1、2017-2018学年广东省广州市海珠区、荔湾区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）若Mx|x2px+60，Nx|x2+6xq0，若MN2，则p+q（）A21B8C6D72（5分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）Af（x），g（x）x+1Bf（x），g（x）（）2Cf（x）|x|，g（x）D3（5分）下列函数中，值域为0，+）的偶函数是（）Ayx2+1BylgxCyx3Dy|x|4（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）ABy3xCylg|x|D5（5分）设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关
2、系（）AabcBacbCbacDbca6（5分）函数f（x）2x+3x的零点所在的一个区间（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）7（5分）设函数f（x），则f（2）+f（log212）（）A3B6C9D128（5分）函数y（0a1）的图象的大致形状是（）ABCD9（5分）直线kxyk0（kR）和圆x2+y22交点的个数为（）A2个B1个C0个D不确定10（5分）圆C1：（x1）2+（y1）21和圆C2：（x+2）2+（y5）236的位置关系是（）A相离B外切C相交D内切11（5分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A若l，则lB若l，则lC若l，则lD若l，
3、则l12（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A72B48C30D24二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）计算 14（5分）经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角是 15（5分）若函数f（x）ax1（a1）在区间2，3上的最大值比最小值大，则a 16（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）三角形的三个顶点为A（2，4），B（3，1），C（1，3）（1）求BC边上高所在直线的方程；（2）求ABC的面积S18（12分）如图，在
4、直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，BC1B1CE求证：（）DE平面AA1C1C；（）BC1AB119（12分）已知函数f（x）（a1）（1）根据定义证明：函数f（x）在（，+）上是增函数；（2）根据定义证明：函数f（x）是奇函数20（12分）如图，在三棱锥SABC中，SASBACBC2，AB2，SC1（1）画出二面角SABC的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥SABC的体积21（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（32，0），R（0，1）三点（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线xy+a0交于A，B两点，且OAOB，求a的
5、值22（12分）已知函数f（x）ax2+mx+m1（a0）（1）若f（1）0，判断函数f（x）的零点个数；（2）若对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（3）已知x1，x2R且x1x2，f（x1）f（x2），求证：方程f（x）f（x1）+f（x2）在区间（x1，x2）上有实数根2017-2018学年广东省广州市海珠区、荔湾区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）若Mx|x2px+60，Nx|x2+6xq0，若MN2，则p+q（）A21B8C6D7【分析】根据交集的定义，得到方程根的关系，进行求解即可【解答】
6、解：MN2，2M，2N，即42p+60且4+12q0，得p5，q16，则p+q5+1621，故选：A【点评】本题主要考查集合交集的应用，根据元素转化为一元二次方程的根是解决本题的关键2（5分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）Af（x），g（x）x+1Bf（x），g（x）（）2Cf（x）|x|，g（x）D【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可【解答】解：A函数f（x）x+1，x1，则定义域为x|x1，所以两个函数的定义域不同，所以A不是相同函数Bf（x）（）2x，x0，g（x）|x|，所以两个函数的定义域和对应法则不同，所以B不是相同函数Cg（x）|x|，两个函数的定义域
7、和对应法则，所以C表示的是相同函数D由 即x1，由x210得x1或x1，则两个函数的定义域不同，不是相同函数故选：C【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一个函数判断的标准是看两个函数的定义域和对应法则是否相同3（5分）下列函数中，值域为0，+）的偶函数是（）Ayx2+1BylgxCyx3Dy|x|【分析】运用常见函数的奇偶性和值域，即可得到符合题意的函数【解答】解：yx2+1为偶函数，值域为1，+）；ylgx为对数函数，不为偶函数，且值域为R；yx3为奇函数，值域为R；y|x|为偶函数，值域为0，+）故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性和值域的求法，掌握常见函数的奇偶性和值域是解题的关键，属
8、于基础题4（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）ABy3xCylg|x|D【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数及函数对折变换法则，我们逐一分析四个答案中的四个函数的性质，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案【解答】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；函数y3x为非奇非偶函数，不满足条件；函数ylg|x|为偶函数，不满足条件；只有函数既是奇函数，又是增函数，满足条件；故选：D【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键5（5分）设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系（）AabcB
