1、27.3 位似,第一课时,第二课时,人教版 数学 九年级 下册,位似的定义及画法,第一课时,返回,相似图形,相似图形,照相机把人物的影像缩小到底片上,相似图形,1. 在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系？,2. 幻灯机在哪儿呢？,3.我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？,1. 了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质.,2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.,素养目标,3.培养学生分类讨论问题的能力.,下列图形中有相似多边形吗？如果有，那么这种相似有什么特征？,位似的定义,【讨论】什么样的图形叫做位似图形？什么叫做
2、位似中心？ 如何判断两个图形是否位似图形？,两个相似多边形，如果它们对应顶点的连线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似 中心,【方法总结】判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：（1）这两个图形是否相似；（2）是否有特殊的位置关系，即每组对应顶点的连线是否都经过同一点,位似是一种具有位置关系的相似。 位似图形是相似图形的特殊情形。 位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。 两个位似图形的位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。,注意,1. 画出下列图形的位似中心：,O,乙,O,甲,2. 如图，BCED，下
3、列说法不正确的是 （ ） A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D、C 与 E是对应位似点 D. AE : AD是相似比,D,从左图中我们可以看到，OABOAB，,则 ，ABAB. 右图呢？你得到了什么？,位似图形的性质,【总结】位似图形的所有对应点的连线交于一点位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等位似图形的相似比也叫做位似比，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比,【思考】位似图形和相似图形有什么联系和区别？位似图形有何性质？,3. 如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的
4、影子是四边形 ABCD，若 OB : OB1 : 2，则四边形 ABCD 的面积与四边形ABCD的面积比为 （ ） A41 B C D14,D,O,2. 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A、B、C、D，使得,3. 顺次连接点A、B、C、D，所得四边形ABCD就是所要求的图形,O,D,A,B,C,A,B,C,D,利用位似可以把一个图形放大或缩小.例如，要把四边形ABCD缩小到原来的 ，,1. 在四边形外任选一点O（如图），,位似图形的画法,【思考】,对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A 、B 、C、D，使得 呢？
5、如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形,O,D,A,B,C,A,B,C,D,O,D,A,B,C,A,B,C,D,画位似图形的一般步骤：, 确定位似中心； 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.,归纳总结,方法点拨,画位似图形时，需要注意的事项： （1）要弄清位似比，即分清是已知图形与新图形的相似比，还是新图形与原图形的相似比 （2）若问题没有指定位似中心的位置，则画图时位似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心画图最简捷,4. 如图，以O为位似中心，将A
6、BC放大为原来的两倍,O,A,B,C,画法：作射线OA 、OB 、 OC,分别在OA、OB 、OC 上取点A 、B 、C 使得,顺次连结A 、B 、C 就是所要求图形,A,B,C,（2018青海）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，则 _,巩固练习,1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( ),B,2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形， 若AB : FG = 2 : 3， 则下列结论正确的是 ( ) A. 2 DE = 3 MN B. 3DE =2MN C. 3A = 2F D. 2A = 3F,B,3.如图，OAB和OCD是位似图形
7、，AB与CD平行吗？ 为什么？,解：ABCD,OAB与ODC是位似图形,OABOCD,OAB=C, ABCD,如图，ABC. 根据要求作ABC，使A B C ABC，且相似比为 1 : 5. （1）位似中心在ABC的一条边AB上；,O,A,B,C,假设位似中心点 O 为 AB中点，点 O 位置如图所示.,根据相似比可确定 A，B，C 的位置.,(2) 以点 C 为位似中心.,A,B,( C ),如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且 ABCDEF， (1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加以证明；,答案：DFE 与 DBA，BFE 与 BDC，AEB 与 DEC 都是位似图
8、形；证明略.,(2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长.,解： BFE BDC，AEB DEC， AB=2，CD=3，,解得,位似的概念及画法,位似图形的概念,位似图形的性质,画位似图形,平面直角坐标系中的位似,第二课时,返回,我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？,2.在平面直角坐标系中，利用图形与坐标的变换画出与已知多边形位似的多边形.,1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系 .,素养目标,3. 培养学生建立数形结合的思想，养成发
9、散思维的习惯.,在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0) 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小， 观察对应点之间坐标的变化.,平面直角坐标系中的位似变换,2,4,6,4,6,B,2,4,4,x,y,A,B,A,A“,B“,O,如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A ( ， )， B ( ， )； A“ ( ， )， B“ ( ， ).,2,1,2,0,2,1,2,0,如图，ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，将ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？,A,B,C,位似变换后A，B，
