1、代几综合问题【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明
2、问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识其基本形式有：求代数式的值、求参数的值
3、或取值范围、与方程有关的代数式的证明函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解
4、能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力1 几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现2 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等3 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力4 解几何综合题应注意以下几点：（1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3） 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4
5、） 注意灵活地运用数学的思想和方法【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.如图，在梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由【思路点拨】由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论【答案与解析】解：存在ADBC，A=90，B=90，当PADPBC时，AD=2，BC=3，设AP=x，PB=7-x，则 当ADPBPC时，AD=2，BC=3，设设AP=x，PB=7-x
6、，则AP=1或AP=6 由可知，P点距离A点有三个位置：，AP=1，AP=6【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解举一反三：【变式】有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得AME与DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由【答案】(1)画出正确的图形（折痕MN必须与
7、AB、AD相交）设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=（2）如图（a），BE=x，设BM=a，则a2+x2=（2-a）2，a2+x2=4-4a+a2，a=， AM=2-BM=2-=由AMNBEA，得，y=，0x2，0y5，x的取值范围为：（3）如图（b），若AME与DNE相似，不难得DNE=AME又AM=ME，DN=NE=NA=，解得：x=1或x=4又，故x=1或者由DEN=AEM，得AED=90，推出ABEECD，从而得BE=1类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t0）秒，
8、抛物线y=x2bxc经过点O和点P已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，5）、D（4，0）求c、b（可以用含t的代数式表示）；当t1时，抛物线与线段AB交于点M在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案【答
9、案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=-t；（2）不变抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，当x=1时，y=1-t，M（1，1-t），AM=|1-t|=t-1，OP=t，AP=t-1，AM=AP，PAM=90，AMP=45；（3）左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有-4y2-3，-2y3-1，即-44-2t-3，-29-3t-1，且，解得；左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；左边1个好
10、点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t的取值范围是：【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出此
11、时点P的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可 （2）先画出相关图示，连接OD后发现：SOBD：S四边形ACDB=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即OBE的面积是四边形ACDB面积的，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置） （3）此题必须先得到关于CPB面积的函数表达式，然后根据
12、函数的性质来求出CPB的面积最大值以及对应的点P坐标；通过图示可发现，CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由OCP、OPB的面积和得出【答案与解析】解：（1）由题意，得： 解得：所以，二次函数的解析式为： ，顶点D的坐标为（-1，4）. （2）画图由、四点的坐标，易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6. 设直线OM与直线BD 交于点E，则OBE的面积可以为3或6.当时，如图，易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.设M 点坐标（x，-x）， 当时，同理可得M点坐标 M 点坐标为（-1，4）（3
13、）如图，连接，设P点的坐标为，点P在抛物线上， ，当时，. 的面积有最大值当点P的坐标为时，的面积有最大值，且最大值为 【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OA
14、BC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】（1）由题意得B（3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1.若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图1，此时点E（2b，0）.SOECO2b1b. 若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2，此时点E（3，），D（2b2，1）.SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3() （2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为
15、四边形DNEM的面积由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形,根据轴对称知，MEDNED, 又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，HN=HE-NE=2-a，则在RtDHM中，由勾股定理知：，a=.S四边形DNEMNEDH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平
16、面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知FBD=ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点
17、，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF，在RtEBF中,B=90，EF=.设点P的坐标为(0,n),n0,顶点F(1,2), 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a0)如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.P(0，4)，4=a(0-1)2+2，解得a=2，抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，(2-n)2+1=(1-n)2+
18、9，解得n=(舍去) 当EF=EP时，EP=3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2(3)存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小如图3，作点E关于x轴的对称点E，作点F关于y轴的对称点F，连结EF，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连结NF、ME.E(3，-1)、F(-1，2)，NF=NF，ME=ME. BF=4，BE=3.FN+NM+ME=FN+NM+ME=FE=5.又EF=，FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及
19、数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个
20、等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形ABB，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积 _（n为正整数）【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出Sn的表达式【答案与解析】根据直角三角形的面积公式，得S1=；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B=2，则S3=21，依此类推，发现：=【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题求3+32+33+3100的值解：令S
21、=3+32+33+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3S=3+32+33+3100= 问题：（1）2+22+22011的值为_；（直接写出结果）（2）求4+12+36+4350的值；（3）如图，在等腰RtOAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰RtOBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰RtOCD，如此下去一直作图到第8个图形为止求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和（直接写出结果）【答案】解：（1）22012-2（2）令S=4+12+36+4350 ， 将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108
22、+4351 ，-得到：2S=4341-4S=2351-24+12+36+4350=2351-2（3）中考冲刺：代几综合问题知识讲解（提高）【巩固练习】一、 选择题1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C D2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大
23、致为（ ）二、填空题3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为_4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设B2D1C1的面积为S1，B3D2C2的面积为S2，Bn+1DnCn的面积为Sn，则S2=_；Sn=_(用含的式子表示） 三、解答题5. 如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动过点P作PEB
24、C交AD于点E，连接EQ设动点运动时间为t秒（t0）（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行为什么？（3）当t为何值时，EDQ为直角三角形6如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OABC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒） （1）求线段AB的长；当t为何值时
25、，MNOC？ （2）设CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？ 7.条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PA+PB=AB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，求PA+P
26、C的最小值；（3）如图3，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x236向右平移a（0a10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DEOA交CN于E，设
27、CD的长为m，PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由9.如图，直线y=kx1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tanOCB=（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx1上的一个动点当点A运动过程中，试写出AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：当点A运动到什么位置时，AOB的面积是；在成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3
28、，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，FEH=90，EFHG，EF=EH=1直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值11.如图，已知等边三角形AB
29、C中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】A.
