1、2019年河南省三门峡市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）在实数|3|，2，0，中，最小的数是（）A|3|B2C0D2（3分）根据三门峡市统计局调查数据显示，我市目前常住人口约为224万人，将224万用科学记数法可表示为（）A2.24106B224104C0.224107D22.41053（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A三棱锥B三棱柱C圆柱D长方体4（3分）下列计算正确的是（）Aa2a3a6B（a+b）（a2b）a22b2C（ab3）2a2b6D5a2a35（3分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳成绩，下列统计中能用来
2、比较两人成绩稳定程度的是（）A平均数B中位数C众数D方差6（3分）学校要组织足球比赛赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是（）Ax221Bx（x1）21Cx221Dx（x1）217（3分）如图，在菱形ABCD中，AB5，BCD120，则对角线AC等于（）A20B15C10D58（3分）一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球由此估计盒子中的白球大约有（）A10个B15个
3、C18个D30个9（3分）我们知道，四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A在y轴上，ABx轴，已知点B（4，3），D（2，6），固定A，B两点，拖动CD向右下方移动，使平行四边形的面积缩小为原来的，则变换后点D的对应点D的坐标为（）A（2，3）B（2，6）C（，2）D（2，4）10（3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）ABCD二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）计算：|3|1 12（3分）不等
4、式组的解集是 13（3分）如图所示，在四边形ABCD中，ADAB，C110，它的一个外角ADE60，则B的大小是 14（3分）如图，在ABCD中，AD2，AB4，A30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留）15（3分）如图，已知RtABC中，B90，A60，AC2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 三、解答题（本大题共8小题，共75分）16（8分）先化简，再求值：，其中17（9分）我市某中学为了了解孩子们对中国诗词大会，挑战不可能，最强大脑，
5、超级演说家，地理中国五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了 名学生（2）补全条形统计图（3）在扇形统计图中，喜爱地理中国节目的人数所在的扇形的圆心角是 度（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢最强大脑节目的学生人数是多少人？18（9分）反比例函数y（k为常数，且k0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐
6、标19（9分）如图，在ABC中，ABAC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作FEAB于点E，交AC的延长线于点F（1）求证：EF与O相切；（2）若AE6，sinCFD，求EB的长20（9分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53的夹角树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE6米，塔高DE9米在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上求这棵大树没有折断前的高度（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.33）
7、21（10分）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：港口运费（元/吨）甲库乙库A港1420B港108（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案22（10分）在RtABC中，A90，ACAB4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P
8、（1）如图1，当90时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当135时，求证：BD1CE1，且BD1CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值（直接写出结果）23（11分）如图，抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M
9、，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】2019年河南省三门峡市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）在实数|3|，2，0，中，最小的数是（）A|3|B2C0D【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案【解答】解：在实数|3|，2，0，中，|3|3，则20|3|，故最小的数是：2故选：B【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键2（3分）根据三门峡市统计局调查数据显示，我市目前常住人口约为224万人，将22
10、4万用科学记数法可表示为（）A2.24106B224104C0.224107D22.4105【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将224万用科学记数法可表示为2.24106故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A三棱锥B三棱柱C圆柱D长方体【分析
11、】根据三视图的知识，正视图为两个矩形，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故这个几何体为直三棱柱【解答】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱故选：B【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识4（3分）下列计算正确的是（）Aa2a3a6B（a+b）（a2b）a22b2C（ab3）2a2b6D5a2a3【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）am+an+bm+bn；积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；合并同类项：只把系数相加，字
12、母部分完全不变，一个个计算筛选，即可得到答案【解答】解：A、a2a3a2+3a5，故此选项错误；B、（a+b）（a2b）aaa2b+bab2ba22ab+ab2b2a2ab2b2故此选项错误；C、（ab3）2a2（b3）2a2b6，故此选项正确；D、5a2a（52）a3a，故此选项错误故选：C【点评】本题主要考查多项式乘以多项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项的法则，注意正确把握每一种运算的法则，不要混淆5（3分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A平均数B中位数C众数D方差【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性
13、，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差故选：D【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用6（3分）学校要组织足球比赛赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是（）Ax221Bx（x1）21Cx221Dx（x1）21【分析】赛制为单循环形式（每两队
