1、2017-2018学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合U1，2，3，4，5，6，7，A2，4，6，B1，3，5，7，则A（UB）等于（）A2，4，6B1，3，5C2，4，5D2，52（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）ABf（x）lgx2，g（x）2lgxCD3（5分）函数y的定义域为（）A（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）4（5分）幂函数f（x）x的图象过点，则log2f（2）的值为（）ABC2D25（5分）设x，z，则x
2、，y，z间的大小关系为（）AyzxBzxyCxyzDxzy6（5分）函数f（x）lnxx2+4x4的零点个数为（）A0B1C2D37（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，则f（1）（）A2B0C1D28（5分）函数的单调递减区间为（）A（，1B（3，+）C（，1）D（1，+）9（5分）函数f（x）的图象如图，则该函数可能是（）ABCD10（5分）用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）min2x，x+2，10x（x0），则f（x）的最大值为（）A4B5C6D711（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A（，2）BC（0，2）D12（5分）函数f（
3、x）x24x4+a（2x2+2x+2）有且只有一个零点，则实数a的值为（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）求满足16的x的取值集合是 14（5分）若函数f（x）ax（a0，且a1）的反函数图象过点（2，1），则a的值为 15（5分）函数的对称中心为（1，1），则a 16（5分）函数f（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）求值：（1）；（2）18（10分）全集UR，函数f（x）+lg（3x）的定义域为集合A，集合Bx|x
4、2a0（1）求UA； （2）若ABA，求实数a的取值范围19（12分）已知函数f（x）x2+2ax+2（1）求实数a的取值范围，使函数yf（x）在区间5，5上是单调函数（2）若x5，5，记yf（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式20（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x），其中x是仪器的月产量（注：总收益总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21（12分）已知函数（1）求函数的定义域（2）讨
5、论函数f（x）的奇偶性（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明22（14分）已知函数f（x）2x，g（x）x2+2x+b（bR），记（1）判断h（x）的奇偶性（不用证明）并写出h（x）的单调区间（2）若2xh（2x）+mh（x）0对于一切x1，2恒成立，求实数m的取值范围（3）对任意x1，2，都存在x1，x21，2，使得f（x）f（x1），g（x）g（x2），若f（x1）g（x2），求实数b的值2017-2018学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分
6、）已知集合U1，2，3，4，5，6，7，A2，4，6，B1，3，5，7，则A（UB）等于（）A2，4，6B1，3，5C2，4，5D2，5【分析】先由补集的定义求出UB，再利用交集的定义求AUB，即可求出所求【解答】解：U1，2，3，4，5，6，7，B1，3，5，7，UB2，4，6，AUB2，4，6，故选：A【点评】本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合2（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）ABf（x）lgx2，g（x）2lgxCD【分析】分别根据偶次根号下被开方数大于等于，对数的真数大于零，求出各个选项中的函数的定义域，再化简解析式，再进行判
7、断即可【解答】解：A 由于，则定义域分别为x|x0和R，故A不对；B 由于f（x）lgx2，g（x）2lgx，则定义域分别为x|x0和x|x0，故B不对；C 根据函数的解析得，或x240，解得x2；x2或x2，故C不对；D 由于x，则它们的定义域和解析式相同，故D对故选：D【点评】本题考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域和对应关系，注意一点是：求出函数的定义域再对解析式进行化简，否则定义域与原函数不一致3（5分）函数y的定义域为（）A（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）【分析】根据“让解析式有
8、意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：2x3，或x3所以原函数的定义域为（2，3）（3，+）故选：C【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题4（5分）幂函数f（x）x的图象过点，则log2f（2）的值为（）ABC2D2【分析】将点代入幂函数f（x）x，解得，由此能求出log2f（2）的值【解答】解：幂函数f（x）x的图象过点，将点代入幂函数f（x）x，解得，故选：A【点评】本题考查幂函数与对数函数的概念，考查幂函数与对数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算与
9、求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5分）设x，z，则x，y，z间的大小关系为（）AyzxBzxyCxyzDxzy【分析】根据对数的运用性质化简x，然后利用作差比较法可比较y与z的大小，从而得到三者大小关系【解答】解：x2，z0，（）20yzx故选：D【点评】本题主要考查了比较大小，以及对数式的化简，比较大小的常用方法就作差比较，属于基础题6（5分）函数f（x）lnxx2+4x4的零点个数为（）A0B1C2D3【分析】根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可【解答】解：f（x）lnxx2+4x40，x24x+4lnx，令y1lnx，如图所示：两个图象
