2018年北京市通州区高考数学三模试卷（理科）含答案解析

1、2018 年北京市通州区高考数学三模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）若集合 Ax| x0，Bx|x 21，则 AB（ ）A x|x1 Bx|x0 C x|1x0 D x|0x12 （5 分）复数（1i） （3+i）在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A B C D4 （5 分）如果 x，y 满足 ，那么 的最大值为（ ）A B C1 D25 （5 分）已知函数 f（x ）xsinx ，则 f（ ） 、f （

2、1） 、f（ ）的大小关系为（ ）A BC D6 （5 分）已知非零向量 ， ， 则“ ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件第 2 页（共 22 页）C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A B C D8 （5 分）标准的围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现“黑” “白”“空”三种情况，因此有 3361 种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 1000052，下列数据最接近 的是 （lg 3

3、 0.477） （ ）A10 37 B10 36 C10 35 D10 34二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）双曲线 y 21 的顶点到其渐近线的距离等于 10 （5 分）等差数列a n满足 a11，a 35，若 a2，a 5， am 成等比数列，则 m 11 （5 分）在极坐标系中，曲线 cos1 与 2sin 的公共点到极点的距离为 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位第 3 页（共 22 页）圆交于点 ，则 13 （5 分）能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 abbc”是假命题的一组

4、整数 a，b，c 的值依次为 14 （5 分）设 f（x ）是定义在 D 上的函数，若存在两个不相等的实数 x1，x 2D，使得，则称函数 f（x ）具有性质 P那么下列函数中f （x ）x 3；f（x）lnx ；f （x）| x21|；f（x）e |x|2 具有性质 P 的所有序号是 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）在ABC 中，sinC3sin B，A60，b1（）求 a 的值；（）求 tanB 的值16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面ABCD， PAAD，ABBC， ADBC ，PAABBC 1，A

5、D 2，E 是棱 PC 上一点，平面 AED 与棱 PB 交于点 F（）求证：ADEF ；（）求二面角 APDC 的余弦值；（）是否存在点 E，使得 AE平面 PCD？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由17 （13 分）某公司（人数众多）为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到 100 位员工每人手机月平均使用流量 L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图所示：将频率视为概率，以直方图给的数据作为依据，回答以下问题：第 4 页（共 22 页）（）从该公司的员工中随机抽取 3 人，求这 3 人中至少有 1 人手机月流量不低于700M

6、 的概率；（）据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M）A 20 700B 30 1000流量套餐的规则是：每月 1 日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含 200M 的流量）需要 10 元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，保证员工的流量使用，并支付所有费用你认为该企业订购哪一款套餐更经济？请说明理由18 （14 分）已知抛物线 C： y22px（p0） ，直线 l 与抛物线 C 交于两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）

7、 （）若直线 l 经过抛物线 C 的焦点，|AB| 3p，求 x1+x2 的值；（）若直线 l 过点 M（m， 0） （m 0） ，问在 x 轴上是否存在一点 N，使得ANM 与BNM 的面积之比始终为|AN|：| BN|，若存在，请求出点 N 坐标；若不存在，说明理由19 （13 分）已知函数 ，其中 ，a2（）若 a，判断函数 f（x）的单调性；（）求函数 f（x ）的最大值20 （13 分）若数列b n满足：对于 nN*，都有 bn+2b nd（常数） ，则称数列 bn是公第 5 页（共 22 页）差为 d 的准等差数列（）若 判断c n是否为准等差数列，并求出c n的第 8项，第 9

8、项以及前 9 项的和 T9；（）设数列a n满足：a 1a，且对于 nN*，都有 an+an+12n 成立， an的前 n 项和为 Sn（i）求证：a n为准等差数列，并求其通项公式；（ii）求证：a n为等差数列的充分必要条件是 第 6 页（共 22 页）2018 年北京市通州区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）若集合 Ax| x0，Bx|x 21，则 AB（ ）A x|x1 Bx|x0 C x|1x0 D x|0x1【分析】化简集合 B，根据交集的定义写出 AB【解答】

