1、2017-2018学年天津市河西区高一（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（3分）已知直线ab，且a与平面相交，那么b与平面的位置关系是（）A相交B平行或在平面内C相交或平行D相交或在平面内2（3分）在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长是（）ABCD3（3分）已知向量（x1，2），（2，1），且，则x（）AB1C5D04（3分）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定5（3分）下列命题正确的是（）A棱柱的底面一定是平行四边形B棱锥的底面一定是三角形C棱锥被平面分
2、成的两部分不可能都是棱锥D棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱6（3分）已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD7（3分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，（2，4），（1，3），则等于（）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）8（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是（）AA1C1平面ABCDBAC1BDCAC1与CD成45角DA1C1与B1C成60角二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.9（4分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为 10（4分）已知单位向量与的夹角为，且co
3、s，若向量32，则| 11（4分）已知向量（3，1），（1，m），若2与+3共线，则m 12（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）13（4分）已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题：lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是 14（4分）如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是
4、 三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（8分）在ABC中，求证：16（8分）已知（2，1），（3，4）（）求3的坐标和模；（）求与的夹角的余弦值17（8分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，DD1的中点设点E1是点E在平面DCC1D1内的正投影（1）证明：直线FG平面FEE1；（3）求异面直线E1G与EA所成角的正弦值18（8分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积19（10分）已知点O（0，
5、0），A（1，2），B（4，5）及+t（）当t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第三象限角内；（）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由20（10分）已知：平行四边形ABCD中，DAB45，ABAD2，平面AED平面ABCD，AED为等边三角形，EFAB，EF，M为线段BC的中点（1）求证：直线MF平面BED；（2）求证：平面BED平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值2017-2018学年天津市河西区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（3分）已知直线ab，且a与平面相交
6、，那么b与平面的位置关系是（）A相交B平行或在平面内C相交或平行D相交或在平面内【分析】由ab即可得出结论【解答】解：ab，a与平面相交，b与平面相交，故选：A【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于基础题2（3分）在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长是（）ABCD【分析】由B45，C60可得A75从而可得B角最小，根据大边对大角可得最短边是b，利用正弦定理求b即可【解答】解：由B45，C60可得A75，B角最小，最短边是b，由可得，b，故选：A【点评】本题主要考查了三角形的内角和、大边对大角、正弦定理等知识的综合进行解三角形，属于基础试题3（3分）已知向量（x1，2），（2
7、，1），且，则x（）AB1C5D0【分析】由题意可得2（x1）+20，解之即可【解答】解：（x1，2），（2，1），且，2（x1）+20，解之可得x0故选：D【点评】本题考查平面向量数量积的运算与向量的垂直的关系，属基础题4（3分）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【分析】由sin2A+sin2Bsin2C，结合正弦定理可得，a2+b2c2，由余弦定理可得CosC可判断C的取值范围【解答】解：sin2A+sin2Bsin2C，由正弦定理可得，a2+b2c2由余弦定理可得cosCABC是钝角三角形故选：C【点评】本题
8、主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题5（3分）下列命题正确的是（）A棱柱的底面一定是平行四边形B棱锥的底面一定是三角形C棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱【分析】棱柱的底面是平面多边形，即可判断A；棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，即可判断B；棱锥被过顶点的平面分成的两部分有可能都是棱锥，即可判断C；棱柱被平行于底面的平面所截分成的两部分可以都是棱柱即可判断D【解答】解：对于A棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故A错；对于B棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故B错；对于C棱锥被过顶点的平面分成
9、的两部分有可能都是棱锥，故C错；对于D棱柱被平行于底面的平面所截分成的两部分可以都是棱柱，故D对故选：D【点评】本题考查棱柱和棱锥的概念、分类和性质，考查空间位置关系和空间想象能力，属于基础题和易错题6（3分）已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD【分析】由条件求得 （3，4），|5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果【解答】解：已知点A（1，3），B（4，1），（4，1）（1，3）（3，4），|5，则与向量同方向的单位向量为 ，故选：A【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题7（3分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，（
10、2，4），（1，3），则等于（）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）【分析】利用平行四边形对边平行相等，结合向量的运算法则，求解即可【解答】解：，（3，5）故选：C【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力8（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是（）AA1C1平面ABCDBAC1BDCAC1与CD成45角DA1C1与B1C成60角【分析】在A中，由A1C1AC，得A1C1平面ABCD；在B中，由BD平面ACC1A1，得AC1BD；在C中，由CDAB，得BAC1是AC1与CD所成角，BAC145；在D中，A1C1AC，从而B1CA是A1C1与B
11、1C所成角，由ACB1CAB1，得A1C1与B1C成60角【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中在A中，A1C1AC，A1C1平面ABCD，AC平面ABCD，A1C1平面ABCD，故A正确；在B中，ACBD，AA1BD，ACAA1A，BD平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，AC1BD，故B正确；在C中，正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为1，ABC1中，AB1，BC1，AC1，CDAB，BAC1是AC1与CD所成角，cosBAC1，BAC145，即AC1与CD所成角不是45，故C错误；在D中，A1C1AC，B1CA是A1C1与B1C所成角，ACB1CAB1，B1CA60，A
12、1C1与B1C成60角，故D正确故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想，是中档题二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.9（4分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：几何体上部是圆锥，下部是圆柱，所以几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状10（4分）已知单位向量与的夹角为，且cos，若向量32，则|3【分析】由条件利用两个向量的数量积
