1、2020年中考总复习：图形的相似【考纲要求】1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置【知识网络】【考点梳理】考点一、比例线段1. 比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项
2、.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的基本性质：a：b=c：dad=bc a：b=b：c.3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（ACBC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相
3、同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相
4、似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比
5、对应相 等，那么这两个三角形相似.考点三、位似图形1.位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类：(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为
6、位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、比例线段1.在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 _km.【思路点拨】地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.【答案与解析】1：10 000 000=8：80 000 000，即实际距离是80 000 000cm=800km.【总结升华】本题
7、考点:比例性质.举一反三： 【变式】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为_m【答案】因为，所以树高=7.类型二、相似图形【图形的相似 考点7 （3）】2如图，一个矩形ABCD的长AD=cm，宽AB=cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求:的值 【思路点拨】根据相似多边形对应边的比相等，即可求得【答案与解析】矩形ABCD的长AD=，宽AB=，则AE=AD=又矩形AEFB与矩形ABCD相似=，即,即【总结升华】本题主
8、要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键3如图，ABC是一块直角三角形的木块，C=90，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.【思路点拨】要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.【答案与解析】(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CNAB于N交RS于M，而知CN=， 同样有得(cm)，x-y=0，故xy， 所以按正方形CDEF加工，
9、可得面积最大的正方形.【总结升华】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比举一反三：【变式】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似？【答案】设经x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD= 90，(1)当1=2时，有：， 即；(2)当1=3时，有：， 即 经过秒或2秒，PBQBCD.4.如图，
10、已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4下面结论：只有一对相似三角形；EF：ED=1：2；S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正确的结论是（ ）.A B C D【思路点拨】利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比（共底三角形的面积之比等于高之比）.【答案】B.【解析】ABDC，AEFCDF，但本题还有一对相似三角形是ABCCDA（全等是相似的特例）是错的，EF：ED=1：2,是错的SAEF：SCDF=1：4，SAEF：SADF=1：2S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，正确【
11、总结升华】和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角5（2019四川绵阳）已知ABC是等腰直角三角形，A=90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；(2)若BD是ABC的角平分线，如图3，求的值；(3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位
12、置；若不能，请说明理由. 图一 图二 图三【思路点拨】这是一道几何综合题，涉及到的考点有相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形【答案与解析】（1）设CD=AD=a，则AB=AC=2，在RtABD中，由勾股定理得：BD=，A=E=90，ADB=EDC，BADCED，解得：CE=，=.（2）过点D作DFBC于F，BD是ABC的平分线，AD=DF=m，ABC是等腰直角三角形，A=90DF=FC=m,即DC=m，AC=AB=（+1）m,则=，又BADCED,即=2.（3）当D在A点时，当D越来越接近C时，越来越接近无穷大，的取值范围是1设AB=AC=1，CD=x，AD=1-x，
13、在RtABD中，BD2=12+（1-x）2，又RtABDRtECD，即，解得：CE=，若y=，则有3x2-10x+6=0，0x1，解得x=，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大，探究的值能小于，此时AD=CD【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题类型三、位似图形【图形的相似 考点9 （1）】6 . 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点若ABC与A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_ 【思路点拨
14、】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心【答案与解析】连接BB1，A1A，易得交点为（9，0）【总结升华】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点举一反三：【变式】下列图形中不是位似图形的是( ).【答案】C.中考总复习：图形的相似-巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题（2019山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的，那么点B的坐标是（）A（3，2） B（2，3）C（2，3）或（2，3）D（3，2）或（3，2）. 如图
