1、2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）某企业有职150人，其中高级职员15人，中级职员45人，一般职员90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）A5，10，15B3，9，18C3，10，17D5，9，162（4分）已知变量x，y之间的线性回归方程为0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）Am4B可以预测，当x20时，y3.7C变量x，y之间呈现负相关关系D由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）3（4分）在空间直角坐标
2、系Oxyz中，点P（2，4，3）到x轴的距离为（）A2B3C5D4（4分）已知实数m，n满足m+n10，则m2+n2的最小值为（）ABC1D25（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC3D6（4分）在三棱锥PABC中，AP2，AB，PA面ABC，且在ABC中，C60，则该三棱锥外接球的表面积为（）AB8C10D127（4分）如图，在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：三棱锥DBPC1的体积为定值；异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；二面角PBC1D的大小为定值；AP平面A1B1CD其中真命题有（）A1个B2个C3个D4个
3、8（4分）设直线l：3x+4y+a0，圆C：（x2）2+y22，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得PMQ90，则a的取值范围是（）A18，6B65，6+5C16，4D65，6+5二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9（4分）从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图假设这种指标值在185，215内则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为10（4分）由直线yx+1上的一点向圆（x3）2+y21引切线，则切线长的最小值为 11（4分）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方
4、程为 12（4分）如图，已知边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为 13（4分）甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，则的概率是 14（4分）如图，在边长为6的正方形EFGH内有一个锐角ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4asinBb，且a6，b+c8，则往正方形EFGH内投一粒豆子，豆子落在锐角ABC内的概率为 三、解答题：本大题共5小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（12分）某电
5、脑公司有6名产品推销员，其中工作年限与年推销金额数据如表：16（12分）已知a，b，c分别为ABC三内角A，B，C的对边，且满足a+bcosCccosBb（）求角C的大小；（）若c2（a+b）26，求ABC的面积17（13分）4月7日是世界健康日，成都某运动器材与服饰销售公司为了制定销售策略，在成都市随机抽取了40名市民对其每天的锻炼时间进行调查，锻炼时间均在20分钟至140分钟之间，根据调查结果绘制的锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示（）根据频率分布直方图计算人们锻炼时间的中位数；（）在抽取的40人中从锻炼时间在20，60的人中任选2人，求恰好一人锻炼时间在20，40的概率18（
6、13分）如图，四边形ABCD为梯形，ABCD，PD平面ABCD，BADADC90，DC2AB2a，E为BC中点（1）求证：平面PBC平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由19（14分）已知圆M与直线x2相切，圆心M在直线x+y0上，且直线xy20被圆M截得的弦长为2（）求圆M的方程，并判断圆M与圆N：x2+y26x+8y+150的位置关系；（）若横截距为1且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ的倾斜角与直线BQ的倾斜角互补，若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由2017
7、-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）某企业有职150人，其中高级职员15人，中级职员45人，一般职员90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）A5，10，15B3，9，18C3，10，17D5，9，16【分析】共有150人，要抽一个30人的样本，采用分层抽样，每个个体被抽到的概率是，根据这个比例作出各种职称的人数【解答】解：抽取的比例为，153，459，9018故选：B【点评】这种问题是高考题中容易出现的，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在
8、各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等2（4分）已知变量x，y之间的线性回归方程为0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）B可以预测，当x20时，y3.7C变量x，y之间呈现负相关关系D由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）【分析】由表中数据计算、，代入线性回归方程中求得m的值，再判断选项中的命题是否正确【解答】解：由表中数据，计算（6+8+10+12）9，（6+m+3+2），代入线性回归方程0.7x+10.3中，得0.79+10.3，解得m5，A错误；x20时，0.7x+10.30.720+10.33
