1、2017-2018学年广东省广州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1（5分）已知全集UxZ|x2|3，AxN*|x22x3，则UA（）A1，2B3，4C0，1，2D0，3，42（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）Ay与yBy与yCylogax2与y2logaxDyx0与y13（5分）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）AyexBylnxCyexDyex+4（5分）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）Alog0.760.7660.7B0.7660.7log0.76C0.76log0.7660.7Dlog0.7660.
2、70.765（5分）当a0时，函数yax+b和ybax的图象只可能是（）ABCD6（5分）如图为函数ym+lognx 的图象，其中m、n为常数，则下列结论正确的是（）Am0，n1Bm0，n1Cm0，0n1Dm0，0n17（5分）函数y的单调递减区间是（）A（，1B（，0C1，+）D2，+）8（5分）若集合Ax|mx2+2x+10，则实数m的取值范围是（）A（0，1B0，1C（，1D（，0）（0，19（5分）若函数f（x）x2+2ax+1a，x0，1的最大值为2，则a的值为（）A1或2B1或2C1或2D1或210（5分）函数y的值域是（）A（，1）B（，0）（0，）C（1，+）D（，1）（0，+
3、）11（5分）已知2x72yA，且，则A的值是（）A7BCD9812（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2（，0，当x1x2时总有0，则满足f（12x）f（）0的x的范围是（）A（，）B，）C（，）D，）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13（5分）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 14（5分）函数f（x）的定义域是 15（5分）函数f（x）的值域是 16（5分）二次函数f（x）ax2+bx+c满足下列三个条件：f（0）1；
4、对任xR，均有f（x4）f（2x）；函数f（x）的图象与函数g（x）x1的图象有且只有一个公共点若f（xt）g（x）解集为4，m（m4），则m ；t 三、解答题：（共70分，第17题10分，第1822题各12分，要求写出必要的过程与理由）17（10分）已知集合Ax|x23x+20，Bx|x2ax+3a50，若ABB，求实数a的值18（12分）计算或化简：（1）+（0ab）；（2）（2）+0.12+（）3；（3）log3+lg25+lg419（12分）有A、B两种商品，若分别投入资金p（万元）和q（万元），销售这两种商品所能获得的利润分别是M（万元）和N（万元），已知
5、有经验公式：M，N，今有4万元资金全部投入经营A、B两种商品（1）若投入A商品的部分资金为x（万元），总利润为y，把y表示为x的函数（2）若期望获得总利润最大，应分别对A、B两种商品投入多少万元？20（12分）解关于x的不等式0（aR）21（12分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围22（12分）已知函数f（x）ex+ex，其中自然对数的底数e2.718，函数F（x）是定义域为R的奇函数，且当x0时，F（x）f（x）（1）求F（x）的解析式（2）证明函数F（x）在（
6、，+）上的单调递增（3）若ae2xex+a0（x1，2）恒成立，求常数a的取值范围2017-2018学年广东省广州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1（5分）已知全集UxZ|x2|3，AxN*|x22x3，则UA（）A1，2B3，4C0，1，2D0，3，4【分析】根据题意，求出全集U与集合A，由补集的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，全集UxZ|x2|30，1，2，3，4；AxN*|1x31，2，则UA0，3，4；故选：D【点评】本题考查集合补集的定义，关键是正确求出集合A与全集U2（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）Ay与y
7、By与yCylogax2与y2logaxDyx0与y1【分析】分别求出四个选项中函数的定义域，再结合化简后的函数解析式判断【解答】解：y的定义域为x|x1或x1，y的定义域为x|x1，两函数定义域不同，不是同一个函数y的定义域为（0，+），y的定义域为（0，+），且y，y，两函数为相同函数ylogax2的定义域为R，y2logax的定义域为（0，+），两函数定义域不同，不是同一个函数yx0的定义域为x|x0，y1的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一个函数故选：B【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查两函数是否为同一函数的判定，是基础题3（5分）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数
