的一个未知数的系数为“1”5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）等式性质2不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数分母）*6检根x=a方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果. 若 左边右边，则x=a是方程的解；若 左边右边，则x=a不是方程的解.注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过

4、六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组2.二元一次方程组的一般形式要点诠释： a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0.3. 二元一次

5、方程组的解法(1) 代入消元法；(2) 加减消元法.要点诠释： （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系： 当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的

6、数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 是否是所列方程(组)的解；是否使代数式有意义；是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释： 列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1【思路点拨】未知数x的指数是1即可.【答案】B；【解析】由题意可知2n-7=

7、1，n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解.举一反三：【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为 .【答案】由题意可知45-3m2，m=6.求a，b的值【答案】a=0,b=11.2某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（）A54盏B55盏 C56盏D57盏【思路点拨】可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可【答案】B；【解析】设需更换的新型节能灯有x盏，则70（x+1）=36（106+1），70x=3782，x55则

8、需更换的新型节能灯有55盏故选B【总结升华】注意根据实际问题采取进1的近似数举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A B C D 【答案】成本价提高30%后标价为，打8折后的售价为根据题意，列方程得，故选A类型二、二元一次方程组及其应用3解方程组【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可.【答案与解析】由，得y=2x-8 把代入，得3x+2(2x-8)=5 3x+4x-16=5 x=3 把x=3代入，得y=23-8=-2 方程组的解为 x=3，y=-2.【总结升华】解

9、方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：【变式1解方程组【答案】方程化为，再用加减法解，答案：【变式2】解方程组【答案】a=9,b=12,c=15.4小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示根据图中的数据（单位：），解答下列问题：（1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多212，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺12地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题.【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x2y18）2； （2）由题意，得解之，

10、得 地面总面积为：6x2y186421845（2） 铺12地砖的平均费用为80元，铺地砖的总费用为：45803600（元） 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位.举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A73cm B74cmC75cm D76cm【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予

11、1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解【答案与解析】方法一： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， 60-x =60-40=20 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，

12、自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人. 方法二： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组： 解得： 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人. 【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数150人51100人100人以上票价10元人8元人5元人某校七年级甲、乙两班共多人去该公园举行联欢活动，其中甲班多人，乙班不足人如果以班为单位分别买票

13、，两个班一共应付元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付元问：甲、乙两班分别有多少人？【答案】设甲班有x人，乙班有y人，由题意得： 解得： 答：甲班有55人，乙班有48人.6在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【思路点

14、拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得： 解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆.【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键. 中考总复习：一次方程及方程组-巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 小明在解关于x、y的二元一次方程组 时得到了正确结果 后来发现“”“ ”处被墨水污损了，请你帮他找出、 处的值分别是( )A = 1， = 1 B = 2， = 1 C = 1， = 2 D = 2， = 22方

15、程组的解是（ ）. A. B. C. D.3已知方程组的解为，则2a-3b的值为（ ）. A.4 B.-4 C.6 D.-6 4解二元一次方程组 得y()A B C D5小明买书需用48元，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x张，根题意，下列所列方程正确的是()Ax5(12x)48 Bx5(x12)48 Cx12(x5)48 D5x(12x)486九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（）A.17人 B.21人 C.25人 D.37人二、填空题7已知x

16、、y满足方程组则xy的值为_8已知x1+（2y+1）2=0，且2xky=4，则k=_9已知是关于x、y的二元一次方程xya的解则(a1)(a1)7的值为 10已知关于x、y的二元一次方程(a1)x(a2)y52a0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是_11已知关于x的方程a(2x1)3x2无解，则a的值为 12已知下面两个方程3(x2)5x ；4x3(ax)6x7(ax) ；有相同的解，则a的值为 三、解答题13某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b个座位。请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：第1排的座位数第2排的座位

17、数第3排的座位数第4排的座位数aaba2b已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？14. 小明参加“开心词典”答题的活动中，在回答第五道题时，被难住了，题目如下：如图所示，天平两端能保持平衡.请回答在右图中，天平的右边应放几个圆形，才能使天平保持平衡，他打电话向你求助，你能通过计算，并给他一个正确的答案吗？请说出你的做法.15某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元 （1）若经销商同时购进两种不同型号

18、的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案； （2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？ （3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案16. 某玩具厂工人的工作时间规定：每月25天，每天8h，待遇：按件订酬，多劳多得，每月另加福利工资100元，按月结算。该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A产品，可得到报酬0.75元，每生产一件B种产品，可得报酬1.40元，下表记录了工人小李的工作情况：生产A种产品件数（件）生产B种产品

19、件数（件）总时间（min）11353285根据上表提供的信息，请回答下列问题：（1）小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品，分别需要多少分钟？（2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】把 代入 得 解得2.【答案】B；【解析】，得3x=3，x=1.把x=1代入，得1+3y4， y=1. 3.【答案】C；【解析】由题意可知，解得，2a-3b=6.4.【答案】D；【解析】解方程组34，得34y11，y.5.【答案】A；【解析】1元纸币x张，则5元纸币(12x)张，共值48元，则1x5(12x)48.6.【答案】C

20、；【解析】设这两种实验都做对的有x人，（40x）+（31x）+x+4=50，x=25故都做对的有25人故选C二、填空题7【答案】1；【解析】 ，得xy1.8【答案】k=4；【解析】由已知得x1=0，2y+1=0，x=1，y=，把代入方程2xky=4中，2+k=4，k=49【答案】9；【解析】将x2，y代入xya中，2 a，得a.(a1)(a1)7a217a26()269.10【答案】【解析】解法一：取a1，得3y30，y1，取a2，得3x90，x3，解法二：整理，得(xy2)ax2y5，方程有一个公共解，解得11【答案】a ；【解析】将原方程变形为2axa3x2，即 (2a3)xa2.由已知该

21、方程无解，所以解得a，所以a即为所求12【答案】 ； 【解析】由方程可得3x5x6，所以x3.由已知，x3也是方程的解，根据方程解的定义，把x3代入方程，有433(a3)637(a3)，7(a3)3(a3)1812,4(a3)6,4a126,4a18，a.三、解答题13.【答案与解析】（1） （2）依题意得 解得 1220252答：第21排有52个座位.14.【答案与解析】设为 x，为 y，为E，则 由得，3x3yE4x4y，得：5x，10E15x，2E3x，右边设三个圆形即可.15.【答案与解析】设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，B种彩票y张，C种彩票z张，则可分以下三种情况考虑：（1）只

22、购进A种彩票和B种彩票，依题意可列方程组 解得x0，所以无解只购进A种彩票和C种彩票，依题意可列方程组，只购进B种彩票和C种彩票，依题可列方程组，综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎（2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，销售完后获手续费为0.250000.5150008500（元）；若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3100000.5100008000（元），为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票

23、共20扎设购进A种彩票x扎，B种彩票y扎，C种彩票z扎，则 1x5，又x为正整数，共有4种进票方案，即A种1扎，B种8扎，C种11扎，或A种2扎，B种6扎，C种12扎，或A种3扎，B种4扎，C种13扎，或A种4扎，B种2扎，C种14扎16.【答案与解析】 （1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，据题意，得解之，得（2）方法一：设小李每月生产A种产品x件，B种产品y件（x、y均为非负整数），月工资数目为w元，根据题意，得 即w最大0.30940，当x800时，w最小0.3800940700，因为生产各种产品的数目没有限制，所以700w940，即小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元.方法二：由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利0.05元，生产B种产品每分钟可获利0.07元，若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为700元，若小李全部生产B种产品，每月的工资数目为940元，小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元.