15、，ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：DE=1；ADEABC；ADE的面积与ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成、四个三角形OAOC=OBOD，则下列结论中一定正确的是()A和相似B和相似C和相似D和相似现给出下列四个命题：无公共点的两圆必外离；位似三角形是相似三角形；菱形的面积等于两条对角线的积；对角线相等的四边形是矩形其中真命题的个数是（）A1B2C3D4（2019山东东营）如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)以点C为位似中心，在x轴的下方
16、作ABC的位似图形ABC，并把ABC的边长放大到原来的2倍设点B的对应点B的横坐标是a，则点B的横坐标是（）ABCD如图，在平行四边形ABCD中（ABBC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：AO=BO；OE=OF；EAMEBN；EAOCNO，其中正确的是（）A B C D二、填空题7. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE，已知OA=10cm，OA=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长的比值是_ 第7题 第9题8. 如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形
17、的最长的边为39，那么较大的三角形的周长_，面积_9. 如图，在正三角形中，分别是，上的点，则的面积与的面积之比等于_10. 将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC6，BC8，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是_ 第10题 第11题11.已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），则AC的长为_ 12. 如图，不等长的两条对角线AC、BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有_三、解答题13. 已知线段OAOB，C为OB上中
18、点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，=时，求tanBPC；14. 已知：如图，在ABC中，AB=AC，DEBC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDF=ABE求证：（1）DEFBDE；（2）15如图,已知在等腰ABC中,A=B=30,过点C作CDAC交AB于点D.(1)尺规作图：过A，D，C三点作O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；(3)若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与BCO相似.若存在，
19、求出DP的长；若不存在，请说明理由.16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交AB于点E我们知道，结论“RtAEPRtDPC”成立（1）当CPD=30时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由【答案与解析】一选择题1【答案】2【答案】3【答案】；【解析】由OA：OC-=0B：OD，利用对顶角相等，两三角形相似，与相似，问题可求4【答案】5【答案】；【解析】点C的坐标是（-1，0）以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似
20、图形ABC，并把ABC的边长放大到原来的2倍点B的对应点B的横坐标是a，FO=a，CF=a+1，CE=（a+1），点B的横坐标是：-（a+1）-1=-（a+3）故选D6【答案】；【解析】根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AOBO，即可求得错误；易证AOECOF，即可求得EO=FO；根据相似三角形的判定即可求得EAMEBN；易证EAOFCO，而FCO和CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误二填空题7【答案】8【答案】90，2709【答案】:3;【解析】首先根据题意求得：DFE=FED=EDF=60，即可证得DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到
21、边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果10【答案】4，【解析】根据折叠得到BF=BF，根据相似三角形的性质得到，设BF=x，则CF=8-x，即可求出x的长，得到BF的长11.【答案】12【答案】甲和丙相似【解析】，ABCD，BAO=DCO，ABO=CDO，AOBCOD故必有甲和丙相似三.综合题13【解析】（1）过C作CEOA交BD于E，则BCEBOD得CE=OD=AD；再由ECPDAP得；（2）过C作CEOA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，由BCEBOD得CE=OD=x，再由ECPDAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE
22、=x，则，可得PD=AD=x，则BPC=DPA=A，tanBPC=tanA=。14【解析】（1）AB=AC，ABC=ACBDEBC，ABC+BDE=180，ACB+CED=180BDE=CEDEDF=ABE，DEFBDE（2）由DEFBDE，得 由DEFBDE，得BED=DFEGDE=EDF，GDEEDF 15【解析】（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆.（2）CDAC,ACD=90.AD是O的直径连结OC，A=B=30,ACB=120,又OA=OC,ACO=A=30,BCO=ACB-ACO=120-30=90.BCOC,BC是O的切线.（3）存在.BCD=ACB-ACD=120-90=30,BCD=B,即DB=DC.又在RtACD中，DC=AD,BD=.过点D作DP1/OC，则P1DBCOB,，BO=BD+OD=,P1D=OC=.过点D作DP2AB,则BDP2BCO,，BC.16【解析】（1）在RtPCD中，由tanCPD=，得PD=4，AP=AD-PD=10-4由AEPDPC知，,AE=10-12（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x由AEPDPC，知=2=2，解得x=8此时AP=4，AE=4符合题意故存在点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍，DP=8
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