1、2019年中考山东省各地市 “二次函数综合题”专题汇编与解析一解答题（共14小题）1（2019聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得PEA和AOC相似的点P的坐标；（3）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求RtPFD面积的最大值2（2019菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，
2、2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x1（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PEOD，求PBE的面积（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3（2019枣庄）已知抛物线yax2+x+4的对称轴是直线x3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P
3、，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求点M的坐标4（2019滨州）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值5（2019德州）如图，抛物线ymx2mx4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y
4、轴交于点C，且x2x1（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当ax1a+2，x2时，均有y1y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当BDCMCE时，求点M的坐标6（2019济南）如图1，抛物线C：yax2+bx经过点A（4，0）、B（1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：ykx经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m2），连接DO并延长，交抛物线C于点E，交直线l于点M，若DE2
5、EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得DEPGAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由7（2019莱芜区）如图，抛物线yax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由8（2019日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，
6、C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由9（2019烟台）如图，顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CDy轴交抛物线于另一点D，作DEx轴，垂足为点E，双曲线y（x0）经过点D，连接MD，BD（1）求抛物线的
7、表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，BPD的度数最大？（请直接写出结果）10（2019东营）已知抛物线yax2+bx4经过点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，求出点G的
8、坐标；若不存在，请说明理由11（2019淄博）如图，顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DGx轴于点G，设ADG的内心为I，试求CI的最小值12（2019泰安）若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，2），且过点C（2，2）（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标
9、；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由13（2019临沂）在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点A、B（1）求a、b满足的关系式及c的值（2）当x0时，若yax2+bx+c（a0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围（3）如图，当a1时，在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由14（2019潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），ABO的中线AC与y
10、轴交于点C，且M经过O，A，C三点（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PEy轴，交直线AD于点E若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F当EF4时，求点P的坐标参考解析一解答题（共14小题）1（2019聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E（1）求抛物线
11、的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得PEA和AOC相似的点P的坐标；（3）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求RtPFD面积的最大值【解】：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+2x+8；（2）点A（2，0）、C（0，8），OA2，OC8，lx轴，PEAAOC90，PAECAO，只有当PEAAOC时，PEAAOC，此时，即：，AE4PE，设点P的纵坐标为k，则PEk，AE4k，OE4k2，将点P坐标（4k2，k）代入二次函数表达式并解得：k0或（舍去0），则点P（，）；（3）在RtPFD中，PFDCOB90，ly轴，PDFC
12、OB，RtPFDRtBOC，SPDFSBOC，而SBOCOBOC16，BC4，SPDFSBOCPD2，即当PD取得最大值时，SPDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y2x+8，设点P（m，m2+2m+8），则点D（m，2m+8），则PDm2+2m+8+2m8（m2）2+4，当m2时，PD的最大值为4，故当PD4时，SPDFPD22（2019菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x1（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二
