1、专题训练(二)二次函数与几何小综合类型一二次函数与三角形1.如图2-ZT-1,垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1:y=x2(x0)和抛物线C2:y=x24(x0)交于A,B两点,过点A作CDx轴分别与y轴和抛物线C2交于点C,D,过点B作EFx轴分别与y轴和抛物线C1交于点E,F,则SOFBSEAD的值为()图2-ZT-1A.26 B.24 C.14 D.162.如图2-ZT-2,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.若M为第三象限内抛物线上一动点,AMB的面积为S,则S的最大值为.图2-ZT-23.岑水高速公路建设中需要建造一座抛物线形拱桥涵洞
2、,拱桥路面宽度为8米,现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图2-ZT-3所示的平面直角坐标系,坐标原点为O,已知AB=8米,设抛物线的函数表达式为y=ax2+4.(1)求a的值;(2)若C(-1,n)是抛物线上一点,点C关于原点O的对称点为D,连接CD,BD,BC,求BCD的面积.图2-ZT-3类型二二次函数与四边形4.如图2-ZT-4,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2-2x+2的图像与y轴交于点C,以OC为一边向左侧作矩形OCBA,则矩形OCBA的面积为.图2-ZT-45.如图2-ZT-5,抛物线y=ax2-4(a0)和y=-ax2+4都经过x轴上的A,B两点,两条抛物
3、线的顶点分别为C,D.当四边形ACBD的面积为40时,a的值为.图2-ZT-56.如图2-ZT-6,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),M,N为抛物线上的动点,过点M作MDy轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的函数表达式;(2)过点N作NFx轴,垂足为F.若四边形MNFE为正方形(此外限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积.图2-ZT-6类型三二次函数与圆7.如图2-ZT-7,已知抛物线y=mx2-6mx+5m与x轴交于A,B两点,以AB为直径的P经过该抛物线的顶点C,直线lx轴,交该抛物线于M,N两点,交P于E
4、,F两点.若EF=23,则MN的长为()图2-ZT-7A.26 B.42 C.5 D.68.如图2-ZT-8,点P(m,n)为抛物线y=-12x2-x+1上的任意一点,以点P为圆心,1为半径作圆,当P与x轴相交时,m的取值范围为.图2-ZT-89.2019江宁区校级模拟 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A,B,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为直线x=1,B(3,0),C(0,-3).(1)求二次函数y=ax2+bx+c的函数表达式;(2)平行于x轴的一条直线交抛物线于点M,N,若以MN为直径的圆恰好与x轴相切,求此圆的半径.类型四二次函数与不规则图形10.如图2-ZT-9,两条抛物线y1
5、=-12x2+1,y2=-12x2-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为.图2-ZT-911.如图2-ZT-10所示,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q.(1)求抛物线m的函数表达式.(2)求图中阴影部分的面积.(3)若B(-2,n)是抛物线m上的一点,则在抛物线m的对称轴上,是否存在一点D,使得BDO的周长最小?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.图2-ZT-10教师详解详析1.D解析 设A(a,a2),因此可得Ba,14a2,D
6、(2a,a2),F12a,14a2,所以SOFBSEAD=1212a14a212a34a2=16.2.4解析 易求得过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点的抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4.连接OM.设点M的横坐标为m,则点M的坐标为m,12m2+m-4,S=SAOM+SOBM-SAOB=124-12m2-m+4+124(-m)-1244=-m2-2m+8-2m-8=-m2-4m=-(m+2)2+4.-4m0,当m=-2时,S有最大值,S最大值=4.故答案为4.3.解:(1)由题意,得A(-4,0),B(4,0),将点B的坐标代入抛物线的函数表达式,得a42+4=0,解得a