10、有两个公共点即函数零点的个数为2个，故选：C【点评】本题主要考查函数函数零点个数的判断，利用条件转化为两个函数，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，则f（1）（）A2B0C1D2【分析】利用奇函数的性质，f（1）f（1），即可求得答案【解答】解：函数f（x）为奇函数，x0时，f（x）x2+，f（1）f（1）2，故选：A【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题8（5分）函数的单调递减区间为（）A（，1B（3，+）C（，1）D（1，+）【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系机械能求解即可，【解答】解：由x22x30得x1或x
11、3，f（x）的定义域为（，1）（3，+）f（x）是由，ux22x3复合而成的，在（0，+）上是递减的，所以要使f（x）是递减的，只要u是递增的ux22x3在定义域上的单调递增区间为（3，+）故选：B【点评】本题考查对数函数的定义域及单调性，考查一元二次不等式的解法9（5分）函数f（x）的图象如图，则该函数可能是（）ABCD【分析】由图象知该函数是奇函数，函数过（1，0），从而排除选项A和B；在C中，函数f（x）x3满足f（2）8，在D中，函数f（x）x满足f（2）2，结合图象C错误，D正确【解答】解：函数f（x）的图象如图，由图象知该函数是奇函数，A中的函数f（x）是偶函数，故排除A；由图象知
12、该函数过（1，0），B中的函数f（x）x+过（1，2），故排除B；由图象知该函数单调递增区间是（，0），（0，+），在C中，函数f（x）x3满足f（2）8，在D中，函数f（x）x满足f（2）2，结合图象C错误，D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题10（5分）用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）min2x，x+2，10x（x0），则f（x）的最大值为（）A4B5C6D7【分析】在同一坐标系内画出三个函数y10x，yx+2，y2x的图象，以此作出函数f（x）图象，观察最大值
13、的位置，通过求函数值，解出最大值【解答】解：10x是减函数，x+2是增函数，2x是增函数，令x+210x，x4，此时，x+210x6，如图：yx+2 与y2x交点是A、B，yx+2与 y10x的交点为C（4，6），由上图可知f（x）的图象如下：C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6故选：C【点评】本题考查了函数的概念、图象、最值问题利用了数形结合的方法关键是通过题意得出f（x）的简图11（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A（，2）BC（0，2）D【分析】由函数是单调减函数，则有a20，且注意2（a2）【解答】解：函数是R上的单调减函数，故选：B【点评】本题主要考查分
14、段函数的单调性问题，要注意不连续的情况12（5分）函数f（x）x24x4+a（2x2+2x+2）有且只有一个零点，则实数a的值为（）A1B2C3D4【分析】利用配方法将函数进行配方，然后设tx2，得到函数g（t）是偶函数，根据偶函数的对称性进行求解即可【解答】解：f（x）x24x4+a（2x2+2x+2）（x2）28+a（2x2+2x+2）令tx2，则函数f（x）等价为g（t）t28+a（2t+2t），则函数g（t）为 偶函数，若函数f（x）x24x4+a（2x2+2x+2）有且只有一个零点，等价为g（t）只有一个零点，即g（0）0，则g（0）8+2a0，2a8，即a4故选：D【点评】本题主要
15、考查函数零点个数判断，利用换元法转化为偶函数形式，结合偶函数的对称性是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）求满足16的x的取值集合是（，1）【分析】根据函数y（）x的单调性可判断x32，即可求解【解答】解：16，（）2，根据函数y（）x的单调性可判断x32，故：x1故答案为：（，1）【点评】本题考查了函数的单调性，求解不等式14（5分）若函数f（x）ax（a0，且a1）的反函数图象过点（2，1），则a的值为2【分析】由互为反函数图象之间的关系得到函数f（x）ax（a0，且a1）的图象过点（1，2），把点的坐标代入函数解析式即可求得a的值【解答】解：因为函数
16、f（x）ax（a0，且a1）的反函数图象过点（2，1），所以函数f（x）ax（a0，且a1）的图象过点（1，2），则a12，所以a2故答案为2【点评】本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称，此题是基础题15（5分）函数的对称中心为（1，1），则a1【分析】由，结合函数f（x）的对称中心能求出a的值【解答】解：函数的对称中心为（1，1），a1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题16（5分）函数f（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N4【分析】根
17、据函数的奇偶性求出M+N 的即可【解答】解：由题意f（x）2+，令g（x），由g（x）g（x），故g（x）的奇函数，故f（x）max+f（x）min4，故答案为：4【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，是一道基础题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）求值：（1）；（2）【分析】（1）利用指数函数的性质、运算法则直接求解（2）利用对数函数的性质、运算法则直接求解【解答】解：（1）223371100（2）log399297【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对、指数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（1
