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    2019—2020学年人教版九年级数学上册第一次月考试卷(含答案解析)

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    2019—2020学年人教版九年级数学上册第一次月考试卷(含答案解析)

    1、20192020年九年级上学期第一次月考数学试卷考生注意:1.考试时间120分钟. 2. 全卷共三大题,满分120分. 题号一二三总分2122232425262728分数一选择题(每题3分,共30分)1.若关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值为()A.0 B. 8 C. 422 D. 0或82.某校九年级学生毕业时,每名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念.全班共送了2 070张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x-1)=2 070 B. x(x+1)=2 070C. 2x(x+1)=2 070 D.x(x-1)2=

    2、2 0703.“五一”期间,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,则这次参加比赛的队伍有()A. 12支 B. 11支 C. 9支 D. 10支4二次函数y=a(x+k)2+k(a0),无论k取何值,其图象的顶点都在()A直线y=x上B直线y=-x上C.x轴上Dy轴上5把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是()Ay=(x+2)2+2By=(x+2)2-2 C.y=x2+2Dy=x2-26把二次函数y=x23x的图象向上平移3个单位,再向右平移4个单位,则两次平移后的图象的解析式是()Ay=(x1)2+7By=(x

    3、+7)2+7 Cy=(x+3)2+4Dy=(x1)2+17把160元的电器连续两次降价后的价格为y元,若平均每次降价的百分率是x,则y与x的函数关系式为()Ay=320(x1)By=320(1x)Cy=160(1x2)Dy=160(1x)28已知函数y=(k3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()Ak4Bk4Ck4且k3Dk4且k39三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x216x+60=0一个实数根,则该三角形的面积是()A24B48C24或8D810函数y=ax22x+1和y=ax+a(a是常数,且a0)在同一直角坐标系中的图象可能是()ABCD二填空题(每小题

    4、3分,共18分)11已知(1,y1),(2,y2),(3,y3)都在函数y=x2图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 (用“”连接)12参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛90场设共有x个队参加比赛,则依题意可列方程为 13关于x的一元二次方程x25x+k=0有两个不相等的实数根,则k可取的最大整数为 14已知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)23的图象上,当2x1时,y的取值范围是 15如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,2),(1,0),顶点C在函数y=x2+bx1的图象上,将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形ABCD,点D

    5、的对应点D落在抛物线上,则点D与其对应点D间的距离为 第15题图第16题图 16如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)对于下列命题:b2a=0;abc0; a2b+4c08a+c0,其中正确的有 三、解答题(共102分)17(10分)解方程(1)x24x=0 (2)2x2+3=7x18(8分)已知x1=1是方程x2+mx5=0的一个根,求m的值及方程的另一根x219(8分)在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过(2,2),(0,2),函数的最小值是4(1)求二次函数的解析式(2)当自变量的取值范围为什么时,该二次函数的图象在横轴上方?请直接写出答案

    6、20(10分)某商店进行促销活动,如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品的单价每涨1元,其销售量就要减少10件,问将售价定为多少元/件时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润21(8分)已知:关于x的一元二次方程mx2(2m2)x+m=0有实根(1)求m的取值范围;(2)若原方程两个实数根为x1,x2,是否存在实数m,使得+=1?请说明理由22(8分)一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道中公路的宽度AB=8m,隧道的最高点C到公路的距离为6m(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的表达式;(2)现有一辆货车的

    7、高度是4.4m,货车的宽度是2m,为了保证安全,车顶距离隧道顶部至少0.5m,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道23(10分)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料(1)设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2(2)当BC为何值时,矩形ABCD的面积有最大值?并求出最大值24(10分)如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(4,4)点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也

    8、停止运动连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与y轴交于点E,连接PE设点P运动的时间为t(s)(1)PBD的度数为 ,点D的坐标为 (用t表示);(2)当t为何值时,PBE为等腰三角形?(3)探索POE周长是否随时间t的变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个定值25(10分)已知直线l:y=2,抛物线C:y=ax21经过点(2,0)(1)求a的值;(2)如图,点P是抛物线C上任意一点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q求证:PO=PQ;(3)请你参考(2)中的结论解决下列问题1如图,过原点作直线交抛物线C于A,B两点,过此两点作直线l的垂线,垂足分别为M,