8、的是（）AyexBylnxCyexDyex+【分析】运用常见函数的奇偶性和单调性，结合复合函数的单调性的性质，即可得到所求结论【解答】解：yex，ylnx，都为非奇非偶函数，yex+定义域上的偶函数，而yex是定义域上的奇函数，且在R上，ex，是增函数，yex是R上的增函数，故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题4（5分）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）Alog0.760.7660.7B0.7660.7log0.76C0.76log0.7660.7Dlog0.7660.70.76【分析】利用指数函数与对数函数的单
9、调性即可得出【解答】解：60.71，00.761，log0.760，log0.760.7660.7故选：A【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题5（5分）当a0时，函数yax+b和ybax的图象只可能是（）ABCD【分析】先从一次函数yax+b进行入手，通过观察图形确定a，b的范围，再根据指数函数的单调性是否能够满足条件，进行逐一排除即可得到答案【解答】解：由一次函数的图象和性质可得：A中，b1，a0，则ba1，ybax（ba）x为单调增函数，故A不正确；B中，0b1，a0，则0ba1，ybax（ba）x为单调减函数，故B正确；C中，b1，a0，则0ba1，ybax（ba）x
10、为单调减函数，C不对；D中，0b1，a0，则ba1，ybax（ba）x为单调增函数，D不对故选：B【点评】本题主要考查指数函数的单调性与底数之间的关系，即当底数大于0小于1时函数单调递减，当底数大于1时函数单调递增6（5分）如图为函数ym+lognx 的图象，其中m、n为常数，则下列结论正确的是（）Am0，n1Bm0，n1Cm0，0n1Dm0，0n1【分析】由图中特殊位置：x1时函数的值是负值，可得m的取值范围，再根据对数函数的性质即可【解答】解：当x1时，ym，由图形易知m0又函数是减函数，0n1故选D故选：D【点评】本题主要考查知识点：对数与对数函数的图象，属于基础题7（5分）函数y的单调
11、递减区间是（）A（，1B（，0C1，+）D2，+）【分析】利用换元法通过指数函数的单调性以及复合函数的单调性，推出结果即可【解答】解：令tx22x，则y2t，t1，+）而tx22x的单调递减区间是：（，1，y2t，在t1，+）上是增函数，所以函数y的单调递减区间是：（，1故选：A【点评】本题考查复合函数的单调性的求法，换元法的应用，考查计算能力8（5分）若集合Ax|mx2+2x+10，则实数m的取值范围是（）A（0，1B0，1C（，1D（，0）（0，1【分析】当m0时，Ax|x；当m0时，Ax|mx2+2x+10；当m0时，集合Ax|mx2+2x+10，从而二次函数的判别式44m0由此能求出实
12、数m的取值范围【解答】解：集合Ax|mx2+2x+10，当m0时，Ax|2x+10x|x，成立；当m0时，Ax|mx2+2x+10，成立；当m0时，集合Ax|mx2+2x+10，由题意，二次函数的判别式44m0，解得0m1综上，实数m的取值范围为（，1故选：C【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题9（5分）若函数f（x）x2+2ax+1a，x0，1的最大值为2，则a的值为（）A1或2B1或2C1或2D1或2【分析】函数f（x）x2+2ax+1a的图象的对称轴为xa，图象开口向下根据a
13、0，0a1，a1分类讨论，能求出a【解答】解：函数f（x）x2+2ax+1a的图象的对称轴为xa，图象开口向下（1）当a0时，函数f（x）x2+2ax+1a在区间0，1是减函数，f（x）maxf（0）1a，由1a2，得a1（2）当0a1时，函数f（x）x2+2ax+1a在区间0，a是增函数，在a，1上是减函数，f（x）maxf（a）a2+2a2+1aa2a+1，由a2a+12，解得a或a，0a1，两个值都不满足（3）当a1时，函数f（x）x2+2ax+1a在区间0，1是增函数，f（x）maxf（1）1+2a+1aa，a2综上，a1或a2故选：C【点评】本题考查实数值的求法，考查一元二次不等式的
14、性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类讨论与整合思想，是基础题10（5分）函数y的值域是（）A（，1）B（，0）（0，）C（1，+）D（，1）（0，+）【分析】利用换元法，结合分式函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：令t5x1，则t1且t0，又y在（1，0）和（0，+）上分别是减函数，y1或y0，即函数的值域为（，1）（0，），故选：D【点评】本题主要考查函数值域的求解，利用分式函数的性质是解决本题的关键11（5分）已知2x72yA，且，则A的值是（）A7BCD98【分析】由2x72yA，且，知log2Ax，log49Ay，故logA982，由此能求出A【