9、acbCbacDbca【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小【解答】解：函数y0.6x为减函数；故a0.60.6b0.61.5，函数yx0.6在（0，+）上为增函数；故a0.60.6c1.50.6，故bac，故选：C【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档6（5分）函数f（x）2x+3x的零点所在的一个区间（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【分析】判断函数的单调性，利用f（1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可【解答】解：函数f（x）2x+3x是增函数，f（1）0，f（0）1+010，可得f（1）f（0）0由零点判定定理可
10、知：函数f（x）2x+3x的零点所在的一个区间（1，0）故选：B【点评】本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断7（5分）设函数f（x），则f（2）+f（log212）（）A3B6C9D12【分析】先求f（2）1+log2（2+2）1+23，再由对数恒等式，求得f（log212）6，进而得到所求和【解答】解：函数f（x），即有f（2）1+log2（2+2）1+23，f（log212）126，则有f（2）+f（log212）3+69故选：C【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题8（5分）函数y（0a1）的图象的大致形状是（）ABCD【分析】分x
11、0与x0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状【解答】解：当x0时，|x|x，此时yax（0a1）；当x0时，|x|x，此时yax（0a1），则函数（0a1）的图象的大致形状是：，故选：D【点评】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键9（5分）直线kxyk0（kR）和圆x2+y22交点的个数为（）A2个B1个C0个D不确定【分析】首先求出直线所经过的定点，进一步判断定点和圆的位置关系，进一步求出直线和圆的位置关系【解答】解：直线kxyk0（kR）转化为：yk（x1），则：直线经过定点（1，0），由于定点（1，0）在圆x2+y22的内部故经过定点的
12、直线与圆有两个交点故选：A【点评】本题考查的知识要点：经过定点的直线系的应用，点和圆的位置关系的应用10（5分）圆C1：（x1）2+（y1）21和圆C2：（x+2）2+（y5）236的位置关系是（）A相离B外切C相交D内切【分析】求出两圆圆心距离以及半径，根据圆心距和半径之间的关系进行判断即可【解答】解：圆心坐标分别为C1：（1，1），C2：（2，5），两圆半径分别为R6，r1，圆心距离|C1C2|5，则|C1C2|Rr，即两圆相内切，故选：D【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出圆心距，判断圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键11（5分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命
13、题正确的是（）A若l，则lB若l，则lC若l，则lD若l，则l【分析】在A中，l或l；在B中，由线面垂直的判定定理得l；在C中，l或l；在D中，l与相交、平行或l【解答】解：由设，是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若l，则l或l，故A错误；在B中，若l，则由线面垂直的判定定理得l，故B正确；在C中，若l，则l或l，故C错误；在D中，若l，则l与相交、平行或l，故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题12（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A7
14、2B48C30D24【分析】由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项【解答】解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积VV圆锥+V半球体30故选：C【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）计算2【分析】直接由对数的运算性质计算得答案【解答】解：故答案为：2【点评】本题考查了对数的运算性质，是基
15、础题14（5分）经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角是45【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的倾斜角【解答】解：P（1，3），Q（3，5），设经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角为，（0180），则tan1，45故答案为：45【点评】本题考查直线倾斜角的求法，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题15（5分）若函数f（x）ax1（a1）在区间2，3上的最大值比最小值大，则a【分析】由题意可得关于a的一元二次方程，求解得答案【解答】解：函数f（x）ax1（a1）在区间2，3上为增函数，f（x）mina由题意可得：，解得a（a1）故答案为：【点评
16、】本题考查指数函数的单调性，考查一元二次方程的解法，是基础题16（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为12【分析】先求出该正方体的棱长a2，再求出球半径R，由此能求出该球面的表面积【解答】解：体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，该正方体的棱长a2，球半径R，该球面的表面积S412故答案为：12【点评】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）三角形的三个顶点为A（2，4），B（3，1），C（1，3）（1）求BC边上高所在直线的方程；（2）求ABC的
