1、特殊三角形【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】1了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60要点诠释：等边三角
2、形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平
3、方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形中，SRtABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形3判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边【典型例题】类型一、等腰三角形1六边形ABCDEF的每个
4、内角都为120,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长【思路点拨】考虑到每个内角为120,则每个外角均为60,可通过构造等边三角形来求边长及面积【答案与解析】延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于PEDC=DCB=120 DCM=CDM=60，MDC为等边三角形M=60，同理BAP，EFN均为等边三角形M=N=60 MNP为等边三角形，MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，周长为1+9+6+8+2+13=39
5、【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.举一反三： 【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是_【答案】.2已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF(1)求证:AE=AF(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：AEF为等边三角形【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】(1)四边形ABCD是菱形， AB=AD,B=D ，又BE=DF， AE=AF (2)连接AC, AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，AB=AC=AD，AB=BC=CD=DA , ABC和ACD都是等边三角形, 又AE=AF 是等边三角形【总结升华】此
6、题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例4】【变式】如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE. 求证：CE=DE.【答案】延长BD到F，使DFBC，连接EF，等边ABC，ABBCAC，B60BFBD+DF，BEAB+AE，AEBD，BCDF，BFBE，等边BEF，EFBE，FB，BCEFDE（SAS）CEDE类型二、直角三角形3ABC和ECD都是等腰直角三角形，D为AB边上一点 求证：(1)ACEBCD； (2)【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.【答案与
7、解析】(1) ， ，即 ， BCDACE (2) ， BCDACE， ， 【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.4如图，ACD和BCE都是等腰直角三角形，ACDBCE90，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由 【思路点拨】ACD和BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】猜测 AEBD，AEBD. 理由如下：ACDBCE90，ACDDCEBCEDCE，即ACEDCBACD和BCE都是等腰直角三角形，ACCD，CECBACEDCB（SAS）AEBD，CAECDBAFCDFH，DHFACD
8、90，AEBD【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.举一反三：【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=_.【答案】.类型三、综合运用5 .（2019牡丹江）如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下： 如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH又，ABPE+ACPF=ABCHAB
9、=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_.点P到AB边的距离PE=_.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键【答案与解析】（1）如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH，=+，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30，AC=2CH=ABCH，
10、AB=AC，2CHCH=49，CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图PE+PF=CH，PE=CH-PF=7-3=4；P为BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为7；4或10【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6在中，AC=BC，点D为AC的中点（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明【思路
11、点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是： 延长交于点G，由题意，知 EDF=ACB=90，DE=DFDGCB点D为AC的中点，点G为AB的中点，且DG为的中位线AC=BC，DC=DGDC- DE =DG- DF即EC =FG EDF =90，1+CFD =90，2+CFD=90 1 =2 与都是等腰直角三角形，DEF =DGA = 45 CEF =FGH = 135 CEF FGH FH=FC （2）FH与FC仍然相等 【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能
12、力和培养.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】【变式】如图， ABC和CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：tanAEC=; SABC+SCDESACE ; BMDM;BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D. 中考总复习：全等三角形巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1已知等边ABC的边长为a，则它的面积是（ ）Aa2 Ba2 Ca2 Da22在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分DAB，AB=AE，AC=AD那么在下列四个结论中：（1）ACBD；（2）BC=DE；（3）
13、DBC=DAB；（4）ABE是正三角形，其中正确的是（）A（1）和（2） B（2）和（3） C（3）和（4） D（1）和（4）3.如图，等腰三角形ABC中，BAC=90，在底边BC上截取BD=AB，过D作DEBC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（） A1 B2 C3 D44.如图，三角形纸片ABC中，B=2C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是（）AAC=AD+BD BAC=AB+BD CAC=AD+CD DAC=AB+ CD 5（2019镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1