    9、N,连接ON,OM,求证:OMON;2如图,点D(1,1),使探究在抛物线C上是否存在点F,使得FD+FO取得最小值?若存在,求出点F的坐标,若不存在,请说明理由参考答案与试题解析一选择题(每题3分,共30分)1.若关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值为()A.0 B. 8 C. 422 D. 0或8【答案】D解析:因为方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,所以(m-2)2-41(m+1)=0,解得m1=0,m2=8,故选D.2.某校九年级学生毕业时,每名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念.全班共送了2 070张相片,如果

    10、全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x-1)=2 070 B. x(x+1)=2 070C. 2x(x+1)=2 070 D.x(x-1)2=2 070【答案】 A解析:每人要赠送(x-1)张相片,有x个人,全班共送了2 070张相片.可列出方程(x-1)x=2 070,故选A.3.“五一”期间,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,则这次参加比赛的队伍有()A. 12支 B. 11支 C. 9支 D. 10支【答案】D解析:设队数是x,则每队参加(x-1)场比赛,而任何两队都只赛一场,所以共举行x(x-1)场比赛.因为共进行了45场比赛,

    11、所以x(x-1)=45,解得x=10或-9(不合题意,舍去),只取x=10,所以这次有10支队伍参加比赛,故选D.4.二次函数y=a(x+k)2+k(a0),无论k取何值,其图象的顶点都在()A直线y=x上B直线y=-x上C.x轴上Dy轴上【答案】选B.顶点为(-k,k),当x=-k时,y=k=-(-k)=-x,故图象顶点在直线y=-x上.【互动探究】若题目中的二次函数“y=a(x+k)2+k(a0)”改为“y=a(x-k)2+k(a0)”,则无论k取何值,其图象的顶点都在哪条直线上?【解析】二次函数y=a(x-k)2+k(a0)的顶点为(k,k),此时x=k,y=k,即y=x,所以图象顶点在

    12、直线y=x上.5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是()Ay=(x+2)2+2By=(x+2)2-2C.y=x2+2Dy=x2-2【答案】选D.【解析】选D.抛物线y=(x+1)2的顶点为(-1,0),平移后的顶点为(0,-2),所以得到的抛物线的解析式为y=x2-2.6.把二次函数y=x23x的图象向上平移3个单位,再向右平移4个单位,则两次平移后的图象的解析式是()Ay=(x1)2+7By=(x+7)2+7 Cy=(x+3)2+4Dy=(x1)2+1【答案】A【分析】利用抛物线的性质【解答】解:把抛物线的表达式化为顶点坐标式,y=x23x=(x+

    13、3)2+4按照“左加右减,上加下减”的规律,向上平移3个单位,再向右平移4个单位,得到y=(x1)2+7故选A【点评】此题不仅考查了对平移的理解,同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力7把160元的电器连续两次降价后的价格为y元,若平均每次降价的百分率是x,则y与x的函数关系式为()Ay=320(x1)By=320(1x)Cy=160(1x2)Dy=160(1x)2【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160(1x),第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的,为160(1x)(1x),由此即可得到函数关系式【解答】解:第一次降价后的价格是160(1x),第二次降价为160(1

    14、x)(1x)=160(1x)2则y与x的函数关系式为y=160(1x)2故选:D【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式,需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的,所以会出现自变量的二次,即关于x的二次函数8已知函数y=(k3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()Ak4Bk4Ck4且k3Dk4且k3【分析】分为两种情况:当k30时,(k3)x2+2x+1=0,求出=b24ac=4k+160的解集即可;当k3=0时,得到一次函数y=2x+1,与x轴有交点;即可得到答案【解答】解:当k30时,(k3)x2+2x+1=0,=b24ac=224(k3)1=4k+16