9、解：集合 Ax| x0，B x|x21x| x1 或 x1 ，ABx|x1故选：A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）复数（1i） （3+i）在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案【解答】解：（1i） （3+i ）42i，复数（1i） （3+i）在复平面内对应的点的坐标为（4， 2） ，在第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）第 7 页（共 22 页

10、）A B C D【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S+ + 的值，利用裂项法即可计算得解【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S+ + 的值，由于 S + + 2 （1 ）+（ ）+（ ） 故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4 （5 分）如果 x，y 满足 ，那么 的最大值为（ ）A B C1 D2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识， 表示可行域内点于定点 P（0，1）连线的斜率即可求出最值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，

11、 表示可行域内点于定点 P（0，1）连线的斜率，由图象可知动点为 A 时，此时斜率最大，即为 故选：B第 8 页（共 22 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法5 （5 分）已知函数 f（x ）xsinx ，则 f（ ） 、f （1） 、f（ ）的大小关系为（ ）A BC D【分析】判断函数 f（x ）xsinx 是偶函数，推出 ，利用导数说明函数在（ ，0）时，得 y0，函数是减函数，从而判断三者的大小【解答】解：由于 f（x ）xsin（x ）xsinxf （x）则 f（x）为偶函数， ；又由 f（x） sinx+xcosx 在（ ，0）内有 f

12、（x）0，所以 f（x）在（ ，0）内递减，因为 ，所以 ，故 ，故选：A【点评】本题是中档题，考查正弦函数的单调性，奇偶性，导数的应用，考查计算能力，导数大于 0，函数是增函数，是解题的关键第 9 页（共 22 页）6 （5 分）已知非零向量 ， ， 则“ ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】若 pq，则 p 是 q 的充分条件；若 pq，则 p 是 q 的必要条件由此可判断充要条件【解答】解：非零向量 ， ， 则“ ”不一定推出“ ”，也可能是“ ”，反之，一定成立，所以非零向量 ， ， 则“ ”是“ ”的必要而不充分条件故

13、选：B【点评】本题考查了向量数量积、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A B C D【分析】由已知中的三视图可得该几何体是正方体的一部分的三棱锥，利用三视图的数据转化求解几何体的体积【解答】解：几何体是直观图如图：三棱锥 ABCD，把三棱锥扩展为三棱柱如图ACFBED ，第 10 页（共 22 页）所以三棱锥的体积为： 故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键8 （5 分）标准的围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现“黑

14、” “白”“空”三种情况，因此有 3361 种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 1000052，下列数据最接近 的是 （lg 3 0.477） （ ）A10 37 B10 36 C10 35 D10 34【分析】根据题意，对 取对数可得lg lg3 361lg10000 52361lg352435.8，即可得第 11 页（共 22 页）10 35.8 ，分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，对于 ，有lg lg3 361lg10000 52361lg352435.8，则 10 35.8 ，分析选项

15、：B 中 1036 与其最接近，故选：B【点评】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）双曲线 y 21 的顶点到其渐近线的距离等于 【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：双曲线 y 21 的顶点坐标（2，0） ，其渐近线方程为 y x，所以所求的距离为 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10 （5 分）等差数列a n满足 a11，a 35，若 a2，a 5， am 成等比数列，则 m 14 【分析】利用等差数列求出 a5，然后通过 a2，a 5，a m

16、 成等比数列，列出方程求解 m 即可【解答】解：等差数列a n满足 a11，a 35，所以 a2 3，可得 a52519a2，a 5，a m 成等比数列，可得：9 23a m，a m27，271+（m1 ）2，解得 m14第 12 页（共 22 页）故答案为：14【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力11 （5 分）在极坐标系中，曲线 cos1 与 2sin 的公共点到极点的距离为 【分析】曲线 cos1 与 2sin 的直角坐标方程为 x1 和 x2+y22y ，联立方程组求出曲线 cos1 与 2sin 的公共点的直角坐标，极点的直角坐标为（0，0） ，由此能求出曲线 c

