1、*1.3不共线三点确定二次函数的表达式知识点1用一般式求二次函数表达式1.某二次函数的图象经过点A(0,0),B(-1,-11),C(1,9),则这个二次函数的表达式是()A.y=-10x2+x B.y=-10x2+19xC.y=10x2+x D.y=-x2+10x2.已知一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5,则这个二次函数的表达式是()A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-53.已知二次函数的图象经过点(1,-2),(-1,2),(3,2),则该二次函数的表达式为.4.已知三个点的坐标,是否存在
2、一个二次函数的图象经过这三个点?若存在,请求出这个函数表达式;若不存在,请说明理由.(1)A(0,-1),B(1,2),C(-1,0); (2)A(0,-1),B(1,2),C(-1,-4).5.已知某二次函数的图象经过点A(-1,-5),B(0,-4)和C(1,1).(1)求二次函数的表达式;(2)判断点D(-2,-1)是否在此函数图象上.知识点2用交点式求二次函数表达式6.如图1-3-1,该抛物线表示的二次函数的表达式是()A.y=x2-x+2B.y=x2+x+2C.y=-x2-x+2D.y=-x2+x+2 图1-3-17.经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线表示的函
3、数的表达式是.8.已知抛物线与x轴交于点(-3,0),对称轴是直线x=1,且过点(2,5),求抛物线的函数表达式.9.已知抛物线经过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2,则这条抛物线表示的二次函数的表达式为()A.y=x2-x-2 B.y=-x2+x+2C.y=x2-x-2或y=-x2+x+2 D.y=-x2-x-2或y=x2+x+210.如图1-3-2,在平面直角坐标系中,抛物线与y轴交点的坐标是(0,5),且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点,则这条抛物线表示的二次函数的表达式是.图1-3-211.小明在画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列表如下:x
4、-1012345y830-1038请你根据表中信息,选择适当的方法,求出小明所画的二次函数的表达式.12.如图1-3-3,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)求抛物线表示的二次函数的表达式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,求此时抛物线所表示的函数的表达式. 图1-3-313.如图1-3-4,已知直线y=-12x+2与x轴,y轴分别交于点A,B,过A,B两点的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点C(-1,0).(1)求点A,B的坐标.(2)求抛物线表示的二次函数的表达式.(3)抛物线在x轴上方的部分是否
5、存在一点P,使得ACP的面积是ABO面积的2倍?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由,并求出能使ACP的面积最大的点P的坐标.图1-3-4教师详解详析1.D2.A3.y=x2-2x-1解析 设y=ax2+bx+c,把(1,-2),(-1,2),(3,2)分别代入,得到关于a,b,c的三元一次方程组a+b+c=-2,a-b+c=2,9a+3b+c=2,解方程组,得a=1,b=-2,c=-1,该二次函数的表达式为y=x2-2x-1.4.解:(1)存在.设二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点,则得到关于a,b,c的三元一次方程组c=-1,a+b+c=2,a-b+c=0,
6、解得a=2,b=1,c=-1.因此二次函数y=2x2+x-1的图象经过A,B,C三点.(2)不存在.理由:设二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点,则得到关于a,b,c的三元一次方程组c=-1,a+b+c=2,a-b+c=-4,解得a=0,b=3,c=-1.因此一次函数y=3x-1的图象经过A,B,C三点,这说明不存在一个二次函数的图象经过A,B,C三点.5.解:(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4),(1,1),a-b+c=-5,c=-4,a+b+c=1,解得a=2,b=3,c=-4,二次函数的表达式为y=2x2+3x-
7、4.(2)当x=-2时,y=-2,点D不在此抛物线上.6.D7.y=-38x2+34x+3解析 根据题意设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-4),把C(0,3)代入,得-8a=3,即a=-38,则抛物线的表达式为y=-38(x+2)(x-4)=-38x2+34x+3.8.解:由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点为(5,0),所以设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-5),再把点(2,5)代入,得-15a=5,解得a=-13,该抛物线的表达式为y=-13(x+3)(x-5)=-13x2+23x+5.9.C解析 抛物线与y轴交于点C,且OC=2,所以点C的坐标是(0,2)或(0,-
8、2).当点C的坐标是(0,2)时,图象经过A,B,C三点,可以设函数表达式为y=a(x-2)(x+1),把C(0,2)代入函数表达式,得-2a=2,a=-1,则函数表达式为y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2.同理可得当点C的坐标是(0,-2)时,函数表达式为y=x2-x-2.故这条抛物线表示的二次函数的表达式为y=-x2+x+2或y=x2-x-2.10.y=-524x2-112x+5解析 根据题意,得抛物线经过点(0,5),(-4,2),(2,4).设抛物线表示的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,则c=5,16a-4b+c=24a+2b+c=4,解得a=-524,b=-112,c
9、=5.故抛物线表示的二次函数的表达式为y=-524x2-112x+5.11.解:解法1:任选三个点的坐标代入,联立方程组,解得a=1,b=-4,c=3,代入表达式,得y=x2-4x+3.解法2:设二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3),再代入其他一个点的坐标,比如代入(0,3),得3a=3,解得a=1,代入表达式,得y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.解法3:从题中表格可以得出顶点坐标为(2,-1),设二次函数的表达式为y=a(x-2)2-1,再代入其他一个点的坐标,比如代入(0,3),得4a-1=3,解得a=1,代入表达式,得y=(x-2)2-1=x2-4x+3.12.解:(1)
10、把点A(0,3),B(3,0),C(4,3)代入y=ax2+bx+c,得c=3,9a+3b+c=0,16a+4b+c=3,解得a=1,b=-4c=3,所以抛物线表示的二次函数的表达式为y=x2-4x+3.(2)因为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,所以抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)由(1)得y=x2-4x+3=(x-2)2-1.平移后抛物线的顶点落在x轴上,此时抛物线所表示的函数的表达式为y=(x-2)2.13.解:(1)当x=0时,y=-120+2=2,则B(0,2);当y=0时,-12x+2=0,解得x=4,则A(4,0).(2)设抛物线表示的二次函数的表达
11、式为y=a(x+1)(x-4),把B(0,2)代入,得a1(-4)=2,解得a=-12,所以函数表达式为y=-12(x+1)(x-4),即y=-12x2+32x+2.(3)不存在.理由:假设存在点Pt,-12t2+32t+2(-1t4),使得ACP的面积是ABO面积的2倍,所以12(4+1)-12t2+32t+2=21224,整理,得5t2-15t+12=0,=(-15)2-45120,所以方程没有实数解,即抛物线在x轴上方的部分不存在点P,使得ACP的面积是ABO面积的2倍.当P为抛物线的顶点时,ACP的面积最大.因为y=-12x2+32x+2=-12x-322+258,所以此时点P的坐标为32,258.
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