15、解答】解：2x72yA，且，log2Ax，log49Ay，logA982，A298，A0解得A7故选：B【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题解题时要认真审题，注意对数和指数的相互转化12（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2（，0，当x1x2时总有0，则满足f（12x）f（）0的x的范围是（）A（，）B，）C（，）D，）【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可【解答】解：任意x1，x2（，0，当x1x2时总有0，f（x）在（，0上是增函数，又f（x）是定义域为R的偶函数，故f（x）在0，+）上是减函数由f（12x）f（
16、）0可得f（12x）f（）f（）所以12x，解得x，即不等式的解集为（，），故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13（5分）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+830，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数【解答】解：设两者都喜欢的人数为
17、x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+830，解得x3，所以15x12，即所求人数为12人，故答案为：12【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题14（5分）函数f（x）的定义域是log32，+）【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可得答案【解答】解：令t3x，则f（x），由t22t0，解得t0或t2，即3x2，解得xlog32函数f（x）的定义域是log32，+）故答案为log32，+）【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题15（5分）函数f（x）的值
18、域是（，0），+）【分析】分别运用对数函数和指数函数的单调性，求得f（x）的范围，再求并集可得所求值域【解答】解：函数f（x），当x1，由f（x）x递减，可得f（x）0；当x1，f（x）（）x递减，可得f（x），综上可得f（x）的值域为（，0），+）故答案为：（，0），+）【点评】本题考查分段函数的值域求法，注意运用对数函数、指数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题16（5分）二次函数f（x）ax2+bx+c满足下列三个条件：f（0）1；对任xR，均有f（x4）f（2x）；函数f（x）的图象与函数g（x）x1的图象有且只有一个公共点若f（xt）g（x）解集为4，m（m4），则m12；t8【分
19、析】二次函数f（x）ax2+bx+c满足的三个条件列出方程组，求出f（x）x2+x1，推导出当且仅当x4，m，（m4）时，f（xt）g（x）恒成立，从而x22tx+t22t0的解集为4，m，由此能求出m，t的值【解答】解：二次函数f（x）ax2+bx+c满足下列三个条件：f（0）1；对任xR，均有f（x4）f（2x）；函数f（x）的图象与函数g（x）x1的图象有且只有一个公共点，解得a，b1，c1，f（x）x2+x1，f（xt）g（x）解集为4，m（m4），当且仅当x4，m，（m4）时，f（xt）g（x）恒成立，不等式，即x22tx+t22t0的解集为4，m，解得t8，m12或t2，m0，m4
20、，t8，m12符合题意故答案为：12，8【点评】本题考查实数值的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题三、解答题：（共70分，第17题10分，第1822题各12分，要求写出必要的过程与理由）17（10分）已知集合Ax|x23x+20，Bx|x2ax+3a50，若ABB，求实数a的值【分析】先求出A1，2，由x2ax+3a50，知a24（3a5）a212a+20（a2）（a10），当2a10时，BA；当a2或a10时，0，则B，若x1，由1a+3a50得a2，若x2，由42a+3a50，得a1，由此能求结果【解答】解：Ax
21、|x23x+201，2由x2ax+3a50，知a24（3a5）a212a+20（a2）（a10）当2a10时，0，BA当a2或a10时，0，则B，若x1，由1a+3a50得a2，此时Bx|x22x+101A，若x2，由42a+3a50，得a1，此时B2，1A综上所述，当2a10时，均有ABB【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义、分类与整合思想的合理运用18（12分）计算或化简：（1）+（0ab）；（2）（2）+0.12+（）3；（3）log3+lg25+lg4【分析】（1）利用指数函数的性质、运算法则直接求解（2）利用对数性质、运算法则直接求解（3）利用对数性
22、质、运算法则直接求解【解答】解：（1）0ab+（ba）+（ab）（ab）（2）（2）+0.12+（）3+（）2+331033（3）log3+lg25+lg4+lg（254）3+lg1003【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对、指数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（12分）有A、B两种商品，若分别投入资金p（万元）和q（万元），销售这两种商品所能获得的利润分别是M（万元）和N（万元），已知有经验公式：M，N，今有4万元资金全部投入经营A、B两种商品（1）若投入A商品的部分资金为x（万元），总利润为y，把y表示为x的函数（2）若期望获得
