1、专题14 探究图形之性质，代数运算是利器【题型综述】探究图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一 面积计算例1 【2016高考上海理数】（本题满分14）有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较
2、近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图（1） 求菜地内的分界线的方程（2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值【解析】类型二 四边形形状探究例2. 【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由
3、【解析】类型三 探究角是否相等例3【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【解析】类型四 探究两直线的位置关系例4.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【解析】【扩展链接】1.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等
4、于已知是锐角；2.给出,等于已知是的平分线；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;5.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，则有 ；【新题展示】1【2019四川凉山二诊】椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【思路引导】（1）由条件布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；（2）由为的垂心可知，利用韦达定理表示此条件即可得到结果2【2019山东潍坊一模】如图，点为圆：
5、上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由来源:Z+xx+k.Com【思路引导】（1）设，则，且，通过，转化求解即可（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，则其充要条件为，则点Q的坐标为（x1+x2，y1+y2）由此利用韦达定理结合点Q在曲线上，得到关于k的方程求解即可3【
6、2019山东淄博3月模拟】已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，0)三角形ABM的两条边AM，BM所在直线的斜率之积是()求点M的轨迹方程；()设直线AM方程为，直线l方程为x2，直线AM交l于P，点P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D若APD面积为2，求m的值【思路引导】（I）设出点的坐标，利用斜率乘积为建立方程，化简后求得点的轨迹方程（II）联立两条直线的方程求得点的坐标，进而求得点的坐标，将直线的方程和的轨迹方程联立，求得点的坐标，进而求得直线的方程，从而求得点的坐标，利用三角形的面积列方程，解方程求得的值4【2019福建龙岩质检】已知椭圆的两焦点为、，抛物线：（）的焦点为，
7、为等腰直角三角形（）求的值；（）已知过点的直线与抛物线交于两点，又过作抛物线的切线，使得，问这样的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【思路引导】（）先写出、的坐标，利用为等腰直角三角形，求得p即可（）依题意，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk（x+2），可得切线l1，l2的斜率分别为，x1x24再将直线与抛物线联立，结合韦达定理解得k即可5【2019广西桂林市，贺州市，崇左市3月联合调研】已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，设为坐标原点，且（1）求的值；（2）若，的面积成等比数列，求直线的方程【思路引导】（1）利用，从而可得结果；（2）由（1）知点为抛物线的焦点
8、，可设直线的方程为，由 ，成等比数列，可得，即利用韦达定理可得，解方程即可得结果6【2019河北石家庄3月质检】已知椭圆（）的离心率为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由来源:学*科*网Z*X*X*K【思路引导】（1）由题得a，b，c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可7【2019山东临沂2月质检】已知抛物线E：上一点M到焦点F的距离为5(1)求抛物线E的方程；(2)直线与圆C：相切
9、且与抛物线E相交于A，B两点，若AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线的方程【思路引导】（1）由抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线的方程；（2）设直线l的方程为xmy+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），根据直线l与圆C相切得出m与n所满足的第一个关系式，将直线l的方程联立，列出韦达定理，计算出|AB|以及原点O到直线l的距离d，然后利用三角形的面积公式计算出AOB的面积，得出m与n所满足的第二个关系式，然后将两个关系式联立，求出m和n的值，即可得出直线l的方程8【2019湖北十堰模拟】已知椭圆过点（1）求椭圆的方程，并求其离心率；（2）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭
10、圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与交于另一点设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由【思路引导】（1）将P点代入椭圆方程，可得a的值，结合离心率的公式可得离心率的值；（2）设直线，设点的坐标为，分别求出，根据斜率公式以及两直线的位置关系与斜率的关系可得答案9【2019安徽淮南一模】设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过，三点的圆恰好与直线相切求椭圆的方程；过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，问在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由【思路引导】设点的坐标为，且，利用以及得出点的坐标，
11、利用外接圆圆心到该直线的距离等于半径，可求出的值，进而得出与的值，从而得出椭圆的方程；令，得出，设点、，将直线l的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，求出线段的中点的坐标，将条件“以为邻边的平行四边形是菱形”转化为，得出这两条直线的斜率之积为，然后得出的表达式，利用不等式的性质可求出实数的取值范围【同步训练】1已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由【思路点拨】（1）
12、设出P的坐标，利用|OP|的值求得x0和y0的关系式，同时利用求得x0和y0的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值【详细解析】2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；（1）求椭圆C的方程；（
13、2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由【思路点拨】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设F（x0，y0），E（x0，y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（2，0）【详细解析】3.已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若F1AB的周长为8（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的斜率不为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的
