1、代数综合问题【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题
2、的核心* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)； 后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)； 由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察挖掘题目结构特征； 联想联系相关知识网络； 突破抓往关键实现突破； 寻求学会寻求解题思路(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证【典型例题】类型一、函数综合1已知函数和ykx+1(k0)(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数【答案
3、与解析】 解：(1)两函数的图象都经过点(1，a)， 解得(2)将代入ykx+1，消去y，得k0，要使得两函数的图象总有公共点，只要0即可1+8k1+8k0，解得kk且k0时这两个函数的图象总有公共点【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断若0，两图象有两个公共点；若0，两图象有一个公共点；若0，两图象没有公共点举一反三：【变式】如图，一元二次方程的两根，（）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点
4、M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标 【答案】解：(1)解方程，得=-3，=1.抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得 解这个方程组，得 抛物线解析式为.(2)由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得解这个方程组，得 直线AC的函数关系式为y=x+3.由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，故解方程组得 点Q坐标为（-1，2）. (3)作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点. 设直线的函
5、数关系式为y=kx+b. 解这个方程组，得 直线的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0. 点M的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点 (1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；(2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质【答案与解析】解：(1)对于关于x的二次函数，由于(-
6、m)241，所以此函数的图象与x轴没有交点对于关于x的二次函数，由于， 所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点故图象经过A，B两点的二次函数为(2)将A(-1，0)代入，得整理，得解之，得m0，或m2当m0时，令y0，得解这个方程，得，此时，B点的坐标是B(1，0)当m2时，令y0，得解这个方程，得x3-1，x43此时，B点的坐标是B(3，0)(3)当m0时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x0，所以当x0时，函数值y随x的增大而减小当m2时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x1，所以当x1时，函数值y随x的增大而减小【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着
7、密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解举一反三：【高清课堂:代数综合问题 例3】【变式】已知：关于x的一元二次方程：.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2，当直线(b0)与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围. 【答案】（1）证明 该方程总有两个不相等的实数根（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴， ，解得 此抛物线的解析式为 （3）-3b0类型三、以代数为主的综合
8、题3如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120得到线段OB (1)求点B的坐标； (2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由 【思路点拨】(1)由AOB120可得OB与x轴正半轴的夹角为60，利用OB2及三角函数可求得点B的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB为定值，即求BC+C
9、O最小利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出关于点P的横坐标x的函数关系式求解【答案与解析】 解：(1)B(1，) (2)设抛物线的解析式为，代入点B(1，)，得所以(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小设直线AB的解析式为，则 解得因此直线AB的解析式为当时，因此点C的坐标为(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F设点P的横坐标为x则当时，PAB的面积的最大值为，此时【总结升华】 本题为二次函数的综合题，综合
10、程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为就是利用了这一规律 4如图所示，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8)(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； (2)设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时，点M，N同时以每秒2个单位的
11、速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由【思路点拨】此题一题多问，分别考查对抛物线性质、直角坐标系中点的坐标与线段之间的关系、代数式或者函数最值的求解方法的理解，并考查应用方程思想解决问题的意识和能力【答案与解析】 解：(1)点A(-4，0)，点B(-2，0)，点E(0，8)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，F(0，-8)设抛物线
12、C2的解析式是，则 解得所求抛物线的解析式是.(2)由(1)可计算得点M(-3，-1)，N(3，1)过点N作NHAD，垂足为H当运动到时刻t时，AD2OD8-2t，NH1+2t根据中心对称的性质OAOD，OMON，四边形MDNA是平行四边形四边形MDNA的面积运动至点A与点D重合为止，据题意可知0t4，所求关系式是（0t4）(3) (0t4)时，S有最大值.(4)在运动过程中四边形MDNA能形成矩形由(1)知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD、MN，当ADMN时四边形MDNA是矩形ODONOD2ON2OH2+NH2解得，(不合题意，舍去)在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时【总结