13、的定义求出的值，从而得到|的值【解答】解：99，|3，故答案为：3【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题11（4分）已知向量（3，1），（1，m），若2与+3共线，则m【分析】由题意求出2与+3，通过共线，列出关系式，求出m的值【解答】解：因为向量（3，1），（1，m），所以2（5，2m）；+3（6，1+3m）又2与+3共线，所以5（1+3m）（2m）60，解得m故答案为：【点评】本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力12（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m
14、（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在RtACD、RtABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则RtACD中，C30，AD46m，AB，根据正弦定理，得BC60m故答案为：60m【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题13（4分）已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题
15、：lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是【分析】直线l平面，直线m平面，当有lm，当有lm或l与m异面或相交，当lm有，当lm有或，得到结论【解答】解：直线l平面，直线m平面，当有lm，故正确当有lm或l与m异面或相交，故不正确当lm有，故正确，当lm有或，故不正确，综上可知正确，故答案为：【点评】本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是看出在所给的条件下，不要漏掉其中的某一种位置关系，本题是一个基础题14（4分）如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示
16、出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果【解答】解：，|，|1，|1，（）（）2+2，故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积的运算本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（8分）在ABC中，求证：【分析】ABC中，由正弦定理可得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，代入要证的等式的左边化简，可得等式的右边【解答】解：在ABC中，由正弦定理可得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，故成立得证【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查了转化思
17、想，属于基础题16（8分）已知（2，1），（3，4）（）求3的坐标和模；（）求与的夹角的余弦值【分析】（）利用平面向量坐标运算法则能求出3的坐标和模（）cos，由此能求出与的夹角的余弦值【解答】解：（）（2，1），（3，4）3（6，3）+（12，16）（6，19），|（）cos，与的夹角的余弦值为【点评】本题考查向量的坐标和模的求法，考查向量的夹角的余弦值的求法，考查平面向量坐标运算法则、数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题17（8分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，DD1的中点设点E
18、1是点E在平面DCC1D1内的正投影（1）证明：直线FG平面FEE1；（3）求异面直线E1G与EA所成角的正弦值【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由0，0，利用向量法能证明直线FG平面FEE1（2）求出（0，2，0），（1，2，1），利用向量法能求出异面直线E1G与EA所成角的正弦值【解答】（1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得G（0，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），E1（0，2，1），（0，1，1），（1，1，1），（0，1，1），01+10，01+10，FGFE，FGFE1，
19、又FEFE1F，直线FG平面FEE1（2）解：A（2，0，0），（0，2，0），（1，2，1），设异面直线E1G与EA所成角为，cos，sin异面直线E1G与EA所成角的正弦值为【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用18（8分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
20、（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，将上式代入得，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB0，即2sinAcosB+sin（B+C）0，A+B+C，sin（B+C）sinA，2sinAcosB+sinA0，即sinA（2cosB+1）0，sinA0，cosB，B为三角形的内角，B（2）将b，a+c4，B代入余弦
21、定理b2a2+c22accosB得：b2（a+c）22ac2accosB，即即13162ac（1），ac3，SABCacsinB【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形熟练掌握定理及公式是解本题的关键属于中档题19（10分）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及+t（）当t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第三象限角内；（）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由【分析】（）利用向量的坐标运算得到点p的坐标，据x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0；第三象限的点横、纵坐标小于0得t的范围；（）据平行四边形的对边对应的向量相等，再
22、据相等向量的坐标对应相等列出方程组，求解【解答】解：由O（0，0），A（1，2），B（4，5），得+t（1+4t，2+5t）（）点P（1+4t，2+5t），当2+5t0，即t时，点P在x轴上；当1+4t0，即t时，点P在y轴上；当，即t时，点P在第三象限；（）若能构成平行四边形，则有，即（1，2）（34t，35t），此方程无解故不存在t使四边形OABP构成平行四边形【点评】本题考查向量的几何意义、x，y轴上点坐标的特点及第三象限点坐标的特点、向量相等的坐标表示，是中档题20（10分）已知：平行四边形ABCD中，DAB45，ABAD2，平面AED平面ABCD，AED为等边三角形，EFAB，EF，
23、M为线段BC的中点（1）求证：直线MF平面BED；（2）求证：平面BED平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值【分析】（1）取BD的中点G，连结MG，EG，通过证明四边形EFMG是平行四边形得出MFEG，从而有MF平面BED；（2）取AD中点O，则OEAD，根据面面垂直和线面垂直的性质得出OEBD，利用勾股定理逆定理证明BDAD，于是BD平面ADE，从而平面BED平面EAD；（3）以O为原点建立空间坐标系，求出平面BED的法向量，通过计算法向量与的夹角得出直线BF与平面BED所成角【解答】证明：（1）取BD的中点G，连结MG，EG，M为线段BC的中点，G是BD的中点，MGCD，
24、又CD，EFAB，EFGM，四边形EFMG是平行四边形，MFEG，又MF平面BED，EG平面BED，MF平面BED（2）取AD中点O，连结EO，则OEAD，平面AED平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，OE平面ADE，OEAD，OE平面ABCD，又BD平面ABCD，OEBD，AB2，AD2，BAD45，BD2，AD2+BD2AB2，ADBD，又AD平面ADE，OE平面ADE，ADOEO，BD平面ADE，又BD平面BDE，平面BED平面EAD解：（3）过O作ONAB，垂足为N，则ONOM，以O为原点，以ON，OM，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，0，），G（0，0），B（，0），F（0，），（，），（0，），（，），设平面BDE的法向量为（x1，y1，z1），则，令y1得（，），cos，设直线BF与平面BED所成角为，则sin|cos|直线BF与平面BED所成角的正弦值为【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题
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