14、范围；（3）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由椭圆的性质可知：4a=8，e=及b2=a2c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（2）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，yQ=，0）（0，即可求得Q的纵坐标的范围；（3）假设存在m，由x轴平分AMB可得，+=0，由（）可知，代入即可求得m的值【详细解析】4.已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0）
15、，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）若直线y=k（x1）与（1）中的轨迹交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有OTS=OTR？说明理由【思路点拨】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足OTS=OTR设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）【详细解析】5.在平面直角坐
16、标系xOy中，设椭圆（ab0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4来源:学科网（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论【思路点拨】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求；（2）设P（x0，2）（x00），当x0=时和x0=时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x0时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在
17、直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上【详细解析】6.已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，F1AF2的平分线所在直线为l（1）求椭圆E的方程；（2）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得F1AF2的平分线所在直线l的方程；（3）假设存在B（
18、x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入椭圆E的方程，求得BC中点代入直线2xy1=0上，即可得到结论【详细解析】7.）如图，已知F1、F2是椭圆G：的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F1，且与椭圆G交于A、B两点，ABF2的周长为（1）求椭圆G的标准方程；（2）是否存在直线l，使得ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由题意可知：c=1，4a=4，b2=a2c2=31=2即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，假设|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得x1+x2=6（与x1，x2，x1+x226，矛
19、盾），将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：=6，矛盾故|AF2|BF2|再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰由勾股定理得：，此方程无解故不存在这样的等腰直角三角形【详细解析】8.已知椭圆C：+=1（ab0）经过点（，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与点A不同的定点B，使得ABM=ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由来源:学科网【思路点拨】（1）将点（，1）代入椭圆方程，设左焦点为（c，0），再由斜率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）假设存在
20、与点A不同的定点B，使得ABM=ABN恒成立当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），设直线MN的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设M（x1，y1），N（x2，y2），由假设可得kBM+kBN=0，化简整理，可得t+2m=0，故不存在这样的定点B【详细解析】9.已知椭圆E的方程是+=1，左、右焦点分别是F1、F2，在椭圆E上有一动点A，过A、F1作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示（） 判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由来源:Z*xx*k.Com（） 当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大
21、值【思路点拨】（1） 设直线方程，代入椭圆方程，若四边形ABCD能否为菱形，则OAOB，由向量数量积的坐标运算，整理可知=0，方程无实数解，故四边形ABCD不能是菱形；（2）由三角形的面积公式SABCD=2丨OF1丨丨y1y2丨=2，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，函数的单调性即可求得ABCD的面积取到最大值及m的值【详细解析】10.已知椭圆C：=1（ab0）过点A（0，3），与双曲线=1有相同的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由【思路点拨】（1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的
22、c，由A点，可得b，求得a，即可得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P的坐标，k换为，可得Q的坐标，求出直线PQ的斜率，以及方程，整理可得恒过定点【详细解析】11.如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D（1）求证：+为定值；（2）若直线CD交直线l：x=于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由【思路点拨】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线
23、AB：y=k（x+1），则直线CD：y=（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴P（，），则=（x1，y1），=（，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形【详细解析】12.已知椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，且过点（1，）（1）求E的方程；（2）是否存在直线l：y=kx+m相交于P，Q两点，且满足：OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；直线l与圆x2+y2=1相切若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式求得a2=4b2，将点（1，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，求得m2+k=1，由，即可求得k的取值范围，由点到直线的距离即可求得k和m的值，求得直线l的方程【详细解析】
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