17、os1 与 2sin 的公共点到极点的距离【解答】解：曲线 cos1 与 2sin 的直角坐标方程为 x1 和 x2+y22y ，联立 ，得曲线 cos1 与 2sin 的公共点的直角坐标为（1，1） ，极点的直角坐标为（0，0） ，曲线 cos 1 与 2sin 的公共点到极点的距离为 d 故答案为： 【点评】本题考查两点间距离的求法，考查极坐标、直角坐标的互化、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点 ，则 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 sin、c

18、os 的值，再利用两角和的正弦公式求出 的值【解答】解：由题意可得 y ，故 sin y ，cos ， sin cos+cos sin + ，故答案为： 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式的应用，属于基础题13 （5 分）能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 abbc”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 1，0，2 【分析】令整数 a，b，c 的值依次为 1，0，2，可得命题“设 a，b，c 是任意实数，第 13 页（共 22 页）若 abc，则 abbc ”是假命题【解答】解：设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 abbc”是假命题，可设

19、a，b，c 的值依次 1，0，2， （答案不唯一） ，故答案为：1，0，2， （答案不唯一）【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题14 （5 分）设 f（x ）是定义在 D 上的函数，若存在两个不相等的实数 x1，x 2D，使得，则称函数 f（x ）具有性质 P那么下列函数中f （x ）x 3；f（x）lnx ；f （x）| x21|；f（x）e |x|2 具有性质 P 的所有序号是 【分析】利用新定义，判断函数图象是否存在 3 点满足中心对称，判断即可【解答】解：f（x ）是定义在 D 上的函数，若存在两个不相等的实数 x1，x 2D，使得 ，则称函数 f（x ）具有性质 P

20、说明函数的图象上存在 3 个点，具有对称性，因为 f（x）x 3；是奇函数关于原点对称，所以满足题意；f（x）lnx 是单调增函数，不存在满足题意的 3 点，所以不正确；f（x）|x 21|当 x 时 f（ ）f（0）1 1；满足题意；f（x）e |x|2，函数是偶函数，关于 y 轴对称，x0 时是增函数，x0 是单调减函数，没有满足题意的 3 点，所以不正确故答案为： 【点评】本题考查命题的直接的判断与应用，函数与方程的综合应用，仔细分析已知条件，转化求解是解题关键三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）在ABC 中，sinC3sin B，

21、A60，b1（）求 a 的值；（）求 tanB 的值【分析】 （）由已知及正弦定理得 c3b，可求 c 的值，由余弦定理可求 a 的值第 14 页（共 22 页）（）由 sinC3sin B，A60，利用三角函数恒等变换的应用可求 tanB 的值【解答】解：（）由 sinC3sinB 及正弦定理得：c 3b，因为 b1，所以 c3由余弦定理得 a2b 2+c22bccosA 所以 （）因为 sinC3sin B，A60，所以 sin（120B）3sinB即 ，所以 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16 （14 分）如图，在四

22、棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面ABCD， PAAD，ABBC， ADBC ，PAABBC 1，AD 2，E 是棱 PC 上一点，平面 AED 与棱 PB 交于点 F（）求证：ADEF ；（）求二面角 APDC 的余弦值；（）是否存在点 E，使得 AE平面 PCD？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【分析】 （）由 ADBC，得 BC平面 ADEF，从而 BCEF，由此利用平行公理能证明 ADEF（）推导出 PAAD ，PAAB，ABAD，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法第 15 页（共 22 页）能求出二面角 APDC 的余弦值（）设 ，0，1 ，则推导出 时，AE平面

23、PCD从而【解答】证明：（）因为 ADBC，E 是棱 PC 上一点，平面 AED 与棱 PB 交于点FAD平面 ADEF，BC平面 ADEF，所以 BC平面 ADEF，平面 ADEF 平面 PBCEF，EF平面 PBC，且 EF平面 ADEF，EF 与 BC 共面于平面 PBC，且 EF 与 BC 不相交，BCEF， ADEF解：（）因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD ，PA平面PAD，PAAD，所以 PA平面 ABCD所以 PAAB 因为 ABBC， ADBC，所以 ABAD如图，建立空间直角坐标系 Axyz由 PAABBC1，AD2，可得 A（0，0，0） ，C