13、象限内，且PEOD，求PBE的面积（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解】：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x1，则点B（4，0），则函数的表达式为：ya（x2）（x+4）a（x2+2x8），即：8a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得：直线BC的表达式为：yx2，则tanABC，则sinABC，设点D（x，0），则点P（x，x2+x2），点E（x，x2），PEOD，ODx，PE（x2+x2
14、+x+2）x2+x，解得：x0或5（舍去x0），即点D（5，0）SPBEPEBD（x2+x2x+2）（4x）；（3）由题意得：BDM是以BD为腰的等腰三角形，当BDBM时，过点M作MHx轴于点H，BD1BM，则MHyMBMsinABC1，则xM，故点M（，）；当BDDM（M）时，同理可得：点M（，）；故点M坐标为（，）或（，）3（2019枣庄）已知抛物线yax2+x+4的对称轴是直线x3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积
15、最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求点M的坐标【解】：（1）抛物线的对称轴是直线x3，3，解得a，抛物线的解析式为：yx2+x+4当y0时，x2+x+40，解得x12，x28，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0）答：抛物线的解析式为：yx2+x+4；点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0）（2）当x0时，yx2+x+44，点C的坐标为（0，4）设直线BC的解析式为ykx+b（k0），将B（8，0），C（0，4）代入ykx+b得，解得，直线BC的
16、解析式为yx+4假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，设点P的坐标为（x，x2+x+4），如图所示，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，x+4），则PDx2+x+4（x+4）x2+2x，S四边形PBOCSBOC+SPBC84+PDOB16+8（x2+2x）x2+8x+16（x4）2+32当x4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是320x8，存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32（3）设点M的坐标为（m，+4）则点N的坐标为（m，），MN|+4（）|+2m|，又M
17、N3，|+2m|3，当0m8时，+2m30，解得m12，m26，点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m0或m8时，+2m+30，解得m342，m44+2，点M的坐标为（42，1）或（4+2，1）答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（42，1）或（4+2，1）4（2019滨州）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值【解】：（1）当x0时，y4，则点A
18、的坐标为（0，4），当y0时，0x2+x+4，解得，x14，x28，则点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（8，0），OAOB4，OBAOAB45，将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90，OAD45，ODA45，OAOD，点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为ykx+b，得，即直线AD的函数解析式为yx+4；（2）作PNx轴交直线AD于点N，如右图所示，设点P的坐标为（t， t2+t+4），则点N的坐标为（t，t+4），PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，PNx轴，PNy轴，OADPNH45，作PHAD于点H，则PHN90，PH（t2+t）t（t6）2+，当t6时
19、，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；当点P到直线AD的距离为时，如右图所示，则t，解得，t12，t210，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，），当P1的坐标为（2，），则P1A，sinP1AD；当P2的坐标为（10，），则P2A，sinP2AD；由上可得，sinPAD的值是或5（2019德州）如图，抛物线ymx2mx4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2x1（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当ax1a+2，x2时，均有y1y2，求
20、a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当BDCMCE时，求点M的坐标【解】：（1）函数的对称轴为：x，而且x2x1，将上述两式联立并解得：x1，x24，则函数的表达式为：ym（x+）（x4）m（x24x+x6），即：6m4，解得：m，故抛物线的表达式为：yx2x4；（2）由（1）知，函数的对称轴为：x，则x和x2关于对称轴对称，故其函数值相等，又ax1a+2，x2时，均有y1y2，结合函数图象可得：，解得：2a；（3）如图，连接BC、CM，过点D作DGOE于点G，而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，4）、（1，5），则OBOC4，C
21、GGD1，BC4，CD，故BOC、CDG均为等腰直角三角形，BCD180OCBGCD90，在RtBCD中，tanBDC4，BDCMCE，则tanMCE4，将点B、D坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得：直线BD的表达式为：yx，故点E（0，），设点M（n，n），过点M作MFCE于点F，则MFn，CFOFOC，tanMCE4，解得：n，故点M（，）6（2019济南）如图1，抛物线C：yax2+bx经过点A（4，0）、B（1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：ykx经过点A，D是抛物线C上的一点，