7、=-14.(2)过点C作CEAB于点E,过点D作DFAB于点F.由(1)知抛物线的函数表达式是y=-14x2+4,令x=-1,得y=-14(-1)2+4=154,C-1,154.点C关于原点O的对称点为D,D1,-154,SBCD=SBOD+SBOC=12BODF+12BOCE=124154+124154=15(米2).4.4解析 令x=0,则y=2,C(0,2),当y=2时,-x2-2x+2=2,解得x1=0,x2=-2,矩形OCBA是边长为2的正方形,其面积为4.5.0.16解析 抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4的顶点分别为C,D,点C,D的坐标分别是(0,-4),(0,4),则CD
8、=8,而S四边形ACBD=12ABCD=40,AB=10,故B(5,0),代入y=ax2-4,得a=0.16.6.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)(x-3).将(0,3)代入,得-3a=3,解得a=-1,抛物线的函数表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1.四边形MNFE为正方形,MN=ME,MNx轴,点N与点M关于直线x=1对称.设点M(t,-t2+2t+3),则MN=2(t-1),ME=|-t2+2t+3|,2(t-1)=|-t2+2t+3|,解得t=5或t=-5(舍去)或t=2+5或t=2-5(舍去).当t=5时,M
9、N=25-2,正方形的面积为(25-2)2=20+4-85=24-85.当t=2+5时,MN=2+25,正方形的面积为(2+25)2=4+20+85=24+85.综上所述,正方形MNFE的面积为24-85或24+85.7.A解析 过点P作PHMN于点H,连接EP.y=mx2-6mx+5m=m(x-1)(x-5),抛物线与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(5,0).y=mx2-6mx+5m=m(x-3)2-4m,C(3,-4m),P(3,0),故P的半径为4m,则AP=4m,OP=3=1+4m,解得m=12,AP=EP=2.PHMN,EH=HF=3,PH=1.令y=1,有1=12(x-1)(
10、x-5),整理,得x2-6x+3=0,解得x1=3-6,x2=3+6.故MN=3+6-(3-6)=26.故选A.8.-5-1m-2或0m5-1解析 当半径为1的P与x轴相切时,此时点P的纵坐标为1或-1.当y=1时,1=-12x2-x+1,解得x1=0,x2=-2,此时点P的坐标为(-2,1)或(0,1);当y=-1时,-1=-12x2-x+1,解得x=-15,此时点P的坐标为-5-1,-1,5-1,-1.综上可得P与x轴相交时,m的取值范围为-5-1m-2或0m5-1.9.解:(1)由题意,得c=-3,9a+3b+c=0,-b2a=1,解得a=1,b=-2,c=-3,二次函数的函数表达式是y
11、=x2-2x-3.(2)设M(x1,y),N(x2,y),x10时,r2-r-4=0,解得r1=1+172,r2=1-172(舍去),当y0时,r2+r-4=0,解得r3=-1+172,r4=-1-172(舍去).所以圆的半径是1+172或-1+172.10.811.解:(1)设抛物线m的函数表达式为y=12x2+bx+c.它经过点A(-6,0)和原点O(0,0),将A,O两点的坐标代入m的表达式,得18-6b+c=0,c=0,解得b=3,c=0,抛物线m的函数表达式为y=12x2+3x.(2)y=12x2+3x=12(x+3)2-92,P-3,-92.对于函数y=12x2,当x=-3时,y=12(-3)2=92,点Q的坐标为-3,92,故P,Q两点关于x轴对称,S阴影部分=SPOQ=1239=272.(3)存在.把B(-2,n)代入抛物线m的表达式y=12x2+3x,得n=12(-2)2+3(-2),故n=-4.设直线AB的函数表达式是y=kx+b.把A(-6,0)和B(-2,-4)分别代入,得-6k+b=0,-2k+b=-4,解得k=-1,b=-6,直线AB的函数表达式是y=-x-6.点A,O关于直线x=-3对称,故直线AB与直线x=-3的交点就是使BDO的周长最小时的点D.当x=-3时,y=-(-3)-6=-3,D(-3,-3).
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