17、面积S【分析】（1）利用斜率直线计算公式可得kBC，可得BC边上高所在直线的斜率k，利用点斜式可得可得BC边上高所在直线的方程（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，利用点斜式可得直线BC的方程利用点到直线的距离公式可得点A到直线BC的距离d，可得ABC的面积S|BC|d【解答】解：（1）kBC1，BC边上高所在直线的斜率k1，可得BC边上高所在直线的方程：y4（x+2），即为：x+y20（2）|BC|4，直线BC的方程为：y3x1，化为：xy+20点A到直线BC的距离d2ABC的面积S|BC|d8【点评】本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距
18、离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，BC1B1CE求证：（）DE平面AA1C1C；（）BC1AB1【分析】（1）由三角形中位线定理得DEAC，由此能证明DE平面AA1C1C（2）推导出BC1B1C，ACCC1，ACBC，从而AC平面BCC1B1，进而ACBC1，由此能证明BC1AB1【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1B1CE，E是B1C的中点，AB1的中点为D，DEAC，AC平面AA1C1C，DE平面AA1C1C，DE平面AA1C1C（2）在直三
19、棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，BC1B1C，ACCC1，又ACBC，BCCC1C，AC平面BCC1B1，ACBC1，ACB1CC，BC1平面ACB1，BC1AB1【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（12分）已知函数f（x）（a1）（1）根据定义证明：函数f（x）在（，+）上是增函数；（2）根据定义证明：函数f（x）是奇函数【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；（2）根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可【解答】证明：（1）f（x）1，令mn，则f（m）f（n）11+，a1，mn，则aman，
20、（an+1）（am+1）0，故0，故f（m）f（n）0，故f（x）在R递增；（2）由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f（x）f（x），故f（x）是奇函数【点评】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题20（12分）如图，在三棱锥SABC中，SASBACBC2，AB2，SC1（1）画出二面角SABC的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥SABC的体积【分析】（1）取AB中点O，连结SO，CO，推导出SOAB，COAB，从而SOC是二面角SABC的平面角，由此能求出二面角SABC的大小（2）过S作SE平面ABC，交CO于E，求出OE，SE，由此能求出三棱锥SAB
21、C的体积【解答】解：（1）取AB中点O，连结SO，CO，SASBACBC2，AB2，SC1SOAB，COAB，SOC是二面角SABC的平面角，SOCO1，cosSOC，二面角SABC的大小为：SOC60（2）过S作SE平面ABC，交CO于E，OE，SE，三棱锥SABC的体积：VSABC【点评】本题考查二面角的大小的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题21（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（32，0），R（0，1）三点（1）求圆C的方程；（2）若圆C
22、与直线xy+a0交于A，B两点，且OAOB，求a的值【分析】（1）利用已知条件求出圆的一般式方程（2）首先求出弦AB的值，进一步利用点到直线的距离公式求出结果【解答】解（1）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F0，圆C经过P（3+2，0），Q（32，0），R（0，1）三点则：1+E+F0，令y0，则：圆的方程转化为：x2+Dx+F0，则：，解得：D6利用：，解得：F1故：E2所以圆的方程为：x2+y26x2y+10（2）圆x2+y26x2y+10，转化为标准式为：（x3）2+（y1）29由于圆C与直线xy+a0交于A，B两点，且OAOB，取AB中点M，连接OM，可得|OM|AB|，由CMA
23、B，可得CM：y1（x3），即yx+4，解得M（2，2+），则|AB|2，即有，解得a1【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，直线和圆的位置关系的应用点到直线的距离公式的应用22（12分）已知函数f（x）ax2+mx+m1（a0）（1）若f（1）0，判断函数f（x）的零点个数；（2）若对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（3）已知x1，x2R且x1x2，f（x1）f（x2），求证：方程f（x）f（x1）+f（x2）在区间（x1，x2）上有实数根【分析】（1）由f（1）0可求得a1，利用因式分解，讨论m2与m不为2，分析判断即可；（2）由题意可得可得10恒成立
24、，即m24am+4a0对任意实数m恒成立，可得20，即16a216a0，解不等式即可得到所求范围；（3）令F（x）f（x）f（x1）+f（x2），可证得F（x1）F（x2）0，由零点存在定理可知方程f（x）f（x1）+f（x2）在区间（x1，x2）上有实数根【解答】（1）解：函数f（x）ax2+mx+m1（a0），且f（1）0，am+m10，则a1，f（x）x2+mx+m1（x+1）（x1+m），当m2时，此函数f（x）有一个零点1；当m2时，函数f（x）有两个零点1，1m；（2）解：对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，可得10恒成立，即m24a（m1）0，即为m24am+4a0对任意实数m恒成立，可得20，即16a216a0，解得0a1；（3）证明：令F（x）f（x）f（x1）+f（x2），则F（x1）f（x1）f（x1）+f（x2）f（x1）f（x2），F（x2）f（x2）f（x1）+f（x2）f（x2）f（x1），f（x1）f（x2）F（x1）F（x2）f（x2）f（x1）20，所以F（x）0在（x1，x2）内必有一个实根，则方程f（x）f（x1）+f（x2）在区间（x1，x2）上有实数根【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数零点的判定定理，考查化归思想与构造函数的思想的综合应用，属于难题
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