23、总利润最大，应分别对A、B两种商品投入多少万元？【分析】（1）投入A商品的部分资金为x（万元），可得投入B的资金为4x（万元），由题意即可得到所求解析式；（2）运用换元法和二次函数的最值求法，配方即可得到所求对A，B的投入资金【解答】解：（1）投入A商品的部分资金为x（万元），可得投入B的资金为4x（万元），由题意y+，0x4；（2）令t，则x4t2，t0，2，y+2，当t0，2，y取得最大值，此时x4t24，4x，即应分别对A，B两种商品投入万元，万元【点评】本题考查函数在实际问题中的运用，考查函数的解析式的求法，以及函数的最值的求法，注意结合二次函数的最值求法，属于中档题20（12分）解关
24、于x的不等式0（aR）【分析】根据题意，原不等式可以变形为（x2）（a1）x+20，分3种情况讨论a的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案【解答】解：根据题意，不等式0等价于（x2）（a1）x+20，分3种情况讨论：，当a10时，即a1时，不等式变形为2（x2）0，解可得x2，不等式的解集为（，2）；，当a10时，即a1时，方程（x2）（a1）x+20的两个根为2和，且a1，则有2，则不等式的解集为（，2）；，当a10时，即a1时，若2，则a0，原不等式的解集为x|x2，若2，则0a1，原不等式的解集为（，）（2，+），若2，则a0，原不等式的解集为（，2）（，+）综合可得：a0，原不等
25、式的解集为（，2）（，+）a0，原不等式的解集为x|x2，0a1，原不等式的解集为（，）（2，+），a1时，原不等式的解集为（，2），a1时，原不等式的解集为（，2）【点评】本题考查分式不等式的解法，注意对a的范围进行分情况讨论21（12分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）0，即，解可得b的值；（2）有函数的单调性的定义，用作差法证明即可得答案；（3）由奇函数与单调性的性质分析可得不等式：f（t22t）+f（2t2
26、k）0等价于f（t22t）f（2t2k）f（k2t2），由减函数的性质可得3t22tk0，由二次函数的性质分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，因为f（x）在定义域为R上是奇函数，所以f（0）0，即；（2）由（）知，可得f（x）在（，+）上为减函数理由：设x1x2则，函数y2x在R上是增函数且x1x20，又0，f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2）f（x）在（，+）上为减函数（3）因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t22t）+f（2t2k）0等价于f（t22t）f（2t2k）f（k2t2），因f（x）为减函数，由上式推得：t22tk2t2即对一切tR有：3t22tk0，从而判别式，即
27、k的取值范围是（，）【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，关键是求出b的值22（12分）已知函数f（x）ex+ex，其中自然对数的底数e2.718，函数F（x）是定义域为R的奇函数，且当x0时，F（x）f（x）（1）求F（x）的解析式（2）证明函数F（x）在（，+）上的单调递增（3）若ae2xex+a0（x1，2）恒成立，求常数a的取值范围【分析】（1）利用奇函数的性质可以求得解析式；（2）证明函数的单调性，可以利用定义法和导数法（3）换元后对原命题做等价转化，更容易看清楚用分离参数法求解参数的取值范围【解答】解：（1）当x0时，F（x）f（x）ex+ex，由于
28、F（x）定义在R上的奇函数，F（0）0则x0时，x0，则F（x）F（x）（ex+ex）exex，故F（x）的解析式为（2）（定义法）当x0时，令ext1，则，任取0x1x2，则，t1，t21，易知t1t20，则F（x1）F（x2）0，即F（x1）F（x2），故函数F（x）在0，+）上为增函数，又由于F（x）为奇函数，则F（x）在（，+）上为增函数【导数法】当x0时，F'（x）exex，又由于yex和yex单调递增，故F'（x）单调递增，F'（x）F'（0）0，即函数F（x）在0，+）上为增函数，又由于F（x）为奇函数，则F（x）在（，+）上为增函数（3）令tex，由x1，2可知，te1，e2，则ae2xex+a0在x1，2上恒成立，即可等价转化为at2t+a0在te1，e2上恒成立，分离参数得到，在te1，e2上恒成立，变量集中，得到在te1，e2上恒成立，又在te1，e2上单调递增，故，故故【点评】（1）利用函数的奇偶性求函数的解析式，也是求函数解析式的一个途径而且是比较常考的一个考点（2）对于函数的单调性的证明，要求是比较严谨的，一般只能用定义法和导数法，其他的方法都不能算作严谨的证明，充其量也就是个辅助说明或者单调性的判断（3）换元后对原命题做等价转化，更容易看清楚用分离参数法求解参数的取值范围其实数学素养好的学生也可以不换元
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