14、之间都赛一场），x个球队比赛总场数即可列方程【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x1）21，故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系7（3分）如图，在菱形ABCD中，AB5，BCD120，则对角线AC等于（）A20B15C10D5【分析】根据菱形的性质及已知可得ABC为等边三角形，从而得到ACAB【解答】解：ABBC，B+BCD180，BCD120B60ABC为等边三角形ACAB5故选：D【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定8（3分）一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个
15、白球，它们除颜色不同外，其余均相同从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球由此估计盒子中的白球大约有（）A10个B15个C18个D30个【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解【解答】解：设白球有x个，根据题意得：，解得：x15，经检验x15是分式方程的解，即白球有15个，故选：B【点评】本题考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率关键是根据白球的频率得到相应的等量关系9（3分）我们知道，四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶
16、点A在y轴上，ABx轴，已知点B（4，3），D（2，6），固定A，B两点，拖动CD向右下方移动，使平行四边形的面积缩小为原来的，则变换后点D的对应点D的坐标为（）A（2，3）B（2，6）C（，2）D（2，4）【分析】根据已知条件求出A点坐标，根据面积缩小为原来的，D的纵坐标为4，由ADAD，即可求D坐标；【解答】解：ABCD的顶点A在y轴上，B（4，3），A（0，3），AB4，D（2，6），平行四边形面积4312，平行四边形的面积缩小为原来的，D到AB的距离为1，D的纵坐标为4，设D（x，4），AD，AD，D（2，4）故选：D【点评】本题考查平行四边形的性质，平面内点的坐标；掌握平行四边形的性
17、质和面积的求法是解题的关键10（3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）ABCD【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状【解答】解：x1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，y1，当1x2时，重叠三角形的边长为2x，高为，y（2x）x2x+，当x2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选：B【点评】本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体二
18、、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）计算：|3|12【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及减法法则计算即可求出值【解答】解：原式312故答案为：2【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键12（3分）不等式组的解集是x2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式2（x+1）5x7，得：x3，解不等式2x，得：x2，则不等式组的解集为x2，故答案为：x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
19、到”的原则是解答此题的关键13（3分）如图所示，在四边形ABCD中，ADAB，C110，它的一个外角ADE60，则B的大小是40【分析】根据外角的概念求出ADC，根据垂直的定义、四边形的内角和等于360计算即可【解答】解：ADE60，ADC120，ADAB，DAB90，B360CADCA40，故答案为：40【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360、外角的概念是解题的关键14（3分）如图，在ABCD中，AD2，AB4，A30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是3（结果保留）【分析】过D点作DFAB于点F可求ABCD和BCE的高，
20、观察图形可知阴影部分的面积ABCD的面积扇形ADE的面积BCE的面积，计算即可求解【解答】解：过D点作DFAB于点FAD2，AB4，A30，DFADsin301，EBABAE2，阴影部分的面积：41212413故答案为：3【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积ABCD的面积扇形ADE的面积BCE的面积15（3分）如图，已知RtABC中，B90，A60，AC2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为或【分析】依据DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当CD
21、M90时，CDM是直角三角形；当CMD90时，CDM是直角三角形，分别依据含30角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长【解答】解：分两种情况：如图，当CDM90时，CDM是直角三角形，在RtABC中，B90，A60，AC2+4，C30，ABAC，由折叠可得，MDNA60，BDN30，BNDNAN，BNAB，AN2BN，DNB60，ANMDNM60，AMN60，ANMN；如图，当CMD90时，CDM是直角三角形，由题可得，CDM60，AMDN60，BDN60，BND30，BDDNAN，BNBD，又AB，AN2，BN，过N作NHAM于H，则ANH30，AHAN1，HN，
22、由折叠可得，AMNDMN45，MNH是等腰直角三角形，HMHN，MN，故答案为：或【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等三、解答题（本大题共8小题，共75分）16（8分）先化简，再求值：，其中【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得【解答】解：原式（+），当时，原式【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则17（9分）我市某中学为了了解孩子们对中国诗词大会，挑战不可能，最强大脑，超级演说
23、家，地理中国五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了200名学生（2）补全条形统计图（3）在扇形统计图中，喜爱地理中国节目的人数所在的扇形的圆心角是36度（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢最强大脑节目的学生人数是多少人？【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）求得喜爱挑战不可能节目的人数，将条形统计图补充完整即可；（3）用360喜爱地理中国节目的人数占总人数的百分数即可得到结论；（4）直接利用样本估计总体
24、的方法求解即可求得答案【解答】解：（1）3015%200名，答：本次调查中共抽取了200名学生；故答案为：200；（2）喜爱挑战不可能节目的人数2002060403050名，补全条形统计图如图所示；（3）喜爱地理中国节目的人数所在的扇形的圆心角是36036度；故答案为：36；（4）2000600名，答：该学校喜欢最强大脑节目的学生人数是600人【点评】此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键18（9分）反比例函数y（k为常数，且k0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使P
25、A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标【分析】（1）先把A点坐标代入y求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（2）作A点关于x轴的对称点A，连接BA交x轴于P点，则A（1，3），利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标【解答】解：（1）把A（1，3）代入y得k133，反比例函数解析式为y；把B（3，m）代入y得3m3，解得m1，B点坐标为（3，1）；（2）作A点关于x轴的对称点A，连接BA交x轴于P点，则A（1，3），PA+PBPA+PBBA，此时PA+