18、0分）全集UR，函数f（x）+lg（3x）的定义域为集合A，集合Bx|x2a0（1）求UA； （2）若ABA，求实数a的取值范围【分析】（1）由题意可得x+20，且3x0，解不等式可得集合A，由补集的定义可得所求集合；（2）ABA，可得BA，讨论a的符号，以及B是否为空集，解不等式即可得到所求集合【解答】解：（1）x+20，且3x0，2x3，A（2，3），UA（，23，+）；（2）当a0时，B满足ABA；当a0时，B（，），ABA，BA，0a4，综上所述：实数a的范围是a4【点评】本题考查集合的补集和并集的性质，考查函数的定义域的求法，以及分类讨论思想方
19、法，考查运算能力，属于中档题19（12分）已知函数f（x）x2+2ax+2（1）求实数a的取值范围，使函数yf（x）在区间5，5上是单调函数（2）若x5，5，记yf（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式【分析】（1）函数f（x）x2+2ax+2，对称轴xa，当a5或a5时，f（x）在5，5单调，由此能求出实数a的取值范围（2）函数f（x）x2+2ax+2，对称轴xa，x5，5，当5a5时，yf（x）的最小值g（a）f（a），当a5时，yf（x）的最小值g（a）f（5）；当a5时，yf（x）的最小值g（a）f（5），由此能求出g（a）的表达式【解答】解：（1）函数f（x）x2+2ax+2，
20、对称轴xa，函数yf（x）在区间5，5上是单调函数，当a5或a5时，f（x）在5，5单调，a5或a5实数a的取值范围是（，55，+）（2）函数f（x）x2+2ax+2，对称轴xa，x5，5，当5a5，即5a5时，yf（x）的最小值g（a）f（a）（a）2+2a（a）+22a2，当a5，即a5时，yf（x）的最小值g（a）f（5）（5）2+2a（5）+22710a，当a5，即a5时，yf（x）的最小值g（a）f（5）52+2a5+227+10a综上，g（a）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的最小值的表达式的求法，考查二次函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与
21、转化思想、函数与方程思想，是中档题20（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x），其中x是仪器的月产量（注：总收益总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【分析】（1）根据利润收益成本，由已知分两段当0x400时，和当x400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）；（2）当0x400时，f（x）300x20000
22、（x300）2+25000，当x300时，有最大值25000；当x400时，f（x）60000100x是减函数，f（x）6000010040025000当x300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键21（12分）已知函数（1）求函数的定义域（2）讨论函数f（x）的奇偶性（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明【分析】（1）解不等式得出x的范围，从而得出函数f（x）的定义域；（2）将x代入函数f（x）的解析式，利
23、用对数的运算性质得到f（x）f（x），从而得出答案；（3）在区间（1，+）上任取x1x21，作差f（x1）f（x2），通过对数的运算性质以及对数函数的单调性得出差值f（x1）f（x2）的符号，从而得出函数f（x）在区间（1，+）上的单调性，再利用同样的方法可得出函数f（x）在区间（，1）上的单调性【解答】解：（1），零和负数无对数，可得x1或x1，则定义域为（，1）（1，+）；（2）函数f（x）的定义域为（，1）（1，+），关于原点对称，因此，函数f（x）为奇函数；（3）函数f（x）在区间（，1）和（1，+）上都是减函数，下面利用定义来证明先利用定义证明函数f（x）在区间（1，+）上的单调性任
24、取x1x21，则，x1x21，则x1x2+x2x11x1x2+x1x21，此时，ga10，即f（x1）f（x2），所以，函数f（x）在区间（1，+）上单调递减，同理可证函数f（x）在区间（，1）上也为减函数【点评】本题考察函数的定义域的求解，考察对数型函数的奇偶性与单调性的定义，关键在于利用定义来判断函数的基本性质，以及熟悉定义法判断函数基本性质的基本步骤，属于中等题22（14分）已知函数f（x）2x，g（x）x2+2x+b（bR），记（1）判断h（x）的奇偶性（不用证明）并写出h（x）的单调区间（2）若2xh（2x）+mh（x）0对于一切x1，2恒成立，求实数m的取值范围（3）对任意x1，2
25、，都存在x1，x21，2，使得f（x）f（x1），g（x）g（x2），若f（x1）g（x2），求实数b的值【分析】（1）写出函数h（x）的解析式，根据解析式对函数h（x）的奇偶性与单调性直接判断即可；（2）将函数h（x）的解析式代入，利用平方差公式进行参变量分离得到m（22x+1），然后利用函数的单调性求出（22x+1）在x1，2上的最大值，即可求出m的取值范围；（3）由函数最值的定义得f（x）maxf（x1），g（x）maxg（x2），并利用指数函数的单调性求出函数f（x）的最大值，然后利用二次函数的单调性求出函数g（x）的最大值，再利用题中条件f（x1）g（x2），可求出b的值【解答】解：
26、（1）函数为奇函数，函数h（x）的单调递增区间为R，无单调递减区间；（2）当x1，2时，即m（22x1）（24x1），22x10，m（22x+1）令k（x）（22x+1），x1，2，下面求函数k（x）的最大值x1，2，（22x+1）17，5，k（x）max5故m的取值范围是5，+）（3）根据题意知，当x1，2时，f（x）maxf（x1），g（x）maxg（x2）f（x）2x在区间1，2上单调递增，即f（x1）4又g（x）x2+2x+b（x1）2+b+1，函数yg（x）的对称轴为x1，函数yg（x）在区间1，2上单调递减，g（x）maxg（1）1+b，即g（x2）1+b，由f（x1）g（x2），得1+b4，b3【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的定义以及基本性质的应用，熟悉基本初等函数奇偶性与单调性，是解本题的关键，属于中等题
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