9、.7，B正确；0.70，变量x，y之间呈现负相关关系，C正确；由题意知，9，4，该回归直线必过样本中心点（9，4），D正确故选：A【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题3（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（2，4，3）到x轴的距离为（）A2B3C5D【分析】点P（2，4，3）到x轴的距离即P（2，4，3）到点Q（2，0，0）的距离，由此能求出点P（2，4，3）到x轴的距离【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点P（2，4，3）到x轴的距离即P（2，4，3）到点Q（2，0，0）的距离，点P（2，4，3）到x轴的距离为|PQ|5故选：C【点评】本题空间直角坐标系中的点到x轴的距
10、离的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查学生的空间想象能力，是基础题4（4分）已知实数m，n满足m+n10，则m2+n2的最小值为（）ABC1D2【分析】由m2+n2，即可【解答】解：2（m2+n2）m2+n2的+2mn（m+n）2m2+n2，故选：B【点评】被踢考查了不等式的性质，属于基础题5（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）【分析】由几何体的三视图得该几何体是三棱锥SABC，其中SO底面ABC，O是AC中点，且OAOCOB1，SO2，OBAC，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥SABC，其中SO底面ABC，O是AC中点，
11、且OAOCOB1，SO2，OBAC，该几何体的体积为：VSABC故选：A【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查三视图等基知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题6（4分）在三棱锥PABC中，AP2，AB，PA面ABC，且在ABC中，C60，则该三棱锥外接球的表面积为（）AB8C10D12【分析】根据正弦定理得出截面圆的半径为1，利用球的几何性质把空间转化为平面为梯形PANO，利用平图形的几何性质求解【解答】解：根据题意得出图形如右图：O为球心，N为底面ABC截面圆的圆心，ON面ABC，在三棱锥PABC中，AP2，AB，PA面ABC，且在ABC中，C60
12、，根据正弦定理得出：2r，解得r1，PA面ABC，PAON，PA2，AN1，ONd，OAOPR，根据等腰三角形得出：12+d2（2d）2+12，解得d1，R，三棱锥的外接球的表面积为4R28故选：B【点评】本题综合考查了空间几何的性质，球的几何意义，学生的空间想象能力，解决三角形的问题，属于综合性较强的题目7（4分）如图，在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：三棱锥DBPC1的体积为定值；异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；二面角PBC1D的大小为定值；AP平面A1B1CD其中真命题有（）A1个B2个C3个D4个【分析】，由，结合题意判断三棱锥
13、DBPC1的体积为定值；，根据正方体的结构特征判断异面直线C1P与CB1所成的角为定值90；，根据二面角PBC1D是平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，夹角为定值；，根据A1D平面A1B1CD得出AP平面A1B1CD【解答】解：对于，由知，面积一定，且PAD1，AD1平面BDC1，点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，三棱锥的体积为定值，正确；对于，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，B1C平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，B1CC1P，异面直线C1P与CB1所成的角为定值90，正确；对于，二面角PBC1D的大小，是平面ABC1D1与
14、平面BDC1所成的二面角，这两个平面为固定的平面，它们的夹角为定值，正确；对于，点P在线段AD1上运动，AD1A1D，AD1CD，且A1DCDD，A1D平面A1B1CD，AP平面A1B1CD，正确；综上，正确的命题序号是故选：D【点评】本题考查了异面直线所成角以及直线与平面和二面角的应用问题，也考查了三棱锥的体积计算问题，是综合题8（4分）设直线l：3x+4y+a0，圆C：（x2）2+y22，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得PMQ90，则a的取值范围是（）A18，6B65，6+5C16，4D65，6+5【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小
15、于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解【解答】解：圆C：（x2）2+y22，圆心为：（2，0），半径为，在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得PMQ90，在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故2，解得16a4故选：C【点评】本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于2是解决问题的关键，属中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9（4分）从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图假设这种指标值在185，215内
