1、2017-2018学年浙江省杭州市七校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1（3分）已知，且，则x（）A3BC0D2（3分）已知ABC的三边a，b，c满足a2+b2c2+ab，则ABC的内角C为（）A150B120C60D303（3分）已知ABC的面积为，AB5，则AC（）AB C3D4（3分）已知数列an满足：，（n1），则a4等于（）ABCD5（3分）在ABC中，若B30，AC2，则满足条件的三角形有（）个A0B1C2D不确定6（3分）等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是
2、（）A（0，+）BCD7（3分）若O为ABC所在平面内任一点，且满足，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形8（3分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosC+ccosA，则B（）ABCD9（3分）下列说法中说法正确的有（）零向量与任一向量平行； 若，则（R）； ； 若+，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；ABCD10（3分）如图，在ABC中，P是线段BN上的一点，若，则实数m的值为（）AB CD二、填空题：本
3、大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）已知，则向量与的夹角的余弦值为 12（4分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a745，则a2+a8 13（4分）已知两个单位向量，的夹角为60，t+（1t）若0，则t 14（4分）一艘轮船以km/h速度向正北方向航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45方向，1小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东75方向上，则灯塔S与B的距离为 km15（4分）如图，正三角形ABC边长为4，设2，3，则 16（4分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.，则B
4、 17（4分）如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，AP4，点Q是BCD内（包括边界）的动点，则的取值范围是 三、解答题：本大题共4小题，共42分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（10分）在等差数列an中，a2+a524，a1766（1）求数列an的通项公式；（2）求a2018；（3）2022是否为数列an中的项？若是，则为第几项？19（10分）已知|3，|2，（23）（2+）36，（1）求与夹角；（2）求|2|20（10分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知ac6，b3，求：（1）a和c的值；（2）cos（BC）的
5、值21（12分）已知函数f（x），向量（sinx+cosx，cosx），（cosxsinx，2sinx），在锐角ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若f（A）1，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，a，求c+b的取值范围2017-2018学年浙江省杭州市七校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1（3分）已知，且，则x（）A3BC0D【分析】根据向量的平行的条件以及坐标的运算即可求出【解答】解：，且，1（3）22x0，解得x，故选：B【点评】本题考查了向量平行的条件，属于基础
6、题2（3分）已知ABC的三边a，b，c满足a2+b2c2+ab，则ABC的内角C为（）A150B120C60D30【分析】根据余弦定理，求出cosC的值，即可得出角C的大小【解答】解：ABC中，a2+b2c2+ab，a2+b2c2ab，cosC，C（0，180），C60故选：C【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题3（3分）已知ABC的面积为，AB5，则AC（）AB C3D【分析】利用三角形的面积公式求解即可【解答】解：SABC，AC故选：A【点评】本题考查了三角的面积公式，关键是根据条件选择使用哪一个面积公式，属基础题4（3分）已知数列an满足：，（n1），则a4等于（）ABCD【分
7、析】利用已知条件逐步求解数列的项即可【解答】解：数列an满足：，（n1），则a215，a31，a41，故选：C【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，如果所求项的项数比较小，可以逐步求解，否定需要求解数列的通项公式，或找出数列的特征求解5（3分）在ABC中，若B30，AC2，则满足条件的三角形有（）个A0B1C2D不确定【分析】直接利用ABACABsinB来判断三角形解的情况【解答】解：在ABC中，B30，AB2，AC2，则：ABACABsinB故ABC有两解故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用6（3分）等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差
8、d的取值范围是（）A（0，+）BCD【分析】由题意可知a101，a91，把a1代入即可求得d的范围【解答】解：由题意可得，解可得，故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用要熟练记忆等差数列的通项公式7（3分）若O为ABC所在平面内任一点，且满足，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【分析】结合平面想向量加法及减法的三角形法则及向量数量积的性质即可进行判断【解答】解：，0，CBAB即B90，则ABC为直角三角形，故选：A【点评】本题主要考查了平面想向量加法及减法的三角形法则及向量数量积的性质的简单应用，属于基础是试题8（3分）在ABC中，内角A、
9、B、C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosC+ccosA，则B（）ABCD【分析】由2bcosBacosC+ccosA，利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sinBcosBsin（A+C），再根据诱导公式化简可得cosB，结合B（0，）可得角B的大小【解答】解：2bcosBacosC+ccosA，根据正弦定理，可得2sinBcosBsinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosBsin（A+C）又ABC中，sin（A+C）sin（180B）sinB02sinBcosBsinB，两边约去sinB得2cosB1，即cosB，B（0，），B故选：D【点评】本题给出ABC满足的边角关