26、PB的值最小，设直线BA的解析式为ymx+n，把A（1，3），B（3，1）代入得，解得，直线BA的解析式为y2x5，当y0时，2x50，解得x，P点坐标为（，0）【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式也考查了最短路径问题19（9分）如图，在ABC中，ABAC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作FEAB于点E，交AC的延长线于点F（1）求证：EF与O相切；（2）若AE6，sinCFD，求EB的长【分析】（1）如图，
27、欲证明EF与O相切，只需证得ODEF（2）通过解直角AEF可以求得AF10设O的半径为r，由平行线分线段成比例得到，即，则易求ABAC2r，所以EBABAE6【解答】（1）证明：如图，连接ODOCOD，OCDODCABAC，ACBBODCBODABODFAEFEFABODFAEF90ODEFOD是O的半径，EF与O相切；（2）解：由（1）知，ODAB，ODEF在RtAEF中，sinCFD，AE6，则AF10ODAB，设O的半径为r，解得，rABAC2r，EBABAE6【点评】本题考查了切线的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可20（9分）如
28、图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53的夹角树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE6米，塔高DE9米在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上求这棵大树没有折断前的高度（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.33）【分析】要求这棵大树没有折断前的高度，只要求出AB和AC的长度即可，根据题目中的条件可以求得AB和AC的长度，本题得以解决【解答】解：ABEF，DEEF，ABC90，ABDE，FABFDE，FB4
29、米，BE6米，DE9米，得AB3.6米，ABC90，BAC53，cosBAC，AC6米，AB+AC3.6+69.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米【点评】本题考查直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答21（10分）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：港口运费（元/吨）甲库乙库A港1420B港108（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并
30、写出x的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案【分析】（1）根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数，再由等量关系：总运费甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简；最后根据不等式组得出x的取值；（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案【解答】解（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80x）吨，从乙仓库运往A港口的有（100x）吨，运往B港口的有50（80x）（x30）吨，所以y14x+20（100x）+10
31、（80x）+8（x30）8x+2560，x的取值范围是30x80（2）由（1）得y8x+2560y随x增大而减少，所以当x80时总运费最小，当x80时，y880+25601920，此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口【点评】本题考查了一次函数的应用，属于方案问题；解答本题的关键是根据题意表示出两仓库运往A、B两港口的物资数，正确得出y与x的函数关系式；另外，要熟练掌握求最值的另一个方法：运用函数的增减性来判断函数的最值问题22（10分）在RtABC中，A90，ACAB4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，
32、得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当90时，线段BD1的长等于2，线段CE1的长等于2；（直接填写结果）（2）如图2，当135时，求证：BD1CE1，且BD1CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值（直接写出结果）【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，D1ABE1AC135，进而求出D1ABE1AC（SAS），即可得出答案；（3）首先作PGAB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与A相切时，直线BD1与CE1的交
33、点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长【解答】（1）解：A90，ACAB4，D，E分别是边AB，AC的中点，AEAD2，等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），当90时，AE12，E1AE90，BD12，E1C2；故答案为：2，2；（2）证明：当135时，如图2，RtAD1E1是由RtADE绕点A逆时针旋转135得到，AD1AE1，D1ABE1AC135，在D1AB和E1AC中，D1ABE1AC（SAS），BD1CE1，且D1BAE1CA，记直线BD1与AC交于点F，BFACFP，CPFFAB90，BD1CE1；（3）
34、解：如图3，作PGAB，交AB所在直线于点G，D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD12，则BD12，故ABP30，则PB2+2，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG1+【点评】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键23（11分）如图，抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交
35、直线BC于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】【分析】（1）由抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，A（2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，2），求得BC的解析式为yx2，设D（m，0），得到E（m，m2），P（m，m2m2），根据
36、已知条件列方程得到m5，m0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设M（n，n2），以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n4+，于是得到N（，）；以BD为边，根据菱形的性质得到MNBD，MNBDMD1，过M作MHx轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：（1）抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，A（2，0）在抛物线上，解得：，抛物线解析式为yx2x2；（2）令yx2x20，解得：x12，x24，当x0时，y2，B（4，0），C（0，2），设BC的解析式为ykx+b，则，解得：，yx2，设D（m，0），DP
37、y轴，E（m，m2），P（m，m2m2），OD4PE，m4（m2m2m+2），m5，m0（舍去），D（5，0），P（5，），E（5，），四边形POBE的面积SOPDSEBD51；（3）存在，设M（n，n2），以BD为对角线，如图1，四边形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n4+，M（，），M，N关于x轴对称，N（，）；以BD为边，如图2，四边形BDMN是菱形，MNBD，MNBDMD1，过M作MHx轴于H，MH2+DH2DM2，即（n2）2+（n5）212，n14（不合题意），n25.6，N（4.6，），同理（n2）2+（4n）21，n14+（不合题意，舍去），n24，N（5，），以BD为边，如图3，过M作MHx轴于H，MH2+BH2BM2，即（n2）2+（n4）212，n14+，n24（不合题意，舍去），N（5+，），综上所述，当N（，）或（，）或（5，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键
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