16、则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为79%【分析】由频率分布直方图求出这种指标值在185，215内的频率，由此能估计该企业这种产品在这项指标上的合格率【解答】解：这种指标值在185，215内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在185，215内的频率为：（0.022+0.033+0.024）100.79，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79100%79%故答案为：79%【点评】本题考查产品合格率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（4分）由直线yx+1上的一点向圆（x3）2+y21引切线，则切线长的最
17、小值为【分析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小【解答】解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小圆心到直线的距离为：切线长的最小值为：，故答案为：【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题11（4分）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y50，或3x2y0【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，a5，直线方
18、程为x+y50若直线的截距为0，可设为ykx，把P（2，3）代入，得32k，k，直线方程为3x2y0所求直线方程为x+y50，或3x2y0故答案为x+y50，或3x2y0【点评】本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握12（4分）如图，已知边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为【分析】：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值【解答】解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，2，
19、0），E（1，0，1），B（0，2，0），C（0，0，0），D1（2，0，2），（1，2，1），（0，2，0），（2，0，2），设平面A1BCD1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，1），设直线AE与平面A1BCD1所成角为，则sin，cos，tan直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为故答案为：【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题13（4分）甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，则的概率是【分析】由茎叶图求出，由，得9089+，
20、xN，由此能过河卒子 同的概率【解答】解：由已知中的茎叶图可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87，86，92，94，91，则乙的平均成绩：（87+86+92+94+91）90设污损数字为x则甲的5次综合测评中的成绩分别为85，87，84，99，90+X甲的平均成绩：（85+87+84+99+90+x）89+，9089+，xN，解得x的可能取值为6，7，8，9，的概率是p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶力的性质的合理运用14（4分）如图，在边长为6的正方形EFGH内有一个锐角ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4asinBb，且a6，b+c8，则
21、往正方形EFGH内投一粒豆子，豆子落在锐角ABC内的概率为【分析】求出正方形EFGH的面积和ABC的面积，利用面积比求出概率值【解答】解：正方形EFGH的面积为S正方形EFGH6236，锐角ABC中，4asinBb，4sinAsinBsinB，sinA，又a6，b+c8，a2b2+c22bccosA（b+c）22bc2bccosA822bc2bc642bc（1+）36，bc8，ABC的面积为SABCbcsinA8所求的概率为P故答案为：【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
22、15（12分）某电脑公司有6名产品推销员，其中工作年限与年推销金额数据如表：（）请画出上表数据的散点图；（）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程+x；（）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额（参考公式：，）【分析】（）根据表中所给的5组数据，写出5个有序数对，画出平面直角坐标系，在坐标系中描出5个点，就是我们要求的散点图（）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再利用样本中心点满足线性回归方程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出a的值，写出线性回归方程（）第6名推销员的工作年限为11年，即当x11时，把自变量的值代入线性回归方程，得到y的预报值，即估计出第6
23、名推销员的年推销金额为5.9万元【解答】解：（）依题意，画出散点图如图所示，（）由题意，6，3.4则0.5，a3.430.4年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为0.5x+0.4（）当x11时，0.5x+0.40.511+0.45.9（万元）可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，是一个综合题目16（12分）已知a，b，c分别为ABC三内角A，B，C的对边，且满足a+bcosCccosBb（）求角C的大小；（）若c2（a+b）26，求ABC的面积【分析】（）由正弦定理把已知等式边化角，结合sinAsin（B+C），得