14、个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A. B C D. 6. 用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：平行四边形，菱形，矩形，直角梯形，其中可以被拼成的图形是（）A B C D二、填空题7如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP
15、=BQ； DE=DP； AOB=60.恒成立的有_(把你认为正确的序号都填上).8如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为_（只需写出的角度）9. 若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为，则斜边的长为 .10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BPC是等边三角形，则CDP的面积是_；BPD的面积是_.11如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB ，则点P与点P 之间的距离为_，APB=_.12.以等腰
16、三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=_.三、解答题13. 已知：在ABC中，ABC=90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，
17、并直接写出线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系14. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90. 求证：BECF.图1(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90, EF4.求GH的长.图2(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90,EF4. 直接写出下列两题的答案：如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示)
18、. 图3图415如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE （下面请你完成余下的证明过程）若将中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由若将中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，
19、请你做出猜想：当AMN=_时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）16.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小； 当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长. 【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此题采取排除法做（1）AB=AE，所以ABE是等腰的，等腰三角形底角AEB不可能90，所以ACBD不成立排除A，D；（2）AC平分DAB，AB=A
20、E，AC=ADDAECAB，BC=DE成立，排除C 3.【答案】D【解析】三角形ABC是等腰三角形，且BAC=90，所以B=C=45，又DEBC，所以DEC=C=45，所以EDC是等腰三角形，BD=AB，所以ABD是等腰三角形，BAD=BDA，而EAD=90-BAD，EDA=90-BDA，所以EAD=EDA，所以EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个4.【答案】B.【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC据此可以对以下选项进行一一判定选B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】 当把完全重合的含有30角的两块三角板拼成的图形有三种情况：（1）当把60度角对的边重合，且两个
21、直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形选B二、填空题7【答案】.【解析】提示：证ACDBCE, ACPBCQ.8【答案】50.9【答案】.【解析】设直角边为a,b,斜边为c，则+=3，代入即可.10【答案】1， .【解析】BPC是等边三角形，PCD=30做PECD,得PE=1，即CDP的面积是=21=1；根据即可推得.11【答案】6 ，150.12【答案】.三、解答题13.【答案与解析】（1）
22、结论：BM=DM，BMD=2BCD理由：BM、DM分别是RtDEC、RtEBC的斜边上的中线，BM=DM=CE；又BM=MC，MCB=MBC，即BME=2BCM；同理可得DME=2DCM；BME+DME=2（BCM+DCM），即BMD=2BCD（2）在（1）中得到的结论仍然成立即BM=DM，BMD=2BCD证法一：点M是RtBEC的斜边EC的中点，BM=EC=MC，又点M是RtBEC的斜边EC的中点，DM=EC=MC，BM=DM；BM=MC，DM=MC，CBM=BCM，DCM=CDM，BMD=EMB+EMD=2BCM+2DCM=2（BCM+DCM）=2BCD，即BMD=2BCD证法二：点M是R
23、tBEC的斜边EC的中点，BM=EC=ME；又点M是RtDEC的斜边EC的中点，DM=EC=MC，BM=DM；BM=ME，DM=MC，BEC=EBM，MCD=MDC，BEM+MCD=BAC=90-BCD，BMD=180-（BMC+DME），=180-2（BEM+MCD）=180-2（90-BCD）=2BCD，即BMD=2BCD（3）所画图形如图所示：图1中有BM=DM，BMD=2BCD；图2中BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，BMD=360-2BCD解法同（2）14.【答案与解析】(1) 证明：如图1， 四边形ABCD为正方形， AB=BC,ABC=BCD=90， EAB+AEB
24、=90. EOB=AOF90, FBC+AEB=90， EAB=FBC， ABEBCF ， BE=CF (2) 解：如图2,过点A作AM/GH交BC于M，过点B作BN/EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， EF=BN,GH=AM， FOH90, AM/GH，EF/BN, NO/A=90,故由(1)得, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n 15.【答案与解析】（1）AE=MC,BE=BM, BEM=EMB=45, AEM=1355, CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135 在AEM和MCN中：AEMMCN
25、，AM=MN（2）仍然成立 在边AB上截取AE=MC，连接ME ABC是等边三角形， AB=BC，B=ACB=60， ACP=120 AE=MC，BE=BM BEM=EMB=60 AEM=120 CN平分ACP，PCN=60， AEM=MCN=120 CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAM AEMMCN，AM=MN（3）16.【答案与解析】 ABE是等边三角形， BABE，ABE60. MBN60， MBNABNABEABN. 即BMANBE. 又MBNB， AMBENB（SAS）. 当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. 如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AMBMCM的值最小. 理由如下：连接MN.由知，AMBENB， AMEN. MBN60，MBNB， BMN是等边三角形. BMMN. AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短 当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长. 过E点作EFBC交CB的延长线于F， EBF906030. 设正方形的边长为x，则BFx，EF. 在RtEFC中，EF2FC2EC2， （）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）. 正方形的边长为.
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