    15、0,k4;当k3=0时,y=2x+1,与x轴有交点故选:B【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点,根的判别式,一次函数的性质等知识点的理解和掌握,能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键9三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x216x+60=0一个实数根,则该三角形的面积是()A24B48C24或8D8【分析】先利用因式分解法解方程得到所以x1=6,x2=10,再分类讨论:当第三边长为6时,如图,在ABC中,AB=AC=6,BC=8,作ADBC,则BD=CD=4,利用勾股定理计算出AD=2,接着计算三角形面积公式;当第三边长为10时,利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形

    16、,然后根据三角形面积公式计算三角形面积【解答】解:x216x+60=0(x6)(x10)=0,x6=0或x10=0,所以x1=6,x2=10,当第三边长为6时,如图,在ABC中,AB=AC=6,BC=8,作ADBC,则BD=CD=4,AD=2,所以该三角形的面积=82=8;当第三边长为10时,由于62+82=102,此三角形为直角三角形,所以该三角形的面积=86=24,即该三角形的面积为24或8故选:C【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方

    17、程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)10函数y=ax22x+1和y=ax+a(a是常数,且a0)在同一直角坐标系中的图象可能是()ABCD【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误【解答】解:A、由一次函数y=ax+a的图象可得:a0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,故选项错误;B、由一次函数y=ax+a的图象可得:a0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,故选项错误;C、由一次函数y=ax+a的图象可得:a0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x=0,

    18、故选项正确;D、由一次函数y=ax+a的图象可得:a0,此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=0,故选项错误故选C【点评】应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等二填空题(每小题3分,共18分)11已知(1,y1),(2,y2),(3,y3)都在函数y=x2图象上,则y1,y2,y3的大小关系为y1y2y3(用“”连接)【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值,即可得解【解答】解:x=1时,y1=2(1)2=2,x=2时,y2=222=8,x=3时,y3=2(3)2=18,所以,y1y2y3故答案为:y1y2y

    19、3【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,准确计算求出各函数值是解题的关键12参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛90场设共有x个队参加比赛,则依题意可列方程为x(x1)=90【分析】设有x个队参赛,根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛,共要比赛90场,可列出方程【解答】解:设有x个队参赛,x(x1)=90故答案为:x(x1)=90【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解13关于x的一元二次方程x25x+k=0有两个不相等的实数根,则k可取的最大整数为6【分析】根据判别式的意义得到=(5)24k0,解不等式得k,

    20、然后在此范围内找出最大整数即可【解答】解:根据题意得=(5)24k0,解得k,所以k可取的最大整数为6故答案为6【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b24ac:当0,方程有两个不相等的实数根;当=0,方程有两个相等的实数根;当0,方程没有实数根14已知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)23的图象上,当2x1时,y的取值范围是3y5【分析】根据题目中的函数解析式和题意,可以求得相应的y的取值范围,本题得以解决【解答】解:二次函数y=2(x+1)23,该函数对称轴是直线x=1,当x=1时,取得最小值,此时y=3,点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)23

    21、的图象上,当2x1时,y的取值范围是:3y5,故答案为:3y5【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答15如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,2),(1,0),顶点C在函数y=x2+bx1的图象上,将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形ABCD,点D的对应点D落在抛物线上,则点D与其对应点D间的距离为2【分析】作辅助线,构建全等三角形,先根据A和B的坐标求OB和OA的长,证明AOBBGC,BG=OA=2,CG=OB=1,写出C(3,1),同理得:BCGCDH,得出D的坐标,根据平移的性质

    22、:D与D的纵坐标相同,则y=3,求出D的坐标,计算其距离即可【解答】解:如图,过C作GHx轴,交x轴于G,过D作DHGH于H,A(0,2),B(1,0),OA=2,OB=1,四边形ABCD为正方形,ABC=90,AB=BC,ABO+CBG=90,ABO+OAB=90,CBG=OAB,AOB=BGC=90,AOBBGC,BG=OA=2,CG=OB=1,C(3,1),同理得:BCGCDH,CH=BG=2,DH=CG=1,D(2,3),C在抛物线的图象上,把C(3,1)代入函数y=x2+bx1中得:b=,y=x2x1,设D(x,y),由平移得:D与D的纵坐标相同,则y=3,当y=3时, x2x1=3