24、cosC，得C；（）由c2（a+b）26a2+b2+2ab6，结合余弦定理得ab6，得ABC的面积S【解答】解：（）由正弦定理得sinA+sinBcosCsinCcosBsinB，又sinAsin（B+C）sinBcosC+sinCcosB，2cosC1，即cosC，而C为ABC的内角，C；（）由c2（a+b）26a2+b2+2ab6，再由（）可得，c2a2+b2+2ab（）a2+b2+ab，所以2ab6ab，即ab6，所以ABC的面积SabsinC6【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力17（13分）4月7日是世界健康日，成都某运动器材与服饰销售公司为了制定销
25、售策略，在成都市随机抽取了40名市民对其每天的锻炼时间进行调查，锻炼时间均在20分钟至140分钟之间，根据调查结果绘制的锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示（）根据频率分布直方图计算人们锻炼时间的中位数；（）在抽取的40人中从锻炼时间在20，60的人中任选2人，求恰好一人锻炼时间在20，40的概率【分析】（）由频率分布直方图得锻炼时间在20，40）的频率为0.05，锻炼时间在40，60）的频率为0.15，锻炼时间在60，80）的频率为0.4，由此能求出人们锻炼时间的中位数（）由频率分布直方图得锻炼时间在20，40）的人数为2，设这2人为x1，x2，锻炼时间在40，60）的人数为6，设
26、这6人为y1，y2，y3，y4，y5，y6，从这8人中任取2人，利用列举法能求出恰好一人锻炼时间在20，40的概率【解答】解：（）由频率分布直方图得锻炼时间在20，40）的频率为0.0025200.05，锻炼时间在40，60）的频率为0.0075200.15，锻炼时间在60，80）的频率为0.0200200.4，锻炼时间的中位数在60，80）内，设中位数为x，则0.05+0.15+（x60）0.020.5，解得x75，人们锻炼时间的中位数为75分钟（）由频率分布直方图得锻炼时间在20，40）的人数为0.002520402，设这2人为x1，x2，锻炼时间在40，60）的人数为0.00752040
27、6，设这6人为y1，y2，y3，y4，y5，y6，从这8人中任取2人的不同取法有：（x1，x2），（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x1，y4），（x1，y5），（x1，y6），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x2，y4），（x2，y5），（x2，y6），（y1，y2），（y1，y3），（y1，y4），（y1，y5），（y1，y6），（y2，y3），（y2，y4），（y2，y5），（y2，y6），（y3，y4），（y3，y5），（y3，y6），（y4，y5），（y4，y6），（y5，y6），其中恰有1人锻炼时间在20，40）内的不同取法有12种，恰好一人锻炼时
28、间在20，40的概率p【点评】本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（13分）如图，四边形ABCD为梯形，ABCD，PD平面ABCD，BADADC90，DC2AB2a，E为BC中点（1）求证：平面PBC平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由【分析】（1）连结BD，由已知求解三角形可得BDDC2a，再由E为BC中点，可得BCDE，由PD平面ABCD，可得BCPD，然后利用线面垂直的判定可得BC平面PDE，进一步得到平面PBC平面PDE；（2）当点F位于PC三分之一
29、分点（靠近P点）时，PA平面BDF连结AC，BD交于O点，由题意可得AOBCOD，再由，得，由，可得，从而得到OFPA，由线面平行的判定得PA平面BDF【解答】（1）证明：连结BD，BADADC90，ABa，BDDC2a，E为BC中点，BCDE，又PD平面ABCD，BCPD，DEPDD，BC平面PDE，BC平面PBC，平面PBC平面PDE；（2）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA平面BDF证明如下：连结AC，BD交于O点，ABCD，AOBCOD，又，从而在CPA中，而，OFPA，而OF平面BDF，PA平面BDF，PA平面BDF【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面平行的
30、判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题19（14分）已知圆M与直线x2相切，圆心M在直线x+y0上，且直线xy20被圆M截得的弦长为2（）求圆M的方程，并判断圆M与圆N：x2+y26x+8y+150的位置关系；（）若横截距为1且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ的倾斜角与直线BQ的倾斜角互补，若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）设圆心M为（a，a），根据圆M与直线x2相切，且直线xy20被圆M截得的弦长为2解得圆心M或r，从而求出圆M的方程，由圆N的方程得到圆N的圆心和半径R，求出|MN|的值即可判断圆M与圆N的位置关系；（）
31、设直线l：xmy+1（m0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，化简可得y1+y2，y1y2的值，假设存在Q（t，0）满足条件，求出kAQ，kBQ结合kAQ+kBQ0，化简整理即可求出t的值，从而判断存在Q满足条件【解答】解：（）圆心M在直线x+y0上，设圆心M为（a，a），圆M与直线x2相切，且直线xy20被圆M截得的弦长为2则，解得a0，r2圆心M（0，0），r2，圆M的方程为x2+y24，圆N的圆心（3，4），半径R，|MN|5（2，+2），圆M与圆N相交；（）设直线l：xmy+1（m0），A（x1，y1），B（x2，y2），代入x2+y24，化简得（m2+1）y2+2my30，y1+y2，y1y2，假设存在Q（t，0）满足条件，则kAQ，kBQ，若kAQ+kBQ0，则+0，即 0，解得2m（t2）0且m0，即t2故存在Q（2，0）满足条件【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的方程的求法，考查根与系数的关系，考查运算能力，属于中档题
浙公网安备33030202001339号