24、（1，1，0） ，D（2，0，0） ，P（0，0，1） ， 设平面 PCD 的一个法向量 （x，y，z） ，由 ，得 ，令 x1，得 y1，z2，所以 （1，1，2） 因为 ABAD ，ABAP，ADAPA，所以 AB平面 PAD所以平面 PAD 的法向量 （0，1，0） cos 由图可知二面角 APDC 为锐角，第 16 页（共 22 页）所以二面角 APDC 的余弦值为 （）设 ，0，1 ，当 ，即（， ，1） （1，1，2 ） ，时，AE平面 PCD此时 【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

25、关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17 （13 分）某公司（人数众多）为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到 100 位员工每人手机月平均使用流量 L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图所示：将频率视为概率，以直方图给的数据作为依据，回答以下问题：（）从该公司的员工中随机抽取 3 人，求这 3 人中至少有 1 人手机月流量不低于700M 的概率；（）据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M）A 20 700第 17 页（共 22 页）B 30 1

26、000流量套餐的规则是：每月 1 日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含 200M 的流量）需要 10 元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，保证员工的流量使用，并支付所有费用你认为该企业订购哪一款套餐更经济？请说明理由【分析】 （）依题意， （0.0008+0.0022+a+0.0035+0.0008+0.0002）1001解得a从该公司的员工中随机抽取 3 人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量超过700M 的概率为 1（0.0008+0.0022）100设事件 A 为“没有人的手机流

27、量超过700M”，可得 P（A ）0.3 3利用相互对立事件的概率计算公式可得：这 3 人中至少有1 人手机月流量超过 700M 的概率（）若该公司选择 A 套餐，设一个员工的所需费用为 X，则 X 可能为20，30，40根据频率分布直方图，将频率视为概率，可得 X 的分布列及其 EX若该公司选择 B 套餐，设一个员工的所需费用为 Y，可得 Y 可能为 30，40同理可得 Y 的分布列与数学期望【解答】解：（）依题意， （0.0008+0.0022+a+0.0035+0.0008+0.0002）1001得 a0.0025从该公司的员工中随机抽取 3 人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量

28、超过700M 的概率为 1（0.0008+0.0022）1000.7设事件 A 为“没有人的手机流量超过 700M”，则 P（A）0.3 30.027第 18 页（共 22 页）所以这 3 人中至少有 1 人手机月流量超过 700M 的概率为 10.0270.973（）若该公司选择 A 套餐，设一个员工的所需费用为 X，则 X 可能为 20，30，40X的分布列为X 20 30 40P 0.3 0.6 0.1EX200.3+300.6+400.128若该公司选择 B 套餐，设一个员工的所需费用为 Y，则 Y 可能为 30，40Y 的分布列为Y 30 40P 0.98 0.02EY300.98+

29、400.0230.2因为 30.228，所以订购 A 套餐更经济【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （14 分）已知抛物线 C： y22px（p0） ，直线 l 与抛物线 C 交于两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （）若直线 l 经过抛物线 C 的焦点，|AB| 3p，求 x1+x2 的值；（）若直线 l 过点 M（m， 0） （m 0） ，问在 x 轴上是否存在一点 N，使得ANM 与BNM 的面积之比始终为|AN|：| BN|，若存在，请求出点 N 坐标；若不存在，说明理由【分析】 （）设抛物线 C

30、 的焦点为 F， ， ，利用|AB| AF|+|BF|x 1+x1+p，求解即可（）推出 SANM ：S BNM |AN|sinANM：|BN|sin BNM， “在 x 轴上存在一点 N，使得ANM 与BNM 的面积之比为| AN|：| BN|”，等价于“在 x 轴上存在一点 N，设 x轴上存在点 N（x 0，0）满足题意，直线 l 的方程为 xty+m联立 得y22pty2pm0利用韦达定理转化求解 kAN+kBN0，求出点 N（m，0）满足题意第 19 页（共 22 页）【解答】 （）解：设抛物线 C 的焦点为 F，则 ， ，所以|AB| AF|+|BF|x 1+x1+p，所以 x1+x