10、系式，求角B的大小，着重考查了正弦定理、两角和的正弦公式与诱导公式等知识，属于中档题9（3分）下列说法中说法正确的有（）零向量与任一向量平行； 若，则（R）； ； 若+，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；ABCD【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果【解答】解：对于：零向量与任一向量平行；正确若，则（R）；必须，故错误，故错误；根据三角不等式的应用故正确若+，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；也可为故错误一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；任
11、意一对不共线的向量可作为基底故错误故选：A【点评】本题考查的知识要点：向量的运算的应用，及相关的基础知识的一样，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型10（3分）如图，在ABC中，P是线段BN上的一点，若，则实数m的值为（）AB CD【分析】以、为基底表示出即可【解答】解：+ （）+（1）+，m故选：B【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）已知，则向量与的夹角的余弦值为【分析】根据向量的夹角公式直接求解即可【解答】解：由，得cos，向量与的夹角的余弦值为：故答案为：【点评】本题考查了向量的夹角公式，
12、属基础题12（4分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a745，则a2+a818【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7（a3+a7）+（a4+a6）+a55a545，得到a59，则a2+a82a518故答案为：18【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题13（4分）已知两个单位向量，的夹角为60，t+（1t）若0，则t2【分析】由于0，对式子t+（1t）两边与作数量积可得0，经过化简即可得出【解答】
13、解：，0，tcos60+1t0，10，解得t2故答案为2【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键14（4分）一艘轮船以km/h速度向正北方向航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45方向，1小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东75方向上，则灯塔S与B的距离为20km【分析】确定ABS中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结论【解答】解：由题意，ABS中，A45，B75，ABS60，由正弦定理得BS20，故答案为：20km【点评】本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题15（4分）如图，正三角形ABC边长为4，设2，3，则8【分析】利用已知条件，表示出与向量，然后求解向量的数量积【
14、解答】解：如图，正三角形ABC边长为4，设2，3，则+8故答案为：8【点评】本题考查向量的数量积的应用，几何问题向量化求解，考查转化思想以及计算能力16（4分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.，则B【分析】直接利用三角函数关系式的变换，进一步根据余弦定理的应用求出结果【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.，则，利用正弦定理整理得：，即：a2b2acc2，整理得：，由于0B，所以：B故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型17（4分）如图
15、，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，AP4，点Q是BCD内（包括边界）的动点，则的取值范围是16，32【分析】由Q作AP的垂线，垂足为K，则，再考虑|AK|的最值就可以了【解答】解：作QKAP交AP所在直线于K，则当Q在BD上时，最小为4，此时；当Q与C重合时，作CMAP于M，O为AC中点，P为AM中点，最大值为，此时，的取值范围为16，32故答案为：16，32【点评】此题考查了向量数量积，向量投影等，难度适中三、解答题：本大题共4小题，共42分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（10分）在等差数列an中，a2+a524，a1766（1）求数列an的通项公式；（2）求a201
16、8；（3）2022是否为数列an中的项？若是，则为第几项？【分析】（1）等差数列an中，a2+a524，a1766，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an；（2）由（1）可令n2018即可求解；（3）令an4n22022，求解n即可【解答】解：（1）等差数列an中，a2+a524，a1766，解可得，a12，d4an4n2，（2）由（1）可得a20188070，（3）令an4n22022，n5062022是数列an中的项第506项【点评】本题主要考查了 等差数列通项公式的应用及利用数列的项求解数列的指定项及判断某个数是否为数列中项19（10分）已知|3，|2，（23）（2+）36，（
17、1）求与夹角；（2）求|2|【分析】（1）把所给条件展开代入数量积可直接求得cos；（2）先利用（1）的数据求平方，然后开方即可【解答】解：（1）3612432cos36，cos，120；（2）9+1637，【点评】此题考查了向量数量积，难度不大20（10分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知ac6，b3，求：（1）a和c的值；（2）cos（BC）的值【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）先利用余弦定理求出C，然后利用两角查的余弦公式求出cos（BC）即可【解答】解：（1）由余弦定理有b2a2+c22accosB，又ab6，ac，a3，c2（2）由余弦定理有cosC，sinC，又cosB，sinBcos（BC）cosBcosC+sinBsinC【点评】本题考查了余弦定理和两角差的余弦的计算，属基础题21（12分）已知函数f（x），向量（sinx+cosx，cosx），（cosxsinx，2sinx），在锐角ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若f（A）1，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，a，求c+b的取值范围【分析】（1）由数量积得到f（x）2sin（2A+）即得f（A），结合A为锐角，可得A；（2）利用正弦定理把b，c化为角，再进一步利用三角公式化为，结合B的范围求解即可
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