13、升华】直角坐标系中，坐标与线段长的关系；用等量关系列方程以形为背景给出的题干信息中有等腰梯形，等腰三角形，等边三角形，某线段是某线段的几倍，或者隐含着这些条件存在，都是利用方程思想解决问题的有效信息举一反三：【变式】如图所示，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，(1)求点B的坐标； (2)求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A，C，E，F构成平行四边形，直接写出点E的坐标【答案】解：(1)，C(0，3)又，A(1，0)又，AB4。B(-3，0)(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入得：a-1，b-2，顶点坐标(-1，4)(3)如图1和图2 当AC为
14、平行四边形的一边时， (-1，0)，E2(，0)，E3(，0)当AC为平行四边形的对角线时，E4(3，0)5已知函数y1x，y2x2+bx+c，为方程的两个根，点M(t，T)在函数y2的图象上 (1)若，求函数y2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当ABM的面积为时，求t的值； (3)若01，当0tl时，试确定T，三者之间的大小关系，并说明理由 【思路点拨】第(1)问由得的两根为，利用根的定义代入得到b，c的方程组可求出b，c值；第(2)问分别求出A，B两点坐标，利用直线yx与x轴夹角为45得到关于t的方程；第(3)问利用求差法比较T，的大小，注意对
15、t的范围进行分类讨论来的确定相应T，的大小关系【答案与解析】解 (1)y1x，y2x2+bx+c，y1y20，将，分别代入，得解得，函数y2的解析式为(2)由已知，y1与y2的图象的两个交点的坐标分别为，得，设ABM中AB边上的高为h，则，即由直线y1x与x轴的夹角为45可得由，得当时，解得；当时，解得，t的值为，(3)由已知，得，化简得，得，有a+b10，+b10又0t1时，t+b0，t+b0当0t时，T；当t时，T；当1时，T【总结升华】本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广中考冲刺：代数综合问题巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知在直角梯形AOBC中，AC
16、OB，CBOB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是 （ ） A点G B点E C点D D点F2已知函数y=，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为 （ ） A0B1C2D33. 如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=和y=的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则ABC的面积为 （ ）A3B4C5D6二、填空题4若a+b-2-4=3- c-5，则a+b+c的值为 .5已知关于x的方
17、程x2+（k-5）x+9=0在1x2内有一实数根，则实数k的取值范围是 6.关于x的方程，2kx2-4x-3k=0的两根一个小于1，一个大于1，则实数k的的取值范围是 .三、解答题7已知：关于x的一元二次方程有两个整数根，m5且m为整数（1）求m的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值8. 已知关于的一元二次方程（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解（
18、3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标9. 抛物线，a0，c0，（1）求证：；（2）抛物线经过点，Q 判断的符号； 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），请说明，10. 已知：二次函数y=（1）求证：此二次函数与x轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数与的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与、的图象分别交于点C、D，若CD=6，求点C、D的坐标.【答案与解析】一、
19、选择题1.【答案】A；【解析】在直角梯形AOBC中ACOB，CBOB，OB=18，BC=12，AC=9点A的坐标为（9，12）点G是BC的中点点G的坐标是（18，6）912=186=108点G与点A在同一反比例函数图象上，故选A 2.【答案】D；【解析】函数y=的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，k=3故选D3.【答案】A；【解析】先设P（0，b），由直线APBx轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数y=和y=的图象上，可得到A点坐标为（，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可二、填空题4.【答案】20；【解析】
20、整理得：（a-1-2+1）+（b-2-4+4）+（c-3-6+9）=0（-1）2+（-2）2+（-3）2=0，=1，=2，=3，a1，b2，c3，a=2，b=6，c=12，a+b+c=20故答案为：205.【答案】【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y= x2+（k-5）x+9图象开口向上，与x轴的一个交点的横坐标在1x2内，故有两种情况，分析得出结论.6.【答案】或.三、解答题7【答案与解析】 解：（1）方程有两个整数根，=0，且为完全平方数 m5且m为整数， m=0或4 （2）当m=0时，方程的根为x1=0，x2=2；当m=4时，方程的根为x3=8，x4=2方程有两个非零的整数根
21、，m=4 二次函数的解析式是 将的图象沿x轴向左平移4个单位长度得到：平移后的二次函数图象的解析式为 (3) 当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，可知直线与平移后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点（3，-5） 当直线y=x+b与平移后抛物线只有一个交点时，由得方程，即=41+4b=0, 当直线y=x+b过点（3，-5）时，b=-8综上所述，当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，或b=-88【答案与解析】（1）证明： 不论取何值时，即不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）将代入方程，得 再将代入，原方程化为，解得 （3）将代入得抛物线：
22、，将抛物线绕原点旋转得到的图象的解析式为： 设，则， 当时，的长度最小，此时点的坐标为 9【答案与解析】（1）证明： ， a0，c0， ， （2）解： 抛物线经过点P，点Q， ，a0，c0， ， 0 0 由a0知抛物线开口向上 ， 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方 点A，B的坐标分别为A，B（点A在点B左侧）， 由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标满足（如图所示） 抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知， ，即 10【答案与解析】（1）证明：令，则有= ，0 二次函数y=与x轴有交点 （2）解：解法一：由，方程可化为 解得： 方程有一个实数根为1 解法二：由，方程可化为 当x=1时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0方程右边=0左边=右边 方程有一个实数根为1 （3）解：方程的根是： 当=2时， 设点C（）则点D（）CD=6 ， C、D两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）
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