22、设D点的横坐标为m（m2），连接DO并延长，交抛物线C于点E，交直线l于点M，若DE2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得DEPGAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【解】：（1）将A（4，0）、B（1，3）代入yax2+bx中，得解得抛物线C解析式为：yx24x，配方，得：yx24x（x+2）2+4，顶点为：G（2，4）；（2）抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线C新抛物线C的顶点为：G（2，4），二次项系数为：a1新抛物线C的解析式为：y（x2）24x24x将A（4，0）代入ykx中，得04k，解得
23、k，直线l解析式为yx，D（m，m24m），直线DO的解析式为y（m+4）x，由抛物线C与抛物线C关于原点对称，可得点D、E关于原点对称，E（m，m2+4m）如图2，过点D作DHy轴交直线l于H，过E作EKy轴交直线l于K，则H（m，m），K（m，m），DHm24m（m）m2m+，EKm2+4m（m）m2+m+，DE2EM，DHy轴，EKy轴DHEKMEKMDH，即DH3EKm2m+3（m2+m+）解得：m13，m2，m2m的值为：3；（3）由（2）知：m3，D（3，3），E（3，3），OE3，如图3，连接BG，在ABG中，AB2（1+4）2+（30）218，BG22，AG220AB2+BG2
24、AG2ABG是Rt，ABG90，tanGAB，DEPGABtanDEPtanGAB，在x轴下方过点O作OHOE，在OH上截取OHOE，过点E作ETy轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；E（3，3），EOT45EOH90HOT45H（1，1），设直线EH解析式为ypx+q，则，解得直线EH解析式为yx，解方程组，得，点P的横坐标为：或7（2019莱芜区）如图，抛物线yax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是
25、否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由【解】：（1）把A（3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式yax2+bx+c得：， 解得，所以抛物线的函数表达式为yx22x+3（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，A（3，0），C（0，3），直线AC解析式为yx+3，设P点坐标为（x，x22x+3），则Q点坐标为（x，x+3），PQx22x+3（x+3）x23xSPAC，解得：x11，x22当x1时，P点坐标为（1，4），当x2时，P点坐标为（2，3），综上所述：若PAC面积为3，点P的坐标为（1，4）或（2，
26、3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，D为抛物线yx22x+3的顶点，D点坐标为（1，4），又A（3，0），直线AD为y2x+6，AF2，DF4，tanDAB2，B（1，0），C（0，3）tanABC3，BC，sinABC，直线BC解析式为y3x+3AB4，AEABsinABC，BE，CE，tanACB，tanACBtanPAB2，ACBPAB，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2当AOMCAB45时，ABCOMA，即OM为yx，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（2，2）若AOMCBA，即
27、OMBC，直线BC解析式为y3x+3直线OM为y3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）则依题意得：，解得，即M点为（，），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似的点M，其坐标为（2，2）或（，），8（2019日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、
28、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由【解】：（1）直线y5x+5，x0时，y5C（0，5）y5x+50时，解得：x1A（1，0）抛物线yx2+bx+c经过A，C两点 解得：抛物线解析式为yx26x+5当yx26x+50时，解得：x11，x25B（5，0）（2）如图1，过点M作MHx轴于点HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5SABCABOC4510点M为x轴下方抛物线上的点设M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S四边形AMBCSABC+
29、SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18当m3，即M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CDBD541AB4，BP2PBDABPPBDABPPDAPPC+PAPC+PD当点C、P、D在同一直线上时，PC+PAPC+PDCD最小CDPC+PA的最小值为9（2019烟台）如图，顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CDy轴交抛物线于另一点D，作DEx轴，垂足为点E，双曲线y（x0）经过点D，连接MD，BD（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以
30、M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，BPD的度数最大？（请直接写出结果）【解】：（1）C（0，3）CDy，D点纵坐标是3，D在y上，D（2，3），将点A（1，0）和D（2，3）代入yax2+bx+3，a1，b2，yx2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M，作D关于x轴的对称点D，连接MD与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为MD+MD的长；M（1，4），D（2，3），MD直线的解析式为yx+N（，0），F（0，
31、）；（3）设P（0，t），N（r，t），作PBD的外接圆N，当N与y轴相切时此时圆心N到BD的距离最小，圆心角DNB最大，则，BPD的度数最大；PNND，r，t26t4r+130，易求BD的中点为（，），直线BD的解析式为y3x+9，BD的中垂线解析式yx+，N在中垂线上，tr+，t218t+210，t9+2或t92，圆N与y轴相切，圆心N在D点下方，0t3，t9210（2019东营）已知抛物线yax2+bx4经过点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线