10、C的对应点为 A （ ， ），B （ ， ），C （ ， ）； A“ （ ， ），B“ （ ， ），C“ （ ， ）,4,6,4,2,12,4,4,6,4,2,4,12,A,B,C,A“,B“,C“,问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？,归纳总结,1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个,2.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比等于k或k,3.在平
11、面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点 A 的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.,注:当 k1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0k1时，图形缩小为原来的 ,1. 如图所示，AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若AOB与DOE为位似图形，且位似比为3:2，则D点坐标为_，E点的坐标为 ,（2，0）,1,例1 如图，在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A (2，4)，B (2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 ABO 的相似比为 3 : 2.,利用平
12、面直角坐标系中的位似变换作图,解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A (3，6)，B (3，0)，O (0，0).,A,B,顺次连接点 A ，B ，O，所得的 A B O 就是要画的一个图形.,提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A 的坐标为 ，即(3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.,2. 如图，ABC三个顶点坐标分别为A（2，2），B（4，5），C（5，2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍,A,B,C,解： A（ ， ），B （ ， ），C （ ， ），,4, 4, 10,8,4,10,A“ （ ， ），B“
13、（ ， ），C“（ ， ）.,4, 4, 8,10,10,4,A,B ,C ,A“,B“,C“,x,y,将图中的ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化 （1）沿y轴正向平移3个单位长度； （2）关于x轴对称； （3）以C为位似中心，将ABC放大2倍； （4）以C为中心，将ABC顺时针旋转180,平面直角坐标系中的图形变换,A1,A2,A3,A4,B1,B3,B4,C1,C2,(C3 ),(C4 ),B2,对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度.,以 x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；,以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相
14、反数.,若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数.,当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的同名坐标之比的绝对值等于相似比.,全等变换,相似变换,位似与平移、轴对称、旋转变换的对比,3. 如图，ABC在方格纸中 （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标； （2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC放大，画出放大后的图形ABC （3）计算ABC的面积S,解：（1）画出原点O，x轴、y轴B（2，1）,（2）画出图形ABC,（3）,（2018营口）如图，线段CD两个端点的坐标分别为 C（1，2），
15、D（2，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的2倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为（ ） A（3，3） B（ , ） C（2，4） D（4，2）,A,1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)， B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内 将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则 端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1),D,O,2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( ) A(4，3) B(4，2
16、) C(4，4) D(4，6),A,3. ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，1)，以原 点为位似中心，得到的位似图形 ABC 三 个顶点分别为 A (1，2)，B (2， )，C ( ， )， 则 ABC 与 ABC 的位似比是 .,1 : 3,4. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 .,(2a，2b),在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形
17、OABC 的相似比是 2 : 3.,O,C,解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A (4，0)，B (2，4)， C (2，2)，用线段顺次连接O，A，B，C.,2,4,6,4,6,B,2,4,4,x,y,A,B,A,C,2,2,画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A (4，0)，B (2，4)，C (2，2)，用线段顺次连接O，A，B，C.,O,C,2,4,6,4,6,B,2,4,4,x,y,A,B,A,C,2,2,如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)， 点 B
18、 的坐标为 (4，0).,(1) 将 AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长 度后得A1O1B1，则点 A1 的坐标为 ， A1O1B1的面积为 ；,(2，4),8,(2) 将 AOB 绕原点旋转 180 后得 A2O2B2，则点 A2 的坐标为 ；,(3，4),(3) 将 AOB 沿 x 轴翻折后得 A3O3B3， 则点 A3 的坐标为 ；,(4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 AOB 放大后得 A4O4B4，若点 B 在 x 轴 负半轴上，则点 A4的坐标为 ， A4O4B4的面积为 .,(3，4),(6，8),32,平面直角坐标系中的位似,平面直角坐标系中的位似变换,平面直角坐标系中的图形变换,坐标变化规律,平面直角坐标系中的位似图形的画法,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
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