31、1+p3p，x 1+x12p（）解：因为 ， ，所以 SANM ：S BNM |AN|sinANM：|BN|sin BNM，所以“在 x 轴上存在一点 N，使得ANM 与BNM 的面积之比为|AN |：|BN |”，等价于“在 x 轴上存在一点 N，使得 sinANMsinBNM” ，依题意等价于“ANMBNM” ，即“k AN+kBN0” 设 x 轴上存在点 N（x 0，0）满足题意，直线 l 的方程为 xty+m由 得 y22pty 2pm0所以 y1+y22pt，y 1y22pm. 若 t0，则 kAN+kBN0，即 x 轴上除点 M 的任意一点均满足题意；若 t0，令 ，得 x0m点

32、N（m，0）满足题意综上，存在一点 N（m，0） ，使得ANM 与BNM 的面积之比始终为|AN |：|BN| 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力19 （13 分）已知函数 ，其中 ，a2（）若 a，判断函数 f（x）的单调性；第 20 页（共 22 页）（）求函数 f（x ）的最大值【分析】 （）a，则 ，法一：令 g（x）2+sin x（x）cosx，g（x）（x ）sinx0，判断函数的单调性即可法二：令 g（x）2+sin x+（ x）cosx，当 时，sinx0， （x）0，cosx0，f （x ）0 对 成立，判断函数的单调性即可（）解： ，令

33、h（x）2+sinx（xa）cosxh （x）（xa）sinx令 h（x）0，得到 xa 当 ，求解函数 f（x ）的最大值；当 ，h（x）0，函数h（x）在区间 上递减，函数 f（x）在区间 上单调递增，转化求解函数的最大值即可【解答】 （）解：若 a，则 ，法一：令 g（x）2+sinx （x） cosx，g（x）（x ）sinx0所以 g（x）在区间 单调递减，且有所以 f（x ）0，函数 f（x ）在区间 上单调递增；法二：令 g（x）2+sinx +（x）cosx，因为当 时，sinx 0， （x）0，cosx0所以 g（x）0 对 成立，所以 f（x ）0 对 成立，函数 f（x）

34、在区间 上单调递增；（）解：令 h（x）2+sinx （xa）cosxh（x）（xa）sinx令 h（x ）0，得到 xa当 ，xa 是函数 h（x）的极小值点，也是最小值点第 21 页（共 22 页）因为 h（a）2+sina0，所以函数 f（x）在区间 上单调递增，f（x）的最大值；当 ，h（x）0，函数 h（x）在区间 上递减，所以函数 f（x）在区间 上单调递增，函数 f（x）的最大值 ；当 a2，0 时 h（x）0，h（0）2+a，h（0）0，所以函数 f（x）在区间 上递增，函数 f（x）的最大值 ；综上所述，当 a2 时，函数 f（x ）的最大值为 【点评】本题考查函数的导数的应

35、用，函数的最值以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力20 （13 分）若数列b n满足：对于 nN*，都有 bn+2b nd（常数） ，则称数列 bn是公差为 d 的准等差数列（）若 判断c n是否为准等差数列，并求出c n的第 8项，第 9 项以及前 9 项的和 T9；（）设数列a n满足：a 1a，且对于 nN*，都有 an+an+12n 成立， an的前 n 项和为 Sn（i）求证：a n为准等差数列，并求其通项公式；（ii）求证：a n为等差数列的充分必要条件是 【分析】 （）直接利用数列的定义求出数列的通项公式和前 n 项和（）利用等差数列的定义和递推关系式的应用进行证明【

36、解答】 （）解：当 n 为奇数时，c n+2c n8，第 22 页（共 22 页）当 n 为偶数时，c n+2c n8，所以c n为准等差数列且 c841，c 935 （） （i）证明：因为 an+an+12n，an+1+an+22（n+1）得 an+2a n2所以，a n为公差为 2 的准等差数列当 n 为奇数时， ；当 n 为偶数时， ， （ii）证明：若a n为等差数列，设其公差为 d，则由 an+2a n2，得到 d1，又 a1+a22，求得 ，所以 所以 若 ，则 （其中 n2） 又 ，所以 ana n1 1，即a n为等差数列【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前 n 项和的应用