30、三、填空题3.【答案】 （0，0），（0，10），（0，2），（0，8） 4【答案】； ；【解析】由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，AB1C1是等边三角形，AD1=AC1sin60=2=，B1C1B2也是等边三角形，C1B1是AC1B2的角平分线，AD1=B2D1=，故S1=SB2C1ASAC1D1=22=；S2=SB3C2ASAC2D2=44=；作ABB1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，Bn在一条直线上Bn CnAB，=，BnDn=AD=，则DnCn=2BnDn=2=BnCnBn+1是边长是2的等边三
31、角形，因而面积是：Bn+1DnCn面积为Sn=即第n个图形的面积Sn=三、解答题5【答案与解析】解：（1）能，如图1，点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，AP=1，BQ=1.25，AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，PEBC，解得PE=0.75，PEBC，PE=QD，四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5
32、-1.25t，PQAB；（3）分两种情况讨论： 如图3，当EQD=90时，显然有EQ=PC=4-t， 又EQAC， EDQADC ， BC=5，CD=3， BD=2， DQ=1.25t-2， 解得t=2.5（秒）；如图4，当QED=90时，作EMBC于M，CNAD于N，则EM=PC=4-t，在RtACD中， AC=4，CD=3， AD=，CDA=EDQ，QED=C=90，EDQCDA， t=3.1（秒）综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，EDQ为直角三角形 6.【答案与解析】解：（1）过点B作BDOA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在RtABD中，
33、当时，即（秒）（2）过点作轴于点，交的延长线于点，即，即（）由，得当时，S有最小值，且7【答案与解析】解：（1）四边形ABCD是正方形，AC垂直平分BD，PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A，连接AC，交OB于P，PA+PC的最小值即为AC的长，AOC=60AOC=120作ODAC于D，则AOD=60OA=OA=2AD=；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时PQR周长的最小值等于MN由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，MOA=P
34、OA，NOB=POB，MON=2AOB=245=90，在RtMON中，MN=10即PQR周长的最小值等于108.【答案与解析】解：（1）CN=CB=15，OC=9，ON=12，N（12，0）；又AN=OAON=1512=3，设AM=x32+x2=（9x）2，x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（xa）236则（12a）2=36a1=6或a2=18（舍去）抛物线l：y=（x6）236解法二：x236=0，x1=6，x2=6；y=x236与x轴的交点为（6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x236向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x6）2
35、36；（3）由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则 ，解得 ，y=x16，P（6，8）；DEOA，CDECON，；S=a=0，开口向下，又m=S有最大值，且S最大=9.【答案与解析】 解： （1）y=kx1与y轴相交于点C，OC=1；tanOCB=，OB=；B点坐标为：；把B点坐标为：代入y=kx1得：k=2；（2）S=，y=kx1，S=|2x1|；S=|x|；（3）当S=时，x=，x=1，y=2x1=1；A点坐标为（1，1）时，AOB的面积为；存在满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P
36、4（，0）10.【答案与解析】解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点B（1，0）、C（3，0），解得a=1，b=2，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示：此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度过点F作FNx轴于点N，则有FN=EH=1，FNy轴，即，解得DN=在RtDFN中，由勾股定理得：DF=，t=；四边形MOHE构成正方形的情形由图1可知，OH=ODDNHN=41=，即OHMO，所
37、以此种情形不存在；四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示：过点F作FNx轴于点N，交GH于点T，过点H作HRx轴于点R易知FNy轴，RN=EF=FT=1，HR=TN设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；FNy轴，即，解得DN=（1+x）OR=ODRNDN=41（1+x）=x若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，在RtORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，即：（x）2+x2=12，解得x=，FN=1+x=，DN=（1+x）=在RtDFN中，由勾股定理得：DF=3由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，t=3综上
38、所述，当t=s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形（3）当t=s或t=s时，以A、A、G、K为顶点的四边形为平行四边形简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）由题意可知，AA=2以A、A、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GKAA，且GK=AA=2当直角梯形位于OAD内部时，如图3所示：过点H作HSy轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，SG=KS+GK=3由SGx轴，得，求得AS=，OS=OAAS=，FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，在RtFND中，由勾股定理求得DF=；当直角梯形位于OAD外部时，如图4所示：设GK与y轴交于点
39、S，则GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=过点F作FNx轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=在RtFGT中，FT=1，则TG=，FG=由TGx轴，解得DF=由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s或t=s时，以A、A、G、K为顶点的四边形为平行四边形11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立证明：连结DE，DF ABC是等边三角形， AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线DE=DF=EF，FDE=60又MDF+FDN=60， NDE+FDN=60， MDF=NDE 在DMF和DNE中，DF=DE，DM=DN， MDF=NDE，DMFDNE MF=NE （3）画出图形（连出线段NE）， MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）
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