    23、,解得:x1=4,x2=3(舍),DD=42=2,则点D与其对应点D间的距离为2,故答案为:2【点评】本题考查出了二次函数图象与几何变换平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质,作辅助线,构建全等三角形,明确D与D的纵坐标相同是关键16如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)对于下列命题:b2a=0;abc0; a2b+4c08a+c0,其中正确的有【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a0,根据图象与y轴交点可得c0,再根据二次函数的对称轴x=,结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1,结合对称轴公式可判断出的正误;根据对称轴公式结合a的取值可判

    24、定出b0,根据a、b、c的正负即可判断出的正误;利用ab+c=0,求出a2b+4c0,再利用当x=4时,y0,则16a+4b+c0,由知,b=2a,得出8a+c0【解答】解:根据图象可得:a0,c0,对称轴:x=0,它与x轴的两个交点分别为(1,0),(3,0),对称轴是x=1,=1,b+2a=0,故错误;a0,b0,c0,abc0,故错误;ab+c=0,c=ba,a2b+4c=a2b+4(ba)=2b3a,又由得b=2a,a2b+4c=7a0,故此选项正确;根据图示知,当x=4时,y0,16a+4b+c0,由知,b=2a,8a+c0;故正确;故正确为:两个故答案为:【点评】此题主要考查了二次

    25、函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右(简称:左同右异)常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c)三、解答题(共102分)17(10分)解方程(1)x24x=0(2)2x2+3=7x【分析】(1)利用因式分解法解方程;(2)先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程【解答】解:(1)x(x4)=0,x=0或x4=0,所以x1=0,x2=4;(2)2x27x+3=

    26、0,(2x1)(x3)=0,2x1=0或x3=0,所以x1=,x2=3【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法:就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)18(8分)已知x1=1是方程x2+mx5=0的一个根,求m的值及方程的另一根x2【分析】将x1=1代入方程可得关于m的方程,解之求得m的值,即可还原方程,解之得出另一个根【解答】解:由题意得:(1)2+(1)m5=0,解得m=4;当m=4时,方程为x24x

    27、5=0解得:x1=1,x2=5所以方程的另一根x2=5【点评】本题主要考查一元二次方程的解的定义及解方程的能力,解题的关键是根据方程的解的定义求得m的值19(8分)在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过(2,2),(0,2),函数的最小值是4(1)求二次函数的解析式(2)当自变量的取值范围为什么时,该二次函数的图象在横轴上方?请直接写出答案【分析】(1)先利用二次函数的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1,则抛物线的顶点坐标为(1,4),设顶点式y=a(x1)24,然后把(0,2)代入求出a即可;(2)2(x1)24=0得抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(1+,0),然后写出抛物线在x轴上

    28、方所对应的自变量的范围即可【解答】解:(1)二次函数的图象经过(2,2),(0,2),抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线的顶点坐标为(1,4),设抛物线的解析式为y=a(x1)24,把(0,2)代入得a(01)24=2,解得a=2,抛物线的解析式为y=2(x1)24;(2)当y=0时,2(x1)24=0,解得x1=1,x2=1+,抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(1+,0),当x1或x1+时,y0,即当x1或x1+时,该二次函数的图象在横轴上方【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)与x轴的交点坐标问题转化解一元二次方程的问题关于x的

    29、一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质20(10分)某商店进行促销活动,如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品的单价每涨1元,其销售量就要减少10件,问将售价定为多少元/件时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润【分析】确定每件利润、销售量,根据利润=每件利润销售量,得出销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系,利用配方法确定函数的最值【解答】解:设销售价每件定为x元,则每件利润为(x8)元,销售量为10010(x10),根据利润=每件利润销售量,可得销售利润y=(x8)10010(x10