32、段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【解】：（1）抛物线yax+bx4经过点A（2，0），B（4，0）， 解得，抛物线解析式为yx2+x4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中4x0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，4），SSAOC+SOCP+SOBP+，42xx22x+8，x24x+12，（x+2）2+1610，开口向下，S有最大值，当x2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y4，即P（2，4）因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（2，4）（3），顶
33、点M（1，）如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，CMG的周长最小设直线AM的解析式为ykx+b，且过点A（2，0），M（1，），直线AM的解析式为y3在RtAOC中，2D为AC的中点，ADEAOC，AE5，OEAEAO523，E（3，0），由图可知D（1，2）设直线DE的函数解析式为ymx+n， 解得：，直线DE的解析式为y，解得：， G（）11（2019淄博）如图，顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（
34、3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DGx轴于点G，设ADG的内心为I，试求CI的最小值【解】：（1）抛物线yax2+bx+3过点A（3，0），B（1，0） 解得：这条抛物线对应的函数表达式为yx2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得PAM为直角三角形yx2+2x+3（x1）2+4顶点M（1，4）AM2（31）2+4220设点P坐标为（0，p）AP232+p29+p2，MP212+（4p）2178p+p2若PAM90，则AM2+AP2MP220+9+p2178p+p2解得：pP（0，）若APM90，则AP2+MP2AM29+p2+178p+p220解得：p11，p23
35、P（0，1）或（0，3）若AMP90，则AM2+MP2AP220+178p+p29+p2解得：p P（0，）综上所述，点P坐标为（0，）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，PAM为直角三角形（3）如图，过点I作IEx轴于点E，IFAD于点F，IHDG于点HDGx轴于点GHGEIEGIHG90四边形IEGH是矩形点I为ADG的内心IEIFIH，AEAF，DFDH，EGHG矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）OEm，HGGEIEnAFAEOAOE3mAGGE+AEn+3mDAOA3DHDFDAAF3（3m）mDGDH+HGm+nDG2+AG2DA2（m+n）2+（n+3m）232化简得：m
36、23m+n2+3n0配方得：（m）2+（n+）2点I（m，n）与定点Q（，）的距离为点I在以点Q（，）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动当点I在线段CQ上时，CI最小CQCICQIQCI最小值为12（2019泰安）若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，2），且过点C（2，2）（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由【解】：（1）二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，2）、C（2，2） 解得：
37、二次函数表达式为yx2x2（2）如图1，记直线BP交x轴于点N，过点P作PDx轴于点D设P（t，t2t2）（t3）ODt，PDt2t2设直线BP解析式为ykx2把点P代入得：kt2t2t2kt直线BP：y（t）x2当y0时，（t）x20，解得：xN（，0）t3t21，即点N一定在点A左侧AN3SPBASABN+SANPANOB+ANPDAN（OB+PD）44解得：t14，t21（舍去）t2t2点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使ABOABM如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EFy轴于点FAB垂直平分OEBEOB，
38、OGGEABOABMA（3，0）、B（0，2），AOB90OA3，OB2，ABsinOAB，cosOABSAOBOAOBABOGOGOE2OGOAB+AOGAOG+BOG90OABBOGRtOEF中，sinBOG，cosBOGEFOE，OFOEE（，）设直线BE解析式为yex2把点E代入得：e2，解得：e直线BE：yx2当x2x2x2，解得：x10（舍去），x2点M横坐标为，即点M到y轴的距离为13（2019临沂）在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点A、B（1）求a、b满足的关系式及c的值（2）当x0时，若yax2+bx+c（a
39、0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围（3）如图，当a1时，在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【解】：（1）yx+2，令x0，则y2，令y0，则x2，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，2），则c2，则函数表达式为：yax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b2a+1；（2）当x0时，若yax2+bx+c（a0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x0，而b2a+1，即：0，解得：a，故：a的取值范围为：a0；（3）当a1时，二次函数表达式为：yx2x+2，过点P作直线lAB，作PQy轴交BA于点Q，作PH
40、AB于点H，OAOB，BAOPQH45，SPABABPHPQ1，则PQyPyQ1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|yPyQ|1，设点P（x，x2x+2），则点Q（x，x+2），即：x2x+2x21，解得：x1或1，故点P（1，2）或（1，）或（1，）14（2019潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），ABO的中线AC与y轴交于点C，且M经过O，A，C三点（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PEy轴，交直线AD于点E若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F当EF4时，求点P的坐标【解】：（1）点B（0，4），则点C（0，2），
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