2020年数学中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算含解析

1、2020年中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算【考纲要求】1了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】 【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距正多边形中心到正

2、多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆. （3）把圆分成n(n3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中

3、心当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的

4、面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关

5、计算1如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点ABCD分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（）A26rh B24rh+rh C12rh+2rh D24rh+2rh【思路点拨】截面的周长等于12个圆的直径和1个半径为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可【答案】D；【解析】解：由图形知，正方形ABCD的边长为6r，其周长为46r=24r，截面的周长为：24r+2r，组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2r）h=24rh+2rh故选D【总结升华】本题考查了相切两圆的性质及扇形的

6、面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面.举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是_米【答案】. 解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C，所以ABAO1+O1C+BC【正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是_.【答案】【正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习2】【变式3】正n边形的内切圆与外接圆的面积之比是()A. B. C. D. 【答案】B.类型二、正多边形与圆有关面积的计算2(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90，分别以OA，OB为直径在扇形内

7、作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )APQ BPQ CPQ D无法确定 (2)如图(b)，ABC为等腰直角三角形，AC3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是_(3)如图(c)，AOB中，OA3cm，OB1cm，将AOB绕点O逆时针旋转90到AOB，求AB扫过的区域(图中阴影部分)的面积(结果保留)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算： ； (2)(转化法“凑整”)利用，

8、则阴影部分的面积可转化为ACD的面积，等于ABC面积的一半，答案为；(3)(旋转法)将图形ABM绕点O逆时针旋转到ABM位置，则【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法举一反三：【变式】如图，在ABC中，ABAC，AB8，BC12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A B C D【答案】 解：如图，由AB，AC为直径可得ADBC，则BDDC6在RtABD中， 答案选D.3如图所示，A是半径为2的O外一点，OA4，AB是O的切线，B为切点，弦BCOA，连AC，求阴影部分的面积【思路点拨】

9、图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB、OC，由BCOA，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC去求解【答案与解析】 解：如图所示，连OB、OC BCOA OBC和ABC同底等高， SABCSOBC， AB为O的切线， OBAB OA4，OB2， AOB60 BCOA， AOBOBC60 OBOC， OBC为正三角形 COB60， 【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等

10、分点，则阴影部分的面积等于_ 【答案】解：连接OC、OD、CD C、D为半圆的三等分点， AOCCODDOB 又 OCOD， OCDODC60， DCAB， ， 4如图所示，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，若OA1，12，则扇形OEF的面积为（ ） A B C D【思路点拨】根据弧长公式面积公式，看已知什么条件，还缺什么条件，如何求出所缺条件【答案与解析】解：连接OB，由四边形OABC为菱形，可得OCCBOB， OBC为等边三角形， BOC60，同理AOB60，又12， 1+BOE2+BOEAOB60 EOF120， 扇形OEF中n120，R1 答案：C【总结升华】求弧长的有

11、关计算中，常作出该弧所对的圆心角5将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（）对应的中心角（AOB）为120，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】 看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB和一个RtBOC组成，其中扇形AOB的中心角是，AO的长为4，RtBOC中，OBOA4，BOC60， 可求得BC长和OC长，从而可求得面积，阴影部分面积扇形AOB面积+BOC面积【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是

12、寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成. 举一反三：【变式】如图，矩形ABCD中，AB1，以AD的长为半径的A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为_【答案】. 解析：连接AE，易证ABBE1，BAE45，所以EAD45，所以 6如图，AB是O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交O于点E已知AB8，P=30（1）求线段PC的长；（2）求阴影部分的面积【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定

13、义得到tanP为P的对边OC与邻边PC的比值，根据P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的长； （2）由直角三角形中P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出AOC的度数，进而得出BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为BOC的平分线，可求出COD度数为60，再根据直角三角形中两锐角互余求出OCD度数为30，根据30角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形C

14、OD的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积【答案与解析】解：（1）连接OC，PC切O于点C，OCPC，AB=8，OC=AB=4，又在直角三角形OCP中，P=30，tanP=tan30=，即PC=4；（2）OCP=90，P=30，COP=60，AOC=120，又ACOE，OA=OC，OD为AOC的平分线，COE=AOC=60，又半径OC=4，S扇形OCE=，在RtOCD中，COD=60，OCD=30，OD=OC=2，根据勾股定理得：CD=，SOCD=DCOD=22=2，则S阴影=S扇形OCE-SOCD=【总结升华】此题考查了切线的性质，含30角的直角三角形的性质