    30、)=10x2+280x1600=10(x14)2+360,当x=14时,y的最大值为360元,应把销售价格定为每件14元,可使每天销售该商品所赚利润最大,最大利润为360元【点评】此题考查二次函数的性质及其应用,将实际问题转化为求函数最值问题,从而来解决实际问题,比较简单21(8分)已知:关于x的一元二次方程mx2(2m2)x+m=0有实根(1)求m的取值范围;(2)若原方程两个实数根为x1,x2,是否存在实数m,使得+=1?请说明理由【分析】(1)根据“关于x的一元二次方程mx2(2m2)x+m=0有实根”,判别式0,得到关于m的一元一次方程,解之即可,(2)根据“+=1”,通过整理变形,根

    31、据根与系数的关系,得到关于m的一元二次方程,解之,结合(1)的结果,即可得到答案【解答】解:(1)方程mx2(2m2)x+m=0是一元二次方程,m0,=(2m2)24m2=4m28m+44m2=48m0,解得:m,即m的取值范围为:m且m0,(2)+=2=1,x1+x2=,x1x2=1,把x1+x2=,x1x2=1代入2=1得:=3,解得:m=42,m的取值范围为:m且m0,m=42不合题意,即不存在实数m,使得+=1【点评】本题考查了根与系数的关系,一元二次方程的定义和根的判别式,解题的关键:(1)根据判别式0,列出关于m的一元一次方程,(2)正确掌握根与系数的关系,列出一元二次方程22(8

    32、分)一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道中公路的宽度AB=8m,隧道的最高点C到公路的距离为6m(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的表达式;(2)现有一辆货车的高度是4.4m,货车的宽度是2m,为了保证安全,车顶距离隧道顶部至少0.5m,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道【分析】(1)以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy,如图所示,利用待定系数法即可解决问题(1)求出x=1时的y的值,与4.4+0.5比较即可解决问题【解答】解:(1)本题答案不唯一,如:以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy,如图所示A(4,0),B(4

    33、,0),C(0,6)设这条抛物线的表达式为y=a(x4)(x+4)抛物线经过点C,16a=6a=抛物线的表达式为y=x2+6,(4x4)(2)当x=1时,y=,4.4+0.5=4.9,这辆货车能安全通过这条隧道【点评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识,解题的关键是学会构建平面直角坐标系,掌握待定系数法解决问题,属于中考常考题型23(10分)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料(1)设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2(2)当BC为何值时,矩形ABCD的面积有最大值?并求出最

    34、大值【分析】(1)根据题意可以得到相应的一元二次方程,从而可以解答本题;(2)根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式,然后化为顶点式,注意求出的边长要符合题意【解答】解:(1)设AB为xm,则BC为(502x)m,x(502x)=300,解得,x1=10,x2=15,当x1=10时502x=3025(不合题意,舍去),当x2=15时502x=2025(符合题意),答:当砌墙宽为15米,长为20米时,花园面积为300平方米;(2)设AB为xm,矩形花园的面积为ym2,则y=x(502x)=2(x)2+,x=时,此时y取得最大值,502x=25符合题意,此时y=,即当砌墙BC长为25米时,矩形花

    35、园的面积最大,最大值为【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件24(10分)如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(4,4)点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与y轴交于点E,连接PE设点P运动的时间为t(s)(1)PBD的度数为45,点D的坐标为(t,t)(用t表示);(2)当t为何值时,PBE为等腰三角形?(3)探索POE周长是否随时间t的

    36、变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个定值【分析】(1)易证BAPPQD,从而得到DQ=AP=t,从而可以求出PBD的度数和点D的坐标(2)由于EBP=45,故图1是以正方形为背景的一个基本图形,容易得到EP=AP+CE由于PBE底边不定,故分三种情况讨论,借助于三角形全等及勾股定理进行求解,然后结合条件进行取舍,最终确定符合要求的t值(3)由(2)已证的结论EP=AP+CE很容易得到POE周长等于AO+CO=8,从而解决问题【解答】解:(1)如图1,由题可得:AP=OQ=1t=t(秒)AO=PQ四边形OABC是正方形,AO=AB=BC=OC,BAO=AOC=OCB=ABC=90DPB