15、，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1在半径为12的O中，60的圆心角所对的弧长是（ ）A6 B4 C2 D2一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ） A1 B C D3如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( )A2 B3 C D4已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为120的扇形，则该圆锥的底面半径等于( ) A9 B27 C3 D105如图

16、所示在ABC中，ABAC，AB18，BC12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D6如图所示，已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是（ ）A24 B30 C48 D60 二、填空题7已知扇形的半径为3cm，面积为3cm2，则扇形的圆心角是_，扇形的弧长是_cm（结果保留）.8如果圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，那么它的侧面积等于_cm29如图所示，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是_10如图所示，矩形ABCD中，AB1，AD，以AD的长为

17、半径的A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为_ 11如图所示，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的体积是_12如图所示，扇形OAB，AOB90，P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与P的面积比是_ 三、解答题13如图所示，梯形ABCD中，ADBC，C90，ABAD4，BC6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分)，求阴影部分的面积及扇形的弧长 14. 如图所示，已知在O中，AB，AC是O的直径，ACBD于F，A30(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆

18、锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径15如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，ACPC，COB2PCB(1)求证：PC是O的切线；(2)求证：；(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB4，求MNMC的值16. 如图，ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，MACABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DEAB于E，交AC于F(1)求证：MN是半圆的切线；(2)求证：FDFG(3)若DFG的面积为4.5，且DG3，GC4，试求BCG的面积【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】直接用公式. 2.【答案】C；【解析】， 3.【

19、答案】D；4.【答案】C；【解析】设该圆锥的底面半径为r，则，解得r3 5.【答案】D；【解析】可转化为以AB为直径的圆的面积减去ABC的面积 6.【答案】D；【解析】母线长为10，二、填空题7【答案】120，2；【解析】直接代公式，.8【答案】18；【解析】圆锥的侧面积公式为Sra，所以S3618(cm2)9【答案】6； 【解析】4条弧长的和可以看作是4个圆的周长减去四个圆在四边形ABCD内的四条弧的长，又由A+B+C+D360， 四边形ABCD内的四条孤长的和为一个圆的周长，所以所求的四条弧长之和为3个圆的周长：32r321610【答案】；【解析】连接AE，易证ABBE1，AEB45， E

20、AD45， 11【答案】； 【解析】可求圆锥底面半径，高，代公式 12【答案】:1； 【解析】连接OC，PE、PF，则四边形OEPF是正方形，设PEr，则， 而三、解答题13.【答案与解析】 解 设切点为E，连接AE，则AEBC CD90， 四边形ADCE是矩形 CEAD4 BC6， BE2 BEAB， BAE30，AE DAB120 14.【答案与解析】 解：（1）连BC， AC为O的直径， ABC90， AB，A30， AC2BC，由勾股定理可求AC8，又易求BOD120， （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2r， ， 15.【答案与解析】 (1)证明： OAOC， AACO COB

21、A+ACO， COB2A， COB2PCB， AACOPCB AB是O的直径， ACO+OCB90 PCB+OCB90，即OCCP OC是O的直径， PC是O的切线 (2)证明： PCAC， AP，AACOPCBP COBA+ACO，CBOP+PCB， CBOCOB BCOC， ， (3)解：如图，连接MA，MB 点M是的中点， ， BCMABM BMCBMN， MBNMCB， ， BM2MCMN AB是O的直径， AMB90，AMBM AB4， ， MCMNBM2816.【答案与解析】 (1)证明： AB是直径， ACB90， CAB+ABC90， MACABC， MAC +CAB90，即MAAB， MN是半圆的切线(2)证明：连接AD，则12 AB是直径， ADB90 1+DGF90又 DEAB， 2+FDG90 FDGFGD FDFG(3)解：过点F作FHDG于H又 DFFG， ， AB是直径，FHDG， CFHG90 HGFCGB， FGHBGC