    37、P,BPD=90BPA=90DPQ=PDQAO=PQ,AO=AB,AB=PQ在BAP和PQD中,BAPPQD(AAS)AP=QD,BP=PDBPD=90,BP=PD,PBD=PDB=45AP=t,DQ=t点D坐标为(t,t)故答案为:45,(t,t)(2)若PB=PE,则t=0,符合题意若EB=EP,则PBE=BPE=45BEP=90PEO=90BEC=EBC在POE和ECB中,POEECB(AAS)OE=CB=OC点E与点C重合(EC=0)点P与点O重合(PO=0)点B(4,4),AO=CO=4此时t=AP=AO=4若BP=BE,在RtBAP和RtBCE中,RtBAPRtBCE(HL)AP=

    38、CEAP=t,CE=tPO=EO=4tPOE=90,PE=(4t)延长OA到点F,使得AF=CE,连接BF,如图2所示在FAB和ECB中,FABECBFB=EB,FBA=EBCEBP=45,ABC=90,ABP+EBC=45FBP=FBA+ABP=EBC+ABP=45FBP=EBP在FBP和EBP中,FBPEBP(SAS)FP=EPEP=FP=FA+AP=CE+APEP=t+t=2t(4t)=2t解得:t=44当t为0秒或4秒或(44)秒时,PBE为等腰三角形(3)EP=CE+AP,OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8POE周长是定值,该定值为8【点评】本题考查了正

    39、方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识,考查了分类讨论的思想,考查了利用基本活动经验解决问题的能力,综合性非常强熟悉正方形与一个度数为45的角组成的基本图形(其中角的顶点与正方形的一个顶点重合,角的两边与正方形的两边分别相交)是解决本题的关键25(10分)已知直线l:y=2,抛物线C:y=ax21经过点(2,0)(1)求a的值;(2)如图,点P是抛物线C上任意一点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q求证:PO=PQ;(3)请你参考(2)中的结论解决下列问题1如图,过原点作直线交抛物线C于A,B两点,过此两点作直线l的垂线,垂足分别为M,N,连接ON,OM,求证:OMO

    40、N;2如图,点D(1,1),使探究在抛物线C上是否存在点F,使得FD+FO取得最小值?若存在,求出点F的坐标,若不存在,请说明理由【分析】(1)利用待定系数法可求a的值;(2)设点P(a, a21),根据两点距离公式可求PQ,PO的长度,即可证PQ=PO;(3)1由(2)可得OB=BN,AM=AO,即可求BON=BNO,AOM=AMO,根据三角形内角和定理可求OMON;2过点F作EF直线l,由(2)得OF=EF,当点D,点F,点E三点共线时,OF+DF的值最小,此时DE直线l,即可求FD+FO的最小值【解答】解:(1)抛物线C:y=ax21经过点(2,0)0=4a1a=(2)a=抛物线解析式:

    41、y=x21设点P(a, a21)PO=a2+1PQ=a21(2)=a2+1PO=PQ(3)1由(2)可得OA=AM,OB=BNBON=BNO,AOM=AMOAMMN,BNMNAMBNABN+BAM=180ABN+BON+BNO=180,AOM+AMO+BAM=180ABN+BON+BNO+AOM+AMO+BAM=360BON+AOM=90MON=90OMON2如图:过点F作EF直线l,由(2)可得OF=EF,OF+DF=EF+DF当点D,点F,点E三点共线时,OF+DF的值最小即此时DE直线lOF+DF的最小值为DE=1+2=3【点评】本题考查了二次函数综合题,待定系数法求解析式,两点距离公式,三角形内角和定理,最短路径问题,利